均值不等式的四个使用技巧

均值不等式的使用是一个学习难点 ,这里介绍 4个小技巧 ,帮助同学们熟悉并掌握其简单使用 .均值不等式中最常用的是a+b2 ≥ab(a ,b∈R+ ) ,下面以此不等式的应用为例说明 .1　简单累加累乘无需分组 ,对原有各组分别使用均值不等式 ,再做累加累乘即可 ,这应是优先考虑的情况 .例 1　已知a ,b,c >0 ,则a(b2 +c2 ) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2 )≥ 6abc .解　左边≥a·2bc +b·2ca +c·2ab =6abc.其中等号成立当且仅当a =b =c时成立 .(下面各例等号成立均为a =b =c,为简便计 ,均省略 )例 2　已知a ,b >0 ,则　　 1a+1b1a2 +1b2 (a3+b3)≥ 8.解　左…     

例说利用均值不等式解应用问题

要解决实际问题 ,需要运用数学模型 ,而某些数学模型常用到不等式的知识 ,尤其是均值不等式 .本文试举例说明均值不等式在解实际问题中的应用 .　例 1　小强家住农村 ,十月一日国庆节回家 ,正赶上父亲收割庄稼 ,由于今年大丰收粮食太多 ,自家粮仓全部装满 ,还剩下很多 .这时爸爸想出一个主意 ,决定用一块长方形木板 ,借助两面成直角的墙 ,在屋子的墙角处围成一个直三棱柱的谷仓 ,木板可立 ,可横 .小强心想 ,这么多粮食 ,怎样围才能装最多的粮食呢 ?经过测算 ,小强得出满意的答案 ,向父亲提供了建议 ,请你叙述小强的做法 .如果换成任意的两面…     

均值代换和不等式的证明

设ｘ≥ 0 ,ｙ≥ 0 .作为算术平均———几何平均不等式Ａ ≥Ｇ的应用 ,我们把代换Ａ =ｘ ｙ2Ｇ =ｘｙ叫做均值代换 .在这样的代换下有 :ｘ ｙ =2Ａ ,ｘｙ=Ｇ2 ,(ｘ -ｙ) 2 =4Ａ2 - 4Ｇ2 =4(Ａ Ｇ) (Ａ-Ｇ)ｘ2 ｙ2 =4Ａ2 - 2Ｇ2 =2 (2Ａ2 -Ｇ2 )ｘ3 ｙ3=8Ａ3- 6ＡＧ2 =2Ａ(4Ａ2 - 3Ｇ2 )……由于ｍａｘ(ｘ ,ｙ)≥Ａ≥Ｇ≥ｍｉｎ(ｘ ,ｙ) ≥ 0 ,因此应用均值代换法证不等式特别利于放缩 ,能起化难为易的作用 ,收事半功倍的效果 .例 1　 (美国纽约 ,1 975 )证明 ,对任意正数ａ≠ｂ之算术平均值Ａ=ａ ｂ2 与几何平均值Ｂ=ａｂ ,有Ｂ <(ａ-ｂ) …     

应用均值不等式解竞赛题

均值不等式是一个重要的不等式．在各种数学竞赛中经常出现与之有关的题目,灵活而巧妙地应用均值不等式,往往可以使一些难题迎刃而解．     

不等式证明的常用方法

不等式在数学中的地位十分重要，证明不等式的方法和技巧也很多，本文介绍一些常用方法及其在数学竞赛中的应用。     

应用均值不等式证明不等式的λ方法

应用均值不等式证明不等式的λ方法杨涤尘（湖南娄底师范４１７０００）应用均值不等式证明不等式，有时需要较强的配凑技巧．如果恰当地引入参数λ，结合平均值不等式，通过直接对参数λ赋值，或者结合题设条件，通过解方程或方程组确定λ的值，从而导出要证明的不等式．...     

