一道选择题的两种视角

笔者最近在帮学生解答一道有关直线倾斜角的选择题时,发现从两种视角来解答,“小做”和“大做”有天壤之别!     

拋物线的几个常见结论及其应用

<正>抛物线中有关焦点弦的问题,有一些常用的结论,了解这些结论后在做小题时可迅速解答相关问题,在做解答题时也可迅速打开思路,而且能够节省很多时间.过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x_1,y+1),B(x_2,y_2)两点,则有     

训练题、检测题、测试题参考解答

[训练题解答] 线段、角题组训练 第一课 A组 1.(1)无数条;(2)一条 直线 CD;(3)过两点有且只有一条直线,两点确定一条直线;(4)两条直线相交有且只有一个交点;(5)①点在直线上,②点在直线外。     

对一道高考最值题的思考与探究

<正>题目已知F为抛物线C:y²=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l_1,l_2,直线l_1与C交于A,B两点,直线l_2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为().(A)16(B)14(C)12(D)10这是2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学Ⅰ卷第10题,其解答如下:由y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l_1,l_2,直线l_1与C交于A,B两点,直线l_2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为().(A)16(B)14(C)12(D)10这是2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学Ⅰ卷第10题,其解答如下:由y²=4x知F(1,0),     

对一道习题解法的探究

(一)题目:通过点(8,6)引四条直线与ox轴的夹角之比为1:2:3:4,已知第二条直线的方程为3x-4y=0,求其余三条直线的方程。 (华东师大数学系编《解析几何习题集》(以下简称甲书)P_71。18题;翟连林等主编《中学数学习题集第三册》(以下简称乙书)P230第7题。) (二)上述两书的解答乙书给出的解答如下: 设四条直线为l_1、l_2、k_3、l_4,倾斜角顺次为α、2α、3α、4α。由l_2的方程3x-4y=0(?)tg2α=3/4即2tgα/(1-tg~2α)=3/4(?)tgα=1/3,tga=-3(舍)(?)tg3α=13/9,tg4α=24/7∴l_1:y-6=(x-8)/3即x-3y+10=0     

解几中有关距离极值问题的复数解法

复数中的某些问题可转化为解析几何问题,辅以图形,数形结合,形象直观,使复数问题得到解答。显然某些解析几何问题也可转化为复数问题,不过其解答是否简便,是需认真对待的。笔者对解析几何中的某些与距离有关的极值问题的复数解法,作以探讨,力求简便,分几个类型简介如下。一、与直线有关的距离极值例1 已知直线l:x-y 9=0,椭圆C:x~2 4y~2=12,以椭圆的焦点为焦点再作椭圆,交直线l于点M,问点M在何处时,所作椭圆长轴最短,并求出具有最短长轴时的椭圆方程。解所给椭圆c:x~2/12 y~2/3=1的焦点为     

中考数学新题型专题训练(四) 阅读理解题

1先阅读下面的材料,然后解答问题1在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作,我们要设计一个零售供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:如图4-1(1)所示,如果直线上有2台机床时,很明显设在A1和A2之间任何地方都行,因为甲和乙     

数学问题解答北大核心

2017年11月号问题解答（解答由问题提供人给出）2391凸四边形A1A2A3A4在直线l同一侧,A1A3与A2A4是凸四边形的两条对角线,△A2A3A4,△A1A3A4,△A1A2A4及△A1A2A3的面积分别是S1,S2,S3,S4.Ai至直线l的距离为di（i=1,2,3,4）,则d1S1+d3S3=d2S2+d4S4.     

