一维非线性Schrdinger方程的两个无条件收敛的守恒紧致差分格式

本文对一维非线性Schrdinger方程给出两个紧致差分格式,运用能量方法和两个新的分析技巧证明格式关于离散质量和离散能量守恒,而且在最大模意义下无条件收敛.对非线性紧格式构造了一个新的迭代算法,证明了算法的收敛性,并在此基础上给出一个新的线性化紧格式.数值算例验证了理论分析的正确性,并通过外推进一步提高了数值解的精度.     

一维非线性Schrödinger 方程的两个无条件收敛的守恒紧致差分格式

本文对一维非线性 Schrödinger 方程给出两个紧致差分格式, 运用能量方法和两个新的分析技 巧证明格式关于离散质量和离散能量守恒, 而且在最大模意义下无条件收敛. 对非线性紧格式构造了 一个新的迭代算法, 证明了算法的收敛性, 并在此基础上给出一个新的线性化紧格式. 数值算例验证 了理论分析的正确性, 并通过外推进一步提高了数值解的精度.     

三阶Airy方程满足两个守恒律的非线性差分格式

近年来,学者们对发展型偏微分方程设计了一种能保持多个守恒律的数值方法,这类方法无论在解的精度还是长时间的数值模拟方面都表现出非常好的性质.将这类思想应用到三阶Airy方程,即三阶散射方程,对其设计了满足两个守恒律的非线性差分格式.该格式不仅计算数值解,同时计算数值能量,并且保证数值解和数值能量同时守恒.从数值结果可以看出,该格式在长时间的数值模拟中具有更好的保结构性质.     

Sine-Gordon方程的多辛Leap-frog格式

非线性发展方程由于具有多种形式的解析解而吸引着众多的研究者,借助多辛保结构理论研究了Sine-Gordon方程的多辛算法．利用Hamilton变分原理,构造出了sine-Gordon方程的多辛格式;采用显辛离散方法得到了Leap-frog多辛离散格式,该格式满足多辛守恒律;数值结果表明leap-frog多辛离散格式能够精确地模拟sine-Gordon方程的孤子解和周期解,模拟结果证实了该离散格式具有良好的数值稳定性．     

守恒型扩散方程非线性离散格式的性质分析和快速求解

对于守恒型扩散方程,研究其二阶时间精度非线性全隐有限差分离散格式的性质,证明了其解的存在唯一性.研究了二阶时间精度的Picard-Newton迭代格式,证明了迭代解对原问题真解的二阶时间和空间收敛性,以及对非线性离散解的二次收敛速度,实现了非线性问题的快速求解.本文中方法也适用于一阶时间精度格式的分析,并可推广至对流扩散问题.数值实验验证了二阶时间精度Picard-Newton迭代格式的高精度和高效率.     

非定常 N-S 方程的非线性 Galerkin 算法及其误差估计

本文给出了二维非定常N-S方程的三种数值格式,其中空间变量用谱非线性Galerkin算法进行离散,时间变量用有限差分离散,并研究了这些格式数值解的逼近精度．最后,给出了部分数值计算结果．     

关于广义KPP方程的数值解

广义KPP(Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov)方程是一个积分微分方程.为了要研究其数值解,我们首先将该方程转化为一个非线性双曲型方程,然后构造了一个线性化的差分格式,得到了差分格式解的存在唯一性,利用能量不等式证明了差分格式二阶收敛性和关于初值的无条件稳定性,数值结果验证了本文提出的方法.     

相场方程的高效数值算法

本文回顾求解相场方程数值方法的一些最新进展.数值求解相场方程的主要难点在于非线性项和高阶微分项对时间步长有严格限制,而相场方程的数值模拟通常需要很长的计算时间才能达到稳定状态.众所周知,相场模型满足一种称为能量稳定的非线性稳定关系,通常表示为自由能泛函随时间递减.如何设计满足离散能量稳定的数值格式,使得可以进行大时间步长同时又准确地模拟,近来越来越受到重视.本文将针对一些常见的相场方程阐述几类广泛使用的高效数值格式,以及基于能量随时间的变化率而设计的一种时间自适应算法,使得数值解的准确性和算法稳定性得到保证的前提下,计算效率大大提高.     

广义非线性Sin-Gordon方程的整体解及数值计算

本文考察了一类广义非线性Sin-Gordon方程的周期初值问题，利用非线性Galerkin方法，证明了其整体解的存在性和唯一性，并给出了其有界吸引集的存在性．构造了全离散的Fourier拟谱显格式，利用有界延拓法证明了其格式的收敛性与稳定性，并给出了误差估计、算法分析及计算复杂度，最后，通过数值例子，检验了理论结果的可信性．为对此模型的数值分析提供了理论基础和一个有效的算法．     

大变形网格上时间二阶精度扩散方程的保正格式

本文基于已有的连续扩散通量的两点非线性离散格式,构造了2D非稳态扩散方程大变形网格上的两层非线性有限体积格式.该格式利用Crank-Nicolson (C-N)方法的思想在时间方向获得了二阶精度.由于所得代数方程组的系数矩阵的转置是M矩阵,从而能够保持解的正性,并利用Brouwer不动点定理证明了格式解的存在性.数值实验结果表明,在较大时间步长下,该格式具有二阶计算精度.