三角形中线的一组不等式

本文提出并证明关于三角形中线的一组不等式,由此再推出关于三角形周长、面积与其外接圆周长、面积的两个有趣的不等式. 我们以A、B、C表示三角形三内角,a、b、c表示三边,s表示半周、m_a、m_b、m_c表示三中线,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,△表示三角形的面积.     

关于三角形中线的一个不等式

文 [1 ]给出了关于三角形中线乘积的一个不等式 :mambmc≥ 18R∑b2 c2 ( 1 )本文将给出中线乘积的一个上界 ,以下恒用 a,b,c,ma,mb,mc,s,R,r和△分别表示△ ABC的三边边长、中线、半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积 .并用 ∑ 表示循环和 ,Π表示循环积 .定理　在△ ABC中 ,有mambmc≤ R8(∑a) 2 (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 .证明　由中线公式 4 m2a =2 b2 2 c2 - a2 ,知64m2am2bm2c =Π( 2 b2 2 c2 - a2 )=- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 ∑b2 c2 - 2 7Πa2故 ( 2 )式等价于- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 .∑b2 c2 -2 7Πa2 …     

关于三角形中线的一个不等式

最近在中国不等式研究小组网站(http:∥zgbdsyjxz.nease.net/bdbbdb/bdb.htm)上看到一个很有趣的关于三角形中线的一个不等式问题(猜想),未见有解答,故笔者试作解答.     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

关于三角形中线和高线的不等式

李崇钦同志在本刊第三期中提出并证明了关于三角形中线的一组不等式,本文再提出并证明关于三角形中线的另一组不等式,另外提出并证明关于三角形高线的一组不等式. 仍以a,b,c表示三角形三条边,S表示半周,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,△表示三角形面积,m_a,m_b,m_c表示三条中线,h_a,h_b,h_c表示三条高线. 首先我们容易证明下列不等式成立. 1°m_a≥S(S-a)~(1/2),m_b≥S(S-b)~(1/2) m_c≥S(S-c)~(1/2);     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

关于三角形角平分线与中线的一个不等式

本文将给出三角形中线长与角平分线长的一个有趣的几何不等式．     

涉及三角形中线的几个不等式

文 [1]中 ,我们建立了关于三角形中线的若干不等式 ,下面将继续探讨涉及三角形中线的几个问题 .本文中的符号意义与文 [1]中相同 .文 [2 ]中 ,刘健提出如下猜想 [Shc4 2 (c) ]　　　 ∑ 1m2a r2a≤ 13Rr. (1)笔者在证明 Shc4 2 (c)的同时 ,得到一类似结论 .　　　 ∑ 1m2b m2     

伴内心三角形的一组优美不等式

定理　设△ ABC与其伴内心△ A′B′C′的边长分别为 a,b,c与 a′,b′,c′;外接圆半径分别为 R与 R′;内切圆半径分别为 r与 r′;半周长分别为 s与 s′;面积分别为△与△′.则有　△′≤ 14△　 ( 1 )　　　 R′≥ 14R ( 2 )　 s′≥ 12 s ( 3) r′≤ 12 r ( 4)等式成立当且仅当△ ABC是正三角形 .笔者在文 [1 ]中建立了不等式 ( 1 ) ( 2 ) ,今另辟蹊径建立了不等式 ( 3) ( 4) ,先介绍 :引理　 (第二届友谊杯国际数学邀请赛试题 )设 a,b,c都是正数 ,则a2b c b2c a c2a b≥ a b c2 . ( 5)证明　由伴内心定义 ,AC′C′B=ab…     

