The image force on a dislocation near an elliptic hole in nonlocal elasticity

Summary A basic solution to the problem of a screw dislocation near a circular hole in nonlocal clasticity is first presented. The nonlocal stress and nonlocal image force on the screw dislocation are derived whereby the singularities in both classical stress and classical image force are eliminated. Then, the nonlocal image force on a screw dislocation near an elliptic hole is obtained by a conformal mapping technique. The maximum of the image force and the corresponding position of hte dislocation are estimated for a dislocation very close to the holes.

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Bildkraft auf eine Versetzung neben einem elliptischen Loch bei nichtlokaler Elastizität

Übersicht Zuerst wird eine Lösung für das Problem einer Schraubenversetzung neben einem kreisförmigen Loch bei nichtlokaler Elastizität vorgestellt. Die nichtlokal Spannungen und die nichtlokalen Bildkräfte werden abgeleitet, wobei alle Singularitäten verschwinden. Dann wird die nichtlokale Bildkraft auf eine Schrauben versetzung neben einem elliptischen Loch mit Hilfe einer konformen Abbildung erhalten. Für die Versetzung sehr nahe dem Loch werden das Maximum der Bildkraft und ihre Position geschätzt.

     

Buckling of thin spherical shells

Summary This paper deals with the buckling of a shallow spherical cap subjected to uniform edge moment and a clamped deep spherical shell under uniform pressure. The first problem is formulated in integral equations which are solved by an iterative procedure. The buckling moments are determined for a wide range of the shell geometrical parameter. The second problem is based on the concept that the highly deformed region around the apex is treated as a shallow spherical cap elastically supported by the rest of the shell. The stability of a thin sphere is treated as a special case. The results obtained in both problems are compared with existing solutions.

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Übersicht Es wird das Beulen sowohl für eine flache Kugelkalotte mit gleichförmigem Randmoment, als auch für eine tiefe Kugelschale unter gleichförmigem Druck untersucht. Die erstgenannte Aufgabe wird auf Integral-gleichungen zurückgeführt, die durch Iteration gelöst werden. Die Beulmomente werden für einen weiten Bereich der geometrischen Parameter der Schale bestimmt. Für die Lösung der zweiten Aufgabe wird angenommen, daß der stark verformte Teil der Schale in der Umgebung des zentralen Punktes als eine flache Kugelschale aufgefaßt werden kann, die elastisch von dem Rest der Schale getragen wird. Die Stabilität einer dünnen Kugel wird als Spezialfall betrachtet. In beiden Fällen werden die Ergebnisse mit vorhandenen Lösungen verglichen.

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The first problem in the analysis was sponsored by the National Research Council of Canada. The author is very grateful to Professor K. N. Tong for his illuminating suggestions regarding the second problem.     

Beitrag zur Berechnung der hyperbolischen Paraboloidschale

Zusammenfassung Das hyperbolische Paraboloid z=c/a² x y wird nach der Membran-theorie für eine Reihe von Belastungen mit Hilfe einer Spannungsfunktion berechnet. Für die Grundrißprojektionen der Membrankräfte, bezogen auf die Einheit der Grundrißfläche, werden geschlossene Ausdrücke angeführt, aus denen die wahre Größe der Membrankräfte berechnet werden kann.Für Windlast wird der Neigungswinkel der Windrichtung gegen die Tangentialebene im allgemeinen Flächenpunkte angegeben und daraus die Belastung senkrecht zur Fläche festgestellt, welche, in die drei Achsenkomponenten zerlegt, die Schubkraft, und durch Differentiation und Integration die achsenparallelen Normalkräfte liefert.Ähnlich wird bei hydrostatischer und waagerechter Belastung vorgegangen; weiter wird eine Reihe senkrechter Belastungen behandelt (Keil-, Trapez-, Parabel- und windschiefe Belastung, sowie gleichförmige Belastung der Oberfläche und des Grundrisses). Auch wird die Berechnung der Schale mit erhöhten Giebeln gezeigt.     