巧用函数性质简化不等式

解不等式就是依据不等式的基本性质 ,对其进行同解变形 .如解不等式 :ｘ 1 >ｘ- 1可化为与之同解的ｘ 1≥ 0 ,ｘ - 1 <0 ,或ｘ 1 >0 ,ｘ - 1≥ 0 ,ｘ 1 >(ｘ - 1 ) 2 .再解之 .图　 1ｘ 1>ｘ - 1的图解如果再加分析 ,令ｙ1=ｘ 1是幂函数 ｙ=ｘ12 的图象向左平移一个单位所得 ,令 ｙ2 =ｘ- 1是一次函数 ,利用它们的图象及性质 (如图1 ) ,容易得知ｘ∈[- 1 ,3) ,其中交点 (3,2 )的横坐标可由解方程ｘ 1 =ｘ - 1解出 .这一解法将解不等式转化为对函数图象的研究讨论 ,直观明了 .　　由此得到启发 ,在解某些不等式时 ,可恰当转化…     

巧用均值不等式证明IMO42第2题

题证明:一生一+下尘狂二+ 一一”’气压了丁丽丢抓弃不石)~.共二一妻1(a,b,。eR‘,以下简称赛题).石不万品一‘一’一’-一”一‘一r·一一一因为当a,白,。不全等时,9a2一(aZ+sbc),9西2一(bZ+sac),9。2一(:“+sa吞)三数中至少有一个为负,所以,文[1〕中令ga了驴下百民,9‘了石不目丽,9。、吓乏不而的最大者为k,并得:M一N妻坠全‘竺土三勺二丛旦鱼生经垫些的做法显然有误. 以下利用均值不等式给出赛题的一个简捷证法.证明a号了。2+8加‘/_粤I_2、Q;,、。号丫。号、:(2。号。合。告)(2。号‘号)了。号+(2。哥。合。晋),十(2。号‘号)2。号丫…     

不等式的性质与证明

1　重、难点分析1)不等式的基本性质是学习的重点 .运用不等式的基本性质解决不等式问题时 ,应注意不等式成立的条件 ,否则会出现错误 .2 )下面是有关基本不等式的重要结论 :若a ,b ,c∈R+ ,则 21a + 1b≤ab≤ a +b2 ≤a2 +b2 (当且仅当a =b时取等号 ) .31a + 1b + 1c≤ 3 abc ≤ a +b +c3≤a2 +b2 +c23(当且仅当a =b =c时取等号 ) .另外由基本不等式可得到下列结论 :① 4ab≤ (a +b) 2 ≤ 2 (a2 +b2 ) (a ,b∈R ,当且仅当a =b时取等号 ) ;② 3(ab+bc +ca)≤ (a +b +c) 2 ≤ 3(a2 +b2 +c2 ) (a ,b ,c∈R ,当且仅当a =b =c时取等号 ) ;③ a…     

不等式证明的幂级数方法

以部分国内外数学竞赛题为例说明幂级数方法在证明不等式方面的应用.     

以直代曲法证明不等式

在国内外数学竞赛中常常出现一些不等式的证明题，包括整式、分式、无理不等式．这类不等式的形式优美，内涵丰富，命题者给出的证法也是异彩纷呈．     

巧用一道不等式求一类无理函数的最值

新教材高中数学第二册 (上 )第 16页有一道练习题 :求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) ,等号成立当且仅当bc =ad .利用这一不等式可以很方便地求一类无理函数的最大值或最小值 .将上述不等式变形为 :|ac +bd|≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .若此式右端 (a2 +b2 ) (c2 +d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,则 (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) 是 |ac+bd|的最大值 .同理 ,当 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )≥ 0时 ,有 |ac-bd|≥(a2 -b2 ) (c2 -d2 ) ,当且仅当bc=ad时取等号 .若此式右端 (a2 -b2 ) (c2 -d2 )为常数 ,当bc =ad时 ,(a2 -b2 ) (c2 -d2 )是 |ac -bd|的最小值 .下…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

直来直去证明不等式

文[1]通过构造长方体,利用代换方法证明了一些代数和三角不等式,读后很受启发,构造与变更,实现了问题的转化,获得证明不等式的一种有效途径.笔者的持续思考是,对于这些不等式,能不能直来直去的给出更加简明的证明方法呢?经探究是可简化的,这只要进行适度的代数变形,利用均值不等式、柯西不等式以及放缩技巧,笔者从高中教材基础知识出发给出直接证法,作为一份课程资源,供读者学习时参考.     

一个不等式的证明

文[1]给出了问题：设a0,a1,a2,…满足a0=1/2,ak+1=ak+1/nak^2(k=0,1,2,……）,其中n是某个固定的正整数，求证：1-1/n&;lt;an&;lt;1。     

均值不等式等号成立条件的巧用

应用均值不等式解题时,巧用其等号成立的条件,常常能使一些问题获得简单解决．