三角形线段比中的两个定理及应用

本文首先介绍三角形线段比中的两个有用定理 .定理 1　在△ ABC中 ,E为 BC上一点 ,任作一直线分别交 AB、AE、AC于 P、N、Q,若记 BEEC=λ,则PNNQ=λ.APAB.ACAQ.证明　如图 1所示 ,在△ ABE和△ AEC中 ,由正弦定理可得sinα=BE .sin∠ 1AB ,sinβ =EC .sin∠ 2AC . 图 1∵　∠ 1     

忽视点的多种位置关系致误一例

黑龙江省2002年初中升学考试中有这样一道试题:已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h图1请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在△ABC内(如图2),点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1、h2、h3与h又有怎样的关系,请写出你的猜想,不需证明.图2提供的参考答案如下:如图2,当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h成立.过点P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K.由题意得h1+h…     

两道数学题的另证

<正>题1[1]如图1,在锐角△ABC中,M为边AB的中点,AP⊥BC于点P,△BMP的外接圆与边AC切于点S,延长MS、BC交于点T.证明:直线BT与△AMT的外接圆切于点T.证明如图1所示,连接MP、BS.在Rt△APB中,由题设知AM=BM=PM,则∠MSB=∠MPB=∠MBP=∠MBT.     

三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:P是△ABC内任意一点,射线AP、BP、CP分别交边BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AGPG=ADPD.证明如图1所示.由面积关系可得AGPG=S△AEFS△PEF=S△AEFS△APF·S△APFS△PEF=EBPB·ACEC=S△EBCS△PBC·S△ABCS△EBC=S△ABCS△PBC=ADPD.故性质得证.注(1)此证明是由结论而联想到面积关系,使证明简单,自然而一气呵成.(2)此结论还有以下等价形式(略去证明):     

双曲线的一个性质

<正>本文拟介绍一个关于双曲线的性质.首先看如下性质:如图1,若AD∥BC,则S△ABC=S△DBC;反之,若S△ABC=S△DBC,则AD∥BC.下面利用这个性质给出双曲线的一个性质:情形1如图2,点M、N是双曲线y=k/x(k>0)第一象限     

数学奥林匹克问题选登

1991年9月号问题解答 (解答由供题人给出) 7.在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,在AB、AC上各取一点M、N,满足DM⊥DN。试证:△BDM与△CDN的外接圆外切且直线MN是这两圆的一条公切线。证明易知A、M、D、N四点共圆,可得∠DMN=∠DAN=∠ABC。 (1)若∠BMD=90°,则∠DNC=90°(如图1)。Rt△BDM、Rt△CDN的外心各是BD、DC的中点O_1、O_2,连结O_1M、O_2N,易证MN⊥O_1,M、MN⊥O_2N。此时既易证明△BDM与△CDN的外接圆外切,又不难证得直线MN是这两圆的     

非直角三角形垂心的几条性质

<正>性质1如图1,锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,过垂心H作△HBC的外角平分线分别交AC、AB于点M、N,则△AMN是等腰三角形.证明∵MN是△HBC的外角平分线,∴∠BHN=∠CHM,易证B、C、E、F四点共圆,∴∠HBN=∠HCM,于是∠ANM=∠HBN+∠BHN=∠HCM+∠CHM=     

三角形的一个向量性质及其在空间的拓广

本文将给出与三角形的中线有关的一个向量性质,并将其推广到空间.图1定理1如图1,G为给定△OAB的边AB的中点,D为中线OG上一定点(异于点O),过D点任作一直线,分别交OA、OB于M、N,设OM=x OA,ON=y OB,则1x 1y=定值.证明∵G是AB边的中点,∴OG=12(OA OB).∵D为中线OG上的一定点,∴OD、     

一个图形中的多种均值线段

如图 ,半径为R、r的两圆相互外切于点T ,AB为两圆的外公切线 ,连结AT、TB ,作过T点的两圆的内公切线TC交AB于C .连OC、O′C ,分别交AT、BT于M、N .有以下结论成立 :(1)图中所有直角三角形都相似 ;(2 )除两圆半径外 ,所有的线段都是某些线段的均值线段 .下面分析论证 :1° .先证明Rt△AMC∽Rt△OMA∽Rt△OAC .∵　CA、CT为⊙O切线 ,A、T为切点 ,∴　CA =CT ,且∠ACO =∠TCO .∴　OC⊥AT .而　∠OAC =90° ,∴　△OAC为直角三角形 .∴　Rt△AMC∽Rt△OMA∽Rt△OAC .2° .证明　Rt△AMC≌△Rt△TMC .在Rt△A…     

