秦九韶三斜求积公式和海伦公式

我国宋代数学家秦九韶,字道古,自称鲁郡人,其实他本人生于四川。其生卒年代大约是公元1202——1261年。他所发明的“三斜求积术”,实际上是由已知三角形的三条边求其面积的方法。此术见于秦九韶所著《数书九章》第五卷第二题:     

趣谈海伦-秦九韶公式及其应用

<正>每位同学都应该学过三角形面积=底×高÷2,但如果不知道一个三角形高线的长度而只知道三条边的长度,又该如何来求解三角形的面积呢?其实,这是一个很古老的数学问题,历史上无论是在西方还是在中国,都有杰出的数学家对这个问题进行过深入的研究,并得出了重要的结论.今天就让我们一起来重温这段重要的数学历史吧.     

类海伦公式的另证

文[1]给出了四面体中类似于海伦公式的一个体积计算公式．     

海伦公式的平几法简证

若△ABC三边长为a、b、c,则它的面积: ① (P为半周长) ①式即著名的海伦公式.本文提供平面几何的证法. 证明不妨设a≥b≥c.由于最大边上的高必在△ABC内部.故选择添BC边上的高AD.(见上图).令AD=h,BD=z,DC=y.     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

海伦数组的公式

1 一般海伦数组 1.1 海伦数组是否已有公式? 美国新数学丛书之一:《有趣的数论》中提及:     

海伦公式的妙用

<正>~~     

海倫-秦九韶公式

我國宋代大數學家秦九韶所發明的“三斜求積術”,就是從已知三角形的三邊而求其面積的方法,原術載於秦氏所著數書九章一書的第五卷第二題,共原題及術文錄後:     

本原海伦数组公式

三边及面积均为整数的三角形称为海伦三角形,三边互素的海伦三角形,称为本原海伦三角形［１］．本文拟应用无平方因子数［２］的有关理论给出本原海伦数组公式．由于水平限制,不当之处,请同行指正．１　预备定理及公式定义１　ｅ∈Ｎ,如果ａ２｜ｅ,则ａ叫作ｅ的平方因子．显然１是任何正整数的平方因子．如果除１外ｅ没有其它的平方因子,我们就说ｅ是无平方因子数,或者说ｅ无平方因子．比如１,２,３,５,６…等就是无平方因子数．下面用Ｅ表示无平方因子数集,Ｑ表示非零有理数集．定义２　Ｆ（ｅ）＝｛λｅ｜λ∈Ｑ｝（ｅ∈…     

四边形的海伦面积公式

当且仅当a=b=c=d,即四边形是圆内接正方形时,面积最大．     

秦九韶三斜求积公式及其应用

当已知三角形的三边,求面积时,常用公式△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)来算,但也有不便之处.例如,“在△ABC中,已知a=(41)~(1/2),b=(34)~(1/2),c=5求面积”用这个公式来算,就殊感困难. 我国南宋时的大数学家秦九韶著有《数书九章》一书(1247年).在该书的第五卷中,     

“海伦公式”的历史

已知三角形的三个边a,b,c,求它的面积S,有公式 S=(p(p-a)(p-b)(p-c))~1/2 (1)其中p=(a b c)/2。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何課本上一般都有介紹。人們以为这个公式一定是海伦所首先发現,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊末期,亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我們还不知道,大概在公元1-3世紀期間。     

四面体中一个优美的公式——类海伦公式

古希腊几何学家海伦（Heron）在著作《度量》中提出并证明了已知三角形三边长求面积公式：用a,b,c表示三角形的边长,p表示三角形的半周长,     

两证点到直线距离公式

点到直线距离公式在教材上、资料上有很多种证法,本篇将结合高二学生的实际,根据学生已掌握的知识,介绍两种新证法.图1已知直线l的方程:Ax B y C=0(A、B不全为0),P(x0,y0)为平面上任一点,求点P到直线l的距离.证法1(向量方法)如图1,设P1(x1,y1)为直线l上一点,G为过点P(x0,y0)作直线l的垂线的垂足,直线l的法向量为n=(A,B),其单位向量n1=1A2 B2(A,B),P P1=(x1-x0,y1-y0)由向量数量积的几何意义得:d=PG=P P1·n1=1A2 B2 A(x1-x0) B(y1-y0)=1A2 B2 Ax1 B y1-Ax0-B y0=Ax0 B y0 C A2 B2(∵Ax1 B y1=-C)证法2(最值方法)由平面几何…     

秦九韶“三斜求积”公式的来历

南宋的秦九韶(1202—1261)是一位数学大家,有著作《数书九章》(1247)传世.“三斜求积”是该书中的一题.这个“三斜求积”术是怎样发明的,他在该题中没有说明;但从书中“斜荡求积”题的解题过程中,可以知道“三斜求积”术的来历.如图,设h为a边上的高,则三角形的面积S=1/2ah.     

海伦公式在面积问题中的应用

面积问题在中考中占有很重要的地位,在中考压轴题中,有关面积的问题常常以动态的方式出现,经常与函数知识联系起来,有时还需要分类讨论.在解题时,要注意分清其中的变量和不变量,并把运动的过程转化成静止的     

数学教材中“阅读材料”的整合运用——以“海伦-秦九韶公式”的教学设计为例

<正>将阅读材料编人教材的出发点有两个:一是体现教学内容的弹性,使教材更符合不同层次学生的发展,同时便于教师发挥创造性;二是帮助学生理解、掌握正文的内容,激励学生探究新的知识,开阔学生的视野,培养学生的人文精神.由于阅读材料不是教材的正文,在教学中往往被教师忽略,致使其应有的教学作用得不到充分地发挥.在一次九年级上的期末复习课上,二次根式一章中有阅读材料海伦一秦九韶三角形面积公式,笔者利用这一数学史的资源,进行了一次复习课的尝试,这次有益的探索,改变了以往数学复习单调做题的模式,还原了