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正多面体外接球面上点的性质 总被引:1,自引:0,他引:1
文[1]、[2]分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质本文就这类问题再行讨论为引申问题方便起见,我们用如下证法替代文[1]、[2]对下面的性质1、2的证明方法。性质1正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值.证明如图1,设正六面体ABCDA'B'C'D'的棱长为a,外接球心为O,P为外接球面上任意一点。显然,正六面体的对角线B'D通过球心0,故∠B'PD=90°.因此,在△B'PD中有性质2正四面体外接球面上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.证明由于在图1中,三… 相似文献
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四面体内心与旁心的一个有趣性质 总被引:3,自引:0,他引:3
文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理 设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1 点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1 定理 1图证 如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC… 相似文献
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关于线性空间到欧氏空间的映射与线性映射 总被引:1,自引:0,他引:1
文[2]推广了文[1]的全部定理,文[3]又推广了文[2]的全部定理,本文进一步推广了文[3]的全部定理,且证法简洁明快.本文约定,若V,ω是线性空间,则Vω表示V到ω的所有映射的集合,L(Vω)表示所有V到ω的线性映射的集合,L(V)表示V的所有线性变换的集合.本文总假定V是实数域上的线性空间,ω,ω1,ω2,…,ωn为欧氏空间.引理1 设A,B∈Vω,Ct,Dt∈Vωt(t=1,2,…,n),若α,β∈V有(Aα,Bβ)=∑nt=1(Ctα,Dtβ)(1)则x1,x2,…,xr, y1,y2,...,ys∈R(r,s∈N)α1,α2,…,αr, β1,β2,...,βs∈V,有(∑ri=1xiAαi,∑sj=1yjBβj)=∑nt=1(∑ri=1x… 相似文献
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文[1]、文[2]、文[3]分别给出以下3个定理:
定理1 在存在内切球的前提下,多面体的体积均等于其表面积与相应内切球半径乘积的三分之一. 相似文献
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文[1],[2]分别给出了正三角形和正四面体、正方形和正方体的定值性质.文[3]将结论做了进一步推广,给出了平行四边形和平行六面体的类似定值性质.笔者在此将上述结论作更进一步推广,并就文[2]和文[3]性质的证明中笔者认为值得商榷的地方作一说明. 相似文献
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文[1]给出了2006年湖北省高考数学第20题的一个推广.命题1若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点,设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则点B在以MN为直径的圆内.并由此还发现了椭圆一个和谐而优美的性质.命题2若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点.1)设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则直线MN经过椭圆的右焦点F(c,0).2)设P为左准线上不同于点(-ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的… 相似文献
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文[1]推广了文[2]的两个结论,得到如下命题:
命题1 设A,B分别为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)的左、右顶点,P为直线x=u上不同于点(u,0)的任一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N,则 相似文献
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也谈一个定值命题的推广 总被引:1,自引:1,他引:0
文 [1]证明了下面的命题 :命题 1 设P1、P2 、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1=BP2 =CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 .文 [2 ]用解析法给出上面命题一个简洁证明 ,并将其“推广”为 :命题 2 设P1、P2 、P3分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1∶P1B =BP2 ∶P2 C =CP3∶P3A =λ ,以△ABC的重心G为圆心 ,定长R为半径作⊙ (G ,R) ,直线l是⊙ (G ,R)的任意一条切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 (3R) .笔者认为 ,命题 2是假… 相似文献
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<正>1前言正多面体也称为“柏拉图多面体”,它的历史可以追溯到古希腊时期.柏拉图(Plato,公元前427-347)在宇宙起源学说中将正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体分别与火、土、气、水这四种元素相对应,而正十二面体由于具有每个面均为正五边形的特殊性,作为“第五种存在”(quintessence)2对应着宇宙.在欧几里得(Euclid,公元前330-260)的《几何原本》第13卷命题13-17中严谨地证明了如何在球内作这五种内接正多面体3, 相似文献
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文[1]给出了一个关于棱柱的猜想:任意棱柱A1A2…An-2-A1′A2′…An-2′(n≥5)内一点P,P分该棱柱体积棱锥化定比为F(P)=(m1,m2,m3,…,mn),分过P且平行于底面的截面的面积三角形化定比为f(P)=(λ1,λ2,λ3,…,λn-2)则m1 m2=31,mi=23λi-2(i≥3,i∈N ).笔者在此给出该猜想的证明.图1棱柱证如图1,记该棱柱体积为V,高为h,截面B1B2…Bn-2(n≥5),面积为S.过点P作P1P2∥AiAi′交上、下底面分别于点P1,P2.记点P到上底面A1A2…An-2的距离为h1,到下底面A1′A2′…An-2′的距离为h2,则h1 h2=h.1)由文[2]定义1知m1=VP-A1A2…An-2V,m2=VP… 相似文献
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文 [1 ]、[2 ]给出的三角形内心的向量表示可进一步改进为更简洁的形式 :设O为△ABC所在平面上一点 ,角A ,B ,C所对的边长分别为a ,b ,c ,则O为△ABC内心的充要条件是aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .证 充分性若aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .∵OB→ =OA→ +AB→ ,OC→ =OA→ +AC→ ,∴ (a +b +c)OA→ +bAB→ +cAC→ =0 ,∴AO→ =1a +b +c(bAB→ +cAC→)=bca +b +c( AB→|AB→|+ AC→|AC→ |) .∵ AB→|AB→ |与 AC→|AC→|分别为AB→ 和AC→ 方向上的单位向量 ,设AP→ =AB→|AB→ |+ AC→|AC→|,则AP→ 平分∠BAC .… 相似文献
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1 引 言 近年来,范数在矩阵计算[2]、扰动理论[4]等领域中的应用越来越广泛.有关范数不等式的运用在一些证明中也越来越常见. 在文[3]中,Horn和Johnson引用了这样的一个范数定理: 命题 V为域F(C或R)上的向量空间,若‖·‖a1,…,‖·‖am为V上的向量范数,‖·‖β是Rm上的向量范数,则函数f:V|→R 相似文献
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《数学通报》数学问题1813是:
正方体内切球的半径为R,P为球上任一点,P到正方体各面的距离分别为PNi(i=1,2,…,6).证明:∑6i=1PN2i=8R2,∑6i=1PN3i=12R3.
此题凸显了长方体同心球的一些性质.
所谓长方体的同心球,是指球心在长方体中心的球,长方体的外接球是它的特例,当长方体正好是正方体时,其内切球也是它的同心球. 相似文献