三角形高上距垂足近的三等分点的性质

<正>性质1如图1,任意△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,P是AD上距垂足近的三等分点,以P为圆心,PA为半径的圆交BC或其延长线于点M、N.则△AMN是等边三角形.证明连结PM,∵P是AD的三等分点,1∴PD=PA,2而PA=PM,1∴PD=PM,2在Rt△PDM中,显然∠PMD=30°,从而∠MPD=60°,∵∠PMA=∠PAM,1∴∠PMA=∠MPD=30°,2∴∠AMN=∠PMA+∠PMD=60°,     

一个平面几何问题的探究

<正>2020年4月22日,黄利兵老师在微信群"我们爱几何"贴出一个问题:题1如图1,已知△ABC,M为BC的中点,⊙L过点B、M且与AB相切,过L作LN丄AC,N为垂足,证明:∠BMA=∠CNM.分析1点N是题目中的特殊点,注意到∠BMA=∠CNM与△AMN∽△ACM、AM²=AN·AC可互相推出,先从根轴的角度处理点N.     

例谈角平分线上点的性质的应用

笔者在探究一类问题的过程中,发现角平分线上的点有如下性质:图1性质如图1所示,P为∠AOB的角平分线OC上一点,且满足OP=d,过P作直线l交OA,OB于M,N两点,若∠AOB=2θ,则O1M O1N为定值2cdosθ.证明设∠MPO=α,则∠NPO=π-α,∠OMP=π-θ-α,∠ONP=θ-α,在△OPM中,由正弦定理知sOin     

一道奧数题的简证

<正>题目[1]如图1,在Rt△ABC中,已知CD为斜边AB上的高,I、I1、I2分别为△ABC、△ADC、△BDC的内心,IE⊥AB于点E,直线AI与BC、BI与AC、MN与CD分别交于点N、M、Q.证明QE∥=CI.在文[1]的证明中,作了很多辅助线,使证明过程比较迂回而繁琐.经笔者研究发现,证明此题不须作辅助线,其证明过程简洁而明快.     

三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:图1如图1,P为△ABC内任一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AP·DG AG·DP=AP·DG AD·PG=2.证明如图1所示,由面积关系可得AG PG=S△AEF S△PEF=S△AEF S△PAF·S△PAF S△PEF=EB PB·AC EC=S△EBC S△PBC·S△ABC S△EBC=S△ABC S△PBC=AD PD.于是AG·PD=AD·PG=(AP+PD)(AP-AG)=AP2+AP·PD-AP·AG-AG·PD=AP(AP+PD-AG)-AG·PD=AP·DG-AG·PD,即AP·DG=2·AG·PD.所以AP·DG AG·PD=2.同理AP·DG AD·PG=2.故AP·DG AG·PD=AP·DG AD·PG=2.注(1)此处的证明是联想到“A、G、P、D P交点为     

赏析三角形的两条性质

<正>性质1如图1,△ABC中,在CA的延长线上取一点M,使MC=AB,在BA上取一点N,使NB=AC,直线MN交BC于点D,则BD/DC=AC/AB.证明∵MA+AC=MC=AB,∴MA=AB-AC,同理NA=AB-AC,因此MA=NA,对于△ABC及截线DNM,应用梅涅劳斯     

一道数学奥林匹克问题的简证

《中等数学》08年第3期《数学奥林匹克问题》初220题为:图1如图1,D是△ABC边BC上的点,DBCD=mn,P是AD上的任意一点,过A、P两点作⊙O1、⊙O2,⊙O1与AB、AC分别交于点M、N,⊙O2与AB、AC分别交于点E、F,M与E、N与F均不重合.求证:MNFE..AACB=mn.笔者认为,此题的参考答案,证明较繁.经     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

一道2015泰国数学奥林匹克题的拓展及简证

<正>题目~([1])如图1,在不等边△ABC中,∠ACB=90°,内切圆⊙I分别与边AB、BC、CA切于点D、E、F,直线AI、BI分别与直线EF交于点M、N.若G为边AB的中点,证明:M、N、D、G四点共圆.文献~([1])不仅用了多点共圆的知识,而且还用到了"根轴"的知识以及"九点圆"的知识,使证明顺利完成.     

构造A字型 图解中考题

<正>构造是一种创造能力,就平面几何而言主要是作辅助线,本文以2014年几道中考题为例,谈谈如何构造课本基本图形(如图1常称A字型)解(证)题.例1(湖北黄石)AD是△ABC的中线,将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角,交边AB于点M,交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).(1)如图2,当△ABC为等边三角形且α=30°时,证明:△AMN∽△DMA;