The stress intensity variation of an orthotropic perforated plate containing an internal crack

Summary The elastic problem of an infinite orthotropic plate with different roots of its characteristic equation, when the fibers are oriented perpendicularly to an internal crack, and is weakened by an elliptic hole, is solved using Lekhnitskii's theory. The plate is subjected to prescribed stresses at infinity, while the boundary conditions are given at the flanks of the crack, at the rim of the perforation and at infinity.Using the complex-variable method, the solution of the problem is reduced to the evaluation of Cauchy-type integrals concerning the analytic functions of the problem. The numerical solution of the problem revealed an intense variation of mode-I stress intensity factors (SIF) at the crack tips due to the increase of either the crack length, or the distance of the near-by rack tip from the center of the hole. Furthermore, it was found that orthotropy strongly influences the intensity of stresses at the crack tips. These findings are in complete agreement with results given in a previous work by the authors, concerning a similar problem for an orthotropic plate, which, however, constitutes a special case, where the material presents equal roots for its characteristic equation [1].

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Spannungsintensitätsvarianten einer orthotropen Platte mit einem Loch und innerem Riß

Zusammenfassung Das elastische Problem einer unendlichen, orthotropen Platte mit verschiedenen Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung wird im Falle, daß die Fasern senkrecht zu einem inneren Riß verlaufen und daß sie durch ein elliptisches Loch geschwächt sind, im Rahmen der Lekhnitskii-Theorie gelöst. Die Platte wird im Unendlichen einer vorgeschriebenen Spannung unterworfen, während die Randbedingungen an den Rißflanken, am Lochrand und im Unendlichen gegeben sind.Mit Hilfe der Methode der komplexen Variable wird die Lösung des Problems zurückgeführt auf die Berechnung von Cauchy-Integralen der analytischen Funktionen des Problems. Die numerische Lösung des Problems zeigt eine starke Abhängigkeit von Mode-I-Spannungsintensitätsfaktoren (SIF) an den Rißspitzen von der Rißlänge oder des Ligaments zwischen der Rißplatte und dem Loch. Weiterhin wurde gezeigt, daß Orthotropie starken Einfluß auf die Spannungsintensität hat. Diese Beobachtungen stehen in voller Übereinstimmung mit Resultaten aus der Arbeit [1] über ein ähnliches Problem für eine orthotrope Platte, wo allerdings die Wurzel der charakteristischen Gleichung identisch sind.

     

Stress analysis of a thick plate having a circular hole under axisymmetric radial load

Summary In this paper a solution for the determination of stresses and displacements in a thick plate having a cylindrical hole subjected to localised hydrostatic loading has been given. Detail numerical results have been presented and compared with the results of an infinite hole subjected to localised hydrostatic load and a semiinfinite hole subjected to localised end load. It has been shown that for certain ratio of thickness of the pate to the radius of the hole and loading, the results could be obtained by using the solution of infinite or semiinfinite hole subjected to the same hydrostatic loading.

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Übersicht Es wird eine Lösung zur Bestimmung der Spannungen und Verschiebungen für eine dicke Platte mit einem zylindrischen Loch gegeben, die durch örtlichen hydrostatischen Druck belastet ist. Numerische Ergebnisse werden mit entsprechenden Ergebnissen verglichen, die für ein unendlich sowie für ein halbunendliches Loch unter gleichen Belastungen erhalten wurden. Es wird gezeigt, daß für bestimmte Verhältnisse der Plattendicke zu den Radien von Loch und Belastung die für unendliches oder halbunendliches Loch erhaltenen Ergebnisse bei gleicher Belastung ausreichend genau sind.