更正一道习题的解答

本刊 2 0 0 1年 2 0期第 3 2～ 3 3页上有一道题为 :8.已知ａ ,ｂ ,ｃ为某一直角三角形的三边长 ,ｃ为斜边 ,若点Ｍ (ｍ ,ｎ)在直线ａｘ +ｂｙ - 2ｃ =0上 ,则ｍ2 +ｎ2 的最小值为.在同期 3 3页上给出解答为 :依题意 ,有ａ2 +ｂ2 =ｃ2 ,且ａｍ +ｂｎ =2ｃ ,∴ａｍ +ｂｎ≤ａ2 +ｍ2 +ｂ2 +ｎ22=ｃ2 +ｍ2 +ｎ22 .即ｍ2 +ｎ2 ≥ 4ｃ -ｃ2 =- (ｃ- 2 ) 2 +4,∴当ｃ=2时 ,ｍ2 +ｎ2 的最小值为 4.本解答结果是正确的 ,但过程有错误 .事实上 ,4ｃ-ｃ2 =- (ｃ - 2 ) 2 +4有最大值 4,由ｍ2 +ｎ2 ≥ 4ｃ -ｃ2 ,4ｃ -ｃ2 ≤ 4不能得出ｍ2+ｎ2 ≥ 4,这是…     

注意教材中的“约定”

教材中的“约定”大致分四种情况 ,往往不引起同学们的注意 ,导致解题的繁琐或错误 .本文举例说明 .1　用附注给出的《立体几何》必修本Ｐ9页末有一段文字 :本书中没有特别说明的“两条直线 (平面 )” ,均指不重合的两条直线 (平面 ) .不妨看一看复习参考题一 (Ｐ48)第 1题 :下面的说法正确吗 ?为什么 ?1)两条直线确定一平面 ;2 )如果两个平面有三个公共点 ,那么这两个平面重合 .也许是受命题 2 )中“平面重合”的暗示 ,不少同学对题 1)的解答是 :两直线重合时就不确定一平面 ,故命题 1)不正确 .如何评析这种解答 ,我们把它留给读者 .2　用…     

将方程组x=x_0 at y=y_0 bt(t为参数)化为标准式

对求直线ｌ:ｘ =1 2ｔｙ =2 - 3ｔ(ｔ为参数 )与抛物线ｙ2 =3ｘ相交所得弦长 |Ｐ1 Ｐ2 |的问题 ,发现有的同学采用了如下解法 :将直线ｌ的参数方程代入 ｙ2 =3ｘ ,整理 ,得9ｔ2 - 18ｔ 1=0 .其两根ｔ1 ,ｔ2 ,则|Ｐ1 Ｐ2 | =|ｔ1 -ｔ2 |=(ｔ1 ｔ2 ) 2 - 4ｔ1 ｔ2=2 2 - 4× 19=4 23.不难检验解答是错误的 ,正确的答案为|Ｐ1 Ｐ2 | =4 2 63.为什么会出现这种错误 ?这需要正本清源 ,从头说起 .大家知道 ,经过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,倾角为α的直线的参数方程为ｘ =ｘ0 ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ( 1)( 1)式叫做直线的点斜…     

一道课外练习题的补遗

《中学生数学》2 0 0 1年 1 1月上期课外练习高二年级第 3题是 :已知直线ｌ :ｘ -ｙ + 6=0 ,圆Ｃ :(ｘ - 3 ) 2+ ( ｙ- 3 ) 2 =4的切线及ｘ轴、ｙ轴围成的四边形有外接圆 ,求此外接圆的方程 .在解答中遗漏了一种情形 :当圆的切线与ｌ平行且与负半ｘ轴、正半 ｙ轴相交时 ,已知四直线围成的四边形为等腰梯形图中的ＰＤＥＦ ,亦有外接圆 .故应补充解答如下 :又设切线方程为ｌ′ :ｘ - ｙ +ｂ′ =0 .由圆心 ( 3 ,3 )到ｌ′的距离等于圆的半径 2 ,即| 3 - 3 +ｂ′|2 =2 ,得ｂ′=± 2 2 (舍去 - 2 2 ) .设ｌ′与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ｅ( - 2 2 ,0 …     

辨析问题本质 活化解题思维——一道椭圆问题的课堂探究

一、问题展示题目:如图1,已知椭圆M:(x2)/4+(y2)/3=1,点F1、C分别是椭圆M的左焦点和左顶点,过点F1的直线l(不与x轴重合)交椭圆M于A、B两点.(1)略.(2)是否存在直线l,使得点B在以线段AC为直径的圆上?若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.二、课堂实录师:圆锥曲线问题是高考重点及难点之一,寻找恰当的解题思路是问题顺利求解的关键,高考考查的题型可谓常考常新,题型虽然千变万化,但总有其规律可循,请同学们思考一下解答圆锥曲线问题的通用方法是什么?     