关于等差数列的一组不等式

设{ａｎ}是以ｄ为公差的等差数列 ,ａ1 >0 ,ｄ>0 ,文 [1 ]证明了ａ1 ａ2ａ1 ａ4ａ1 ａ4ｎ ≤ ａ1 ａ3…ａ2ｎ- 1 ａ2 ａ4…ａ2ｎ ≤ ａ1 ａ3ａ2 ａ2ｎ 1·ａ2 ａ4ｎ 1 ａ2 ａ5(1 )本文给出关于 ａ2 ａ4…ａ2ｎａ1 ａ3…ａ2ｎ- 1上下界的一组不等式 .引理 1　设ｄ >0 ,ｘ≥ 2ｄ ,0 <ｒ<1 ,则ｘｘ -ｄ >ｘ ｒｄｘ (ｒ- 2 )ｄ　　　 (2 )成立的充要条件是12 <ｒ <1且ｘ>ｒｄ2ｒ - 1 ,当 0 <ｒ≤ 12 ,(2 )的不等号反向 .证明 (2 ) ｘ2 [ｘ (ｒ- 2 )ｄ]>(ｘ2 - 2ｄｘ ｄ2 ) · (ｘ ｒｄ) (2ｄｘ-ｄ2 ) (ｘ ｒｄ) >2ｄｘ2 (2ｒ- 1 )ｘ>…     

关于三角形的一个不等式

关于三角形的一个不等式３１５２１１宁波大学数学系陈计１９９３年，管志宏［１］提出下列不等式：在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时等号成立．事实上，由熟知的几何不等式（见文［２］的２．１２及２．３３）：易知不等式（１）是平凡的．本文中，我们将不...     

关于三角形半径的一个不等式

本文将给出关于三角形的外接圆、内切圆和傍切圆半径的不等式(1),并由(1)式加强了Gerretsen不等式。定理设R,r,r_a,r_b,r_c分别是△ABC的外接圆、内切圆和傍切圆的半径,则     

关于三角形的两个不等式

本文提出并证明以下关于三角形的两个不等式。 1°△ABC的内切圆分别切各边于A',B',C',则 △A'B'C'的面积≤1/△ABC的面积 (1)式中等号当且只当△ABC为等边三角形时成立: 2°设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为ρ,顶点A,B,C到内心的距离分别为α,β,γ,则有 32Rρ~5≤α~2β~2γ~2 (2)     

关于三角形的一个不等式链

1992年,陈计先生在文[1]中建立了一个新的三角形不等式:在△ABC中,有cos~3A cos~3B cos~3C≥3/8 (1)注意到三角形中熟知的不等式sin~2A/2 sin~2B/2 sin~2C/2≥3/4 (2)早些时候,笔者考虑了(1)的如下加强形     

关于三角形不等式的一个猜想

关于三角形不等式的一个猜想安徽省肥西师范学校朱玉扬数学通讯于１９８９年第８期登载陈计与高海明同志所撰《一道征解题的拓广和加强》［１］一文提出如下颇有意义的猜想：设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别位于ＡＢＣ的ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上．且将周界三等分，则ＡＢｋ）．其中ｋ是正整数...     

三角形的周界中线

三角形的周界中线张学哲（湖北民族学院数学系４４５０００）如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．在这里，我们所说的三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围线．由于三角形的任意两边之和...     

三角形中线的魅力

<正>三角形的中线性质是初中数学几何中求面积常用的知识点,中线的特殊魅力在于它可以将三角形分成面积相等的两部分,除了中线外,下面还将对三角形面积的n等分线进行介绍.(1)基本图形如图1,AD是△ABC的中线,证明:     

关于Mills比的一组不等式系列

<正> 对于一元标准正态密度函数及标准正态分布(x)来说,Mills 比是定义为M的函数,这是刻划正态分布的一种有用的函数.自从 Mills 于1926年提出之后,几十年来总陆续不断地有文章来讨论它,并用以解决一系列新问题.     

关于一个三角形不等式猜想的证明

关于一个三角形不等式猜想的证明３１２５００浙江省新昌中学石世昌匡继昌先生在《常用不等式》（湖南教育出版社．１９９３年５月第二版）一书的附录（１００个未解决的问题》中题５９（Ｇａｒｆｕｎｋｅｌ猜想）是：设Ａ、Ｂ、Ｃ”为△ＡＢＣ”的三个内角．则在本文中，...     

关于三角形中一个不等式的证明

关于三角形中一个不等式的证明尹华焱（湘潭锰矿４１１２０２）文［１］给出了若干三角形三内角函数的不等式的加强，其中命题２是：在△ＡＢＣ中，ｃｓｃＡ２·ｃｓｃＢ２≥２２－２０ｒＲ①本文将指出文［１］对①的证明是错的，同时我们试图给出①式的一个证明．我们...