     

Stresses in a transversely isotropic,short hollow cylinder subjected to an outer band load

Summary An axi-symmetric stress analysis of a transversely isotropic, short hollow cylinder subjected to an outer band load is presented in a series form. The generalized Elliott's solution is used for the analysis. The solution consists of five independent potential functions which yield two kinds of elasticity solution. The boundary conditions for the shearing stress on the four surfaces are exactly satisfied. Other boundary conditions are numerically satisfied with the aid of a Fourier series expansion or a Fourier-Bessel series expansion. Numerical results for stresses in magnesium and cadmium crystals, as examples of transversely isotropic materials, and in an isotropic material are illustrated. The effect of anisotropy on the stresses is investigated by comparison with the stresses in the isotropic material.

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Spannungen in einem transversal-isotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast

Übersicht Vorgestellt wird eine axialsymmetrische Spannungsanalyse mittels Reihen für einen transversalisotropen, kurzen Hohlzylinder unter einer äußeren Bandlast. Für die Analyse wird die verallgemeinerte Elliottsche Lösung benutzt. Die Lösung besteht aus fünf unabhängigen Potentialen, welche zwei Arten der Elastizitätslösung abgeben. Die Randbedingungen der Schubspannung auf den vier Flächen werden genau erfüllt. Die anderen Randbedingungen werden durch eine Fouriersche Reihenentwicklung oder eine Fourier-Besselsche Reihenentwicklung numerisch erfüllt. Die numerischen Resultate der Spannungen in einem Magnesiumkristall und einem Kadmiumkristall als Beispiele transversal-isotroper Materialien und in einem isotropen Material werden illustriert. Der Einfluß der Anisotropie auf die Spannungen wird durch Vergleich mit den Spannungen im isotropen Material untersucht.

     

Grundlagen zur Theorie ringförmiger Tragflügel (frei umströmte Düsen)

Zusammenfassung Behandelt wird die Strömungsanalyse um einen beliebig geformten, drehsymmetrischen Ring (Düse) mit tragflügelartigem Querschnitt, der in einem ganz beliebig gestörten, aber bekannten Strömungsfeld arbeiten soll. Nach Einführung gewisser Vereinfachungen wird der Flügel durch eine Ringwirbelbelegung auf der Skelettlinic des Flügelquerschnitts ersetzt. Für diese ergibt sich eine ziemlich komplizierte, nicht lineare Integralgleichung erster Art mit elliptischen Integralen als Kern. Diese werden nach wachsenden Potenzen des reziproken Abstandes von der Belegung entwickelt, worin sich noch der Logarithmus eingliedert. Die Fintwicklung kann praktisch schon frühzeitig abgebrochen werden. Man erhält so eine Summe von leichter zu behandelnden Kernfunktionen, deren erste die des geraden Stabwirbels ist, während die folgenden nacheinander mit wachsender Krümmung des Rings Bedeutung gewinnen. Führt man sämtliche gegebenen Funktionen und die Belegung auf Fourierreihen zurück, so geht nach Auflösung einiger bestimmter Integrale die Integralgleichung über in ein elementar aufzulösendes System vonm Gleichungen mitm Unbekannten. Diese Gleichungen lassen sich in vielen Fällen sehr einfach behandeln. Das Beispiel einer Düse mit gerader Skelettlinie wird durchgerechnet. Es zeigt sich, da\ die bei einem Tragflügelring entstehende Zirkulation sehr viel grö\er sein kann als bei einem ebenen Tragflügel gleichen Querschnitts bei gleichen Verhältnissen. Die durch das Störungsfeld am Tragflügelring entstehenden Kräfte werden errechnet.     

Eine Randbedingung für die Ausbreitung von Kugelwellen

Übersicht Für die Simulation der Ausbreitung von kugelförmigen Dilatationswellen im elastischen Kontinum mittels der Methode der finiten Elemente wird eine Randbedingung abgeleitet, welche das abgetrennte unbeschränkte Gebiet analytisch exakt ersetzt. Die mit dieser Randbedingung erhaltenen Ergebnisse werden mit vorhandenen Näherungen verglichen, so daß deren Einfluß auf die Güte der Ergebnisse abgeschätzt werden kann. Erweiterungen auf andere Problemstellungen werden aufgezeigt.