加强三点注意,解决直线与圆问题

在学习平面解析几何的“直线与圆”部分时,为了实现快速、简洁、准确解答“直线与圆”有关的问题,必须注意以下几个方面.1充分利用平面几何知识,实现问题快速解答很多直线与圆的问题,利用解析方法可以使问题得到解答,但若充分利用平面几何知识,则往往能使解法更加简捷.例1已知A     

求直线方程时谨防漏解

直线方程有多种形式 ,初学者往往将注意力集中在这些公式的推导、记忆、相互转化和简单应用上 ,对求直线方程时出现的漏解常常防不胜防 ,以致考虑不周 ,解答不全 .如何查“漏”补“缺”呢 ?笔者认为要做到以下“一法五不忘” ,供大家参考 .1　勿忘“斜率不存在”若将直线方程设为点斜式或斜截式 ,则应针对斜率是否存在进行分类讨论 ,否则极易漏解 .例 1　求经过点 (3,4 ) ,并且与点 (1,1)的距离为 2的直线方程 .分析 :若将所求直线方程设为 ｙ - 4=ｋ(ｘ -3) ,再由点到直线的距离公式求出ｋ =512 ,得直线方程为 5ｘ - 12 ｙ + 33=0 ,则显然…     

用直线系中的定点解题

经过两直线 l1:A1x B1y C1=0和 l2 :A2 x B2 y C2 =0的交点 P的直线系 (动直线 )方程 l:A1x B1y C1 λ(A2 x B2 y C2 ) =0(λ∈ R,不含 l2 ,简记为 l1 λl2 =0 )的应用范围很广 .本文拟从定点 P的利用这一角度 ,略述管见 ,供参考 .解析几何中涉及到动直线 l:l1 λl2 =0与直线或圆锥曲线相交的一些问题 ,解答的关键往往是确定直线 l所经过的定点 .如能找到这个定点 (通常是隐含的 ) ,并能巧妙应用 ,问题就会迎刃而解 .1　求参数的取值范围例 1　已知两点 A(- 4 ,- 5)、B(2 ,1 ) ,直线 l:(a - 2 ) x - (a 3 ) y 5(a 1 ) =0 …     

一道赛题的又一简证

<正>题目点A为y轴正半轴上一点,A、B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=2/3x²于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x2于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x²解得2/3x2解得2/3x²-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_12-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_1²、     

对双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1存在轴对称点充要条件的修正

本刊1991年第9期由周华生、张肇平合写的文章“二次曲线存在轴对称点的充要条件”中,所给出的定理1与定理3是不严密的。并因此造成了例4的解答错误。原文的例4是: “直线y-ax 1与曲线3x~2-y~2 1相交于A、B两点。是否存在这样的实数a,使二交点A、     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

对一道题目错解的辨析

在一次测验中 ,我们出了如下一道选择题 .题目　抛物线ｘ2 =- 2 ｐｙ ( ｐ >0 )上的点与直线 3ｘ 4 ｙ - 8=0的最短距离为 1 ,则ｐ的值为 (　　 )(Ａ) 83.　　　　 (Ｂ) 8.(Ｃ) 83或1 0 49. (Ｄ) 8或569.许多同学都选择了 (Ｃ) ,其解答思路有如下两种 .解法 1　设抛物线上任一点Ｍ (ｘ ,- ｘ22 ｐ)到直线的距离为ｄ ,则ｄ =15| 3ｘ - 2ｘ2ｐ - 8|=15| 2ｐ(ｘ - 34ｐ) 2 - 98ｐ 8| ( 1 )∴当ｘ =34ｐ时 ,ｄｍｉｎ=15| - 98ｐ 8| =1 ( 2 )解得 ｐ =83或 ｐ =1 0 49.故选 (Ｃ) .解法 2　设与直线 3ｘ 4 ｙ - 8=0平行且与抛物线相切的直…