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Periodic rigid line problem in an infinite plate

Summary Periodic rigid line problem in an infinite plate under the action of remote stresses is studied in this paper. Using the complex variable function method, the problem is reduced into a solution of singular integral equation. The singular integral equation is converted into a Fredholm integral equation by the use of some substitution of the unknown function. A numerical approach is suggested for the solution of the obtained Fredholm integral equation. Finally, several numerical examples are carried out with the calculated stress singularity coefficients at the rigid line tips.

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Das Problem periodisch verteilter, starrer, zeilenförmiger Einschlüsse in einer unendlichen Platte

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird das Problem periodisch verteilter, starrer, zeilenförminger Einschlüsse unter der Einwirkung weit entfernter Spannungen untersucht. Unter Anwendung der Funktionsmethode einer komplexen Veränderlichen wird das Problem auf das Lösen einer singulären Integralgleichung zurückgeführt.Die singuläre Integralgleichung wird mittels der Verwendung eines speziellen Ersatzes für die unbekannte Funktion in eine Fredholm-Integralgleichung umgewandelt. Zur Lösung der erhaltenen Fredholm-Integralgleichung wird eine numerische Lösung vorgeschlagen. Schließlich werden verschiedene numerische Beispiele zur Berechnung der Koeffizienten der Spannungssingularität an den starren Einschlußspitzen durchgeführt.

     

Dynamic analysis of constrained elastic systems

Summary The dynamic behaviour of a vertical cantilever carrying a concentrated mass at the top, and elastically constrained atsome point is examined. Green's function of the associated unconstrained problem is developed, using which the differential equation of the constrained problem is transformedinto an integral equation. The latter has been shown to be a contractive mapping ensuring both existence and uniqueness of solution.

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Analyse der Dynamik einer elastischen Säule mit Feder-Fesselung

Übersicht Untersucht wird das dynamische Verhalten einer vertikalen Säule, die an der Spitze eine Einzelmasse trägt und in einer gewissen Höhe an eine Feder gefesselt ist. Die Greensche Funktion des assoziierten Problems ohne Fesselung wird entwickelt und mit ihr die Differentialgleichung des Systems mit Fesselung in eine Integralgleichung überführt. Für letztere wird gezeigt, daß sie eine kontrahierende Abbildung ist und daher die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet ist.

     

Nonlinear transient temperature field in a hexagon

Summary An approximate direct method for solving nonlinear transient heat conduction problem in the hexagon, based on Gauss' principle of least constraint is presented. The problem is reduced to the algebraic minimization of a quadratic form with respect to the physical components of the temporal and spatial changes of temperature field. For various values of specific heat and thermal conductivity temperature coefficients the comparison of approximate solutions with the numerical ones is performed and an agreement is found.

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Übersicht Es wird eine auf dem Gaußschen Prinzip des kleinsten Zwanges gegründete direkte Näherungsmethode für die Lösung nichtlinearer instationärer Wärmeleitungsprobleme dargestellt. Das Problem wird auf die algebraische Minimisation einer quadratischen Form bezüglich der physikalischen Parameter der Zeit- und Raumvariablen des Temperaturfeldes zurückgeführt. Die Lösung wird für verschiedene Werte der Temperaturkoeffizienten, der spezifischen Wärmekapazität und der Wärmeleitfähigkeit mit der numerischen Lösung verglichen, wobei eine gute Übereinstimmung erreicht wird.

     

Zur Berechnung der Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper

Zusammenfassung Zunächst wird das v. Kármánsche Verfahren, die Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper mit Hilfe einer streckenweise konstanten Dipolbelegung auf der Achse des Körpers zu berechnen, kurz skizziert und einige Überlegungen für Beginn und Ende der Belegung angestellt. Dann wird dieses Verfahren verbessert durch Annahme einer stetigen, stückweise linear veränderlichen Dipolbelegung auf der Achse. Der zweite Hauptteil der Arbeit bringt die Berechnung der Potentialströmung mit Hilfe von Quellen und Senken, die auf der Oberfläche des Luftschiffkörpers angeordnet sind. Die Integralgleichung, der diese Oberflächenbelegung genügen muß, wird angeschrieben, und der Kern auf Funktionen zurückgeführt, die sich aus vollständigen elliptischen Normalintegralen zusammensetzen lassen. Für diese Funktionen werden Diagramme gegeben. Die Integralgleichung ist durch Iteration lösbar. Die Konvergenz des Verfahrens ist gut. Zum Schluß werden die Formeln zur Berechnung der Geschwindigkeit auf der Oberfläche und des Potentials für einen beliebigen Punkt angegeben.Herrn Prof. Dr.Betz bin ich für die Anregung zu dieser Arbeit und für seine Ratschläge bei ihrer Abfassung zu besonderem Dank verpflichtet.     

Das Druckströmungsfeld in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt)

Zusammenfassung Es wird eine Näherungsrechnung behandelt, die es in vielen Fällen ermöglicht, die zweidimensionale stationäre Strömung Newtonscher Flüssigkeiten in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt zu berechnen. Für die gesuchte Funktion der Geschwindigkeitsverteilung wird ein Lösungsansatz gewählt, der eine Anzahl unbestimmter Parameter enthält. Dieser Ansatz wird in die die Bewegung beschreibenden Differentialgleichungen eingesetzt. Die freien Parameter im Lösungsansatz werden nun so bestimmt, daß die Differentialgleichung und ggf. die vorliegenden Randbedingungen möglichst gut erfüllt werden. Dies geschieht mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate, die die Summe der Fehler bzw. Fehlerquadrate zum Minimum macht. Die Geschwindigkeitsverteilung liegt damit in Form einer Funktion der Ortskoordinaten vor, mit der ggf. in einfacher Weise weitergerechnet werden kann. Das Verfahren wird an einigen Beispielen erläutert.Vortrag auf dem Darmstädter Kunststoff-Kolloquium am 21. März 1969.Alle numerischen Rechnungen wurden an der elektronischen Datenverarbeitungsanlage TR4 des Rechenzentrums der Universitgt Stuttgart durchgefiihrt.Für die Erm6glichung und Diskussion dieser Arbeit danke ieh Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Sehenkel.Herrn Dr.-Ing.E. Steck sei an dieser Stelle für wertvolle Hinweise und Diskussionen gedankt.     

Inelastic deformation of thin cylindrical shells under axisymmetric loading

Summary The response of a thin cylindrical shell of elastic-viscoplastic material to internal pressure is considered. Small displacements and the validity of the kinematical Love-Kirchhoff-hypothesis are presupposed. Further it is assumed that the inelastic behavior of the shell material is governed by a unified constitutive model with internal state variables, where the total strain tensor can be decomposed additively into an elastic and an inelastic part. Under these assumptions the governing differential equation for the radial displacement is derived. A general solution is obtained by the method of variation of parameters and adjusted to different boundary conditions.Solution of inelastic problems requires tracing of the entire loading path which leads to an initial value problem. This initial value problem is formulated for Hart's constitutive model and solved numerically by an implicit time integration procedure. Finally numerical results are presented.

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Inelastische Deformation dünner Kreiszylinderschalen bei axialsymmetrischer Belastung

Übersicht Es wird die Reaktion einer dünnen Kreiszylinderschale aus elastisch-viskoplastischem Werkstoff auf eine Belastung durch Innendruck untersucht. Es werden kleine Verschiebungen und die Gültigkeit der kinematischen Hypothese von Love-Kirchhoff vorausgesetzt. Ferner wird angenommen, daß das inelastische Verhalten des Werkstoffs durch ein einheitliches konstitutives Gesetz mit inneren Zustandsvariablen beschrieben wird, wobei der Tensor der Gesamtverzerrungen additiv in einen elastischen und einen inelastischen Anteil aufgespalten werden kann. Unter diesen Voraussetzungen wird die Differentialgleichung für die Radialverschiebung abgeleitet. Für sie wird eine allgemeine Lösung mittels Variation der Konstanten ermittelt und an verschiedene Randbedingungen angepaßt.Bei der Lösung inelastischer Probleme muß der gesamte Belastungspfad verfolgt werden. Dies führt auf ein Anfangswertproblem. Dieses Anfangswertproblem wird für das Werkstoffgesetz von Hart formuliert und numerisch mittels eines impliziten Zeitintegrationsverfahrens gelöst. Abschließend werden numerische Ergebnisse vorgestellt.

     

Über die Verwendung des Energiesatzes zur Lösung von Oberflächenwellenproblemen

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß im Falle der Wellenerrcgung durch stationär schwingende Erreger der Energiesatz auf rechnerisch einfachem Wege eine Näherungsbeziehung für die Amplitude der ins Unendliche abwandernden Oberflächenwellen ergibt. Die Näherung erweist sich dabei um so besser, je kleiner die Längenabmessungen des Wellenerregers gegenüber den sonst vorkommenden Längen (Eintauchtiefe, Wellenlänge) sind. Diese allgemein abgeleitete Näherungsbeziehung wird für zwei einfache Fällc der Wellenerregung durchgerechnet. Der erste Fall, die periodische Quelle führt auf ein einfaches Ergebnis, das in Übereinstimmung mit der für diesen Fall der Wellenerregung bereits vorhandenen strengen Theorie ist¹. Der zweite Fall, der Tauchschwingungen ausführende Quader führt ebenfalls auf eine einfache Beziehung für die erzeugte Wellenamplitude. Für den Grenzfall verschwindender Quaderbreite geht diese wieder in die Lösung für die periodische Quelle über. Für den Grenzfall verschwindender Eintauchtiefe wird der Vergleich mit einer schon vorhandenen Theorie durchgeführt. Endlich werden die beiden gerechneten Fälle mit am Tauchschwingungen ausführenden Quader durchgeführten Experimenten verglichen.Die vorstehende Arbeit wurde auf Veranlassung von Herrn ProfessorSchuler im Institut für angewandte Mechanik der Universität Göttingen durchgeführt. Herrn Prof.Schuler sowie Herrn Prof.Prandtl bin ich für die Förderung der Arbeit zu Dank verpflichtet.     

Torsion des unendlichen Halbraumes durch einen kreisförmigen Stempel

Übersicht Es wird ein numerisches Berechnungsverfahren für die Einleitung des Torsionsmomentes im unendlichen Halbraum durch einen kreisringförmigen Stempel, der fest mit dem Halbraum verbunden ist, entwickelt. Das gemischte Randwertproblem wird mit Hilfe geeigneter Singularitäten auf eine Fredholmsche Integralgleichung zurückgeführt und numerisch gelöst. Die Lösung der Integralgleichung gibt direkt die gesuchten Schubspannungen in der Kontaktfläche an. An Testreohnungen wird die Brauchbarkeit der Methode aufgezeigt.

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Torsion of an elastic half-space by a flat annular stamp

Summary The problem considered here is that of an elastic isotropic half-space twisted by the rotation of a flat annular stamp to which it is joined. Using singularities the mixed boundary value problem is reduced by means of Betti's reciprocical theorem into a Fredholm integral equation for the unknown shearing stresses in the contact region. Some numerical results are presented and compared with published ones.

     

Elementare Theorie der Schwingungsfestigkeit

Zusammenfassung Für den Schwingungsvorgang, den eine periodische, eingeprägte Kraft in einem zähen Werkstoff hervorruft, wird eine Bewegungsgleichung aufgestellt, die eine durch Wegfall des Trägheitsgliedes verkürzte Form der für den einfachen Schwinger geltenden Gleichung ist. Diese Gleichung besitzt, abgesehen von einem mit t abklingenden Teil, ein periodisches Integral, das als eine gegen die eingeprägte Kraft in der Phase verzögerte harmonische Schwingung aufzufassen ist. Durch diese Phasenverschiebung, die gerade von der Dämpfung des Werkstoffes herrührt, entsteht ein energieverzehrender Schwingungsvorgang. Die zu Aufrechterhaltung dieses Vorganges erforderliche Arbeit wird zur Ableitung der Wöhlerkurve verwendet, und stellt in bemerkenswerter Weise deren wesentlichen Verlauf dar. Die zu dem Schwingungsvorgang gehörige Hysteresiskurve ist eine Ellipse, deren Konstruktion angegeben wird. Die Untersuchung ermöglicht Erweiterungen verschiedener Art, u. a. auf mehrachsige Spannungs- und Schwingungszustände und auf andere Formen des Ansatzes für die innere Reibung des Werkstoffes.     

Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Potential flow analysis by finite elements

Summary A finite element formulation is developed for the analysis of a general discontinuous potential field (with multiply connected regions) and leads to the solution of the Dirichlet, Neumann and Mixed Boundary Value Problems. Subcritical compressibility effects are included. The finite element model is presented in detail for the two-dimensional and axisymmetric case, but may readily be extended to the general three-dimensional case. For the representation of general boundary conditions (linear interdependencies between the unknown variables) two alternative methods are formulated. Several typical examples including compressibility, circulatory (lifting) flow and the analysis of infinite cascades demonstrate the wide applicability and accuracy of the method.

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Übersicht Für die Berechnung von allgemeinen diskontinuierlichen Potentialfeldern mit mehrfach zusammenhängenden Bereichen wird eine Formulierung für die Methode der finiten Elemente entwickelt. Dies führt zur einfachen Lösung von Randwertproblemen erster, zweiter und dritter Art, wobei auch Kompressibilitätseffekte im unterkritischen Bereich berücksichtigt werden können. Ein Finite-Element-Typ wird im Detail für den zweidimensionalen und rotationssymmetrischen Fall abgeleitet, jedoch kann die Darstellung leicht auf den allgemeinen dreidimensionalen Fall ausgedehnt werden. Für die Verwirklichung allgemeiner Randbedingungen (d. h. Berücksichtigung von linear abhängigen unbekannten Variablen) werden zwei Methoden formuliert.Mehrere typische Beispiele, welche Kompressibilität, Auftrieb und die Berechnung unendlicher Kaskadenströmung behandeln, zeigen dic Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten und die Genauigkeit der Methode.

     

Eine Methode zur direkten Berechnung von Gleichgewichtslagen im Nachbeulbereich

Übersicht Es wird eine Methode vorgeschlagen, mit der durch Auffassung des Beulens als quasi viskosen Prozeß Gleichgewichtszustände im Nachbeulbereich ohne inkrementelles Vorgehen und unbeeinträchtigt von Durchschlags- oder Verzweigungspunkten berechnet werden können. Für die Anwendung auf Platten und Zylinderschalen werden Beispiele gegebenZusammenfassung Das Verfahren der quasi viskosen Dämpfung ermöglicht die direkte Berechnung von Gleichgewichtszuständen im Vor- und Nachbeulbereich von elastischen Konstruktionen.Der Berechnungsprozeß wird von örtlichen Durchschlags- oder Verzweigungspunkten nicht beeinträchtigt. Bei entsprechender Wahl der Dämpfung kann auf das schrittweise Aufbringen der Last, wie in inkrementellen Verfahren üblich, verzichtet werden.

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A method for direct calculation of equilibrium states in the post buckling range

Summary The common incremental procedure is replaced by a quasi viscous method, which allows stable equilibrium states in the post buckling range to be found unaffected by limit points or bifurcations of the solution path. Examples are given for the buckling of plates and shells.