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几个著名定理的向量法证明 总被引:1,自引:0,他引:1
1 梅涅劳斯定理及其逆定理设直线PR分别交△ABC三边AB ,BC ,CA(或延长线)于R ,P ,Q ,求证:|AR||RB| ·|BP||PC| ·|CQ||QA| =1图1 三角形证 设|BP||PC| =m ,|AR||RB| =q ,|CQ||QA| =n ,则PC→=11 -mBC→,CQ→=nn + 1 CA→,AR→=q1 +qAB→,QA→=1n + 1 CA→,∴PQ→=PC→+CQ→=11 -mBC→+ nn + 1 CA→, QR→=QA→+AR→=1n + 1 CA→+ q1 +qAB→.因为P ,Q ,R三点共线,所以存在实数λ使得PQ→=λQR→.即11 -mBC→+ nn + 1 CA→=λ( 1n + 1 CA→+q1 +qAB→) =λ[1n + 1 CA→+ q1 +q(AC→+CB→) ]=( λn… 相似文献
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在三角形中,有这样一个用面积表示的向量定理:
设O为△ABC内任意一点,记△BOC,△COA,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SAOA→+SBOB→+Sc→OC=0. 相似文献
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2004年全国高中联赛第4题:设O点在△ABC内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积和△AOC面积之比( ). 相似文献
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面积法,即利用图形的面积知识,求解或证明一类几何问题,有它独到之处.它具有直观性和推理的代数简洁性,本文试图在这方面作些探索. 为行文简洁,本文将△ABC面积记为S△ABC,余类推. 定理l:s△ABC=1/2bcsinA 相似文献
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一个三角形面积不等式的推广 总被引:1,自引:1,他引:0
文献 [1]给出一个三角形面积不等式 :设面积为△的△ ABC的三边长为 a、b、c,令a1=(b c) ,b1=(c a) ,c1=(a b) ,则以 a1、b1、c1为边可作成△ A1B1C1,并设其面积为△ 1,则有 △≤△ 1. (1)本文将围绕上述定理进行推广 .1 预备知识引理 1[2 ] 设△ ABC的三边长及 相似文献
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<正>同学们都知道,三角形的中线可将原三角形分成面积相等的两个三角形.如图1,AD是△ABC的中线,则有S△ABD=S△ADC=1/2S△ABC,利用这个性质,可以巧妙地求出一些三角形的面积.一、直接运用,紧扣性质例1如图2,在△ABC中,已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点,且△ABC面积为4cm2,求阴影部分的面积. 相似文献
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2004年全国高中数学联赛试题第4题:设O点在△ABC内部且有→↑OA+→↑2OB+→↑3OC,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为()。 相似文献
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题目如图1,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,S△DMC、S△DAC和S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积.当AB∥CD时,有 相似文献
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在三角形中,有如下一条常用的性质:P是△ABC内任意一点,射线AP、BP、CP分别交边BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AGPG=ADPD.证明如图1所示.由面积关系可得AGPG=S△AEFS△PEF=S△AEFS△APF·S△APFS△PEF=EBPB·ACEC=S△EBCS△PBC·S△ABCS△EBC=S△ABCS△PBC=ADPD.故性质得证.注(1)此证明是由结论而联想到面积关系,使证明简单,自然而一气呵成.(2)此结论还有以下等价形式(略去证明): 相似文献
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题:在△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上。若∠BAC=60°,∠ACB=20°,∠DEC=80°,AC=1,求△ABC的面积与△CDE的面积的2倍的和。这是一道国外数学竞赛题(在叙述上略有改动),若分别求△ABC、△CDE的面积不仅繁、难,而且还需用到高中阶段的三角知识,不能为初中学生所接受(请见本刊今年第4期 相似文献
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定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1,S_2,S_3和S_4,则由三角形面积公式,可知 sin(180°-a)。故得S_1S_2=S_3S_4。在图1中,若AB∥CD,则S_△ACD=S_△BCD,可见S_3=S_4,再据定理,有 相似文献
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2001年安徽省中考数学试卷中有这样一道几何题:如图(1):已知,四边形ABCD中,AB//CD,M为AB的中点,S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积,那么: 相似文献
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垂足三角形的又一性质 总被引:2,自引:2,他引:0
文[1]给出了垂足三角形的一个性质: 定理1若△DEF是非直角△ABC的垂足三角形,△ABC的外接圆半径是R,面积为S,△DEF的外接圆半径是R0,则有 相似文献
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2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛第14题:图1如图1:已知点A在BG上,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形,其面积分别为7、11,则△CDE的面积为.这是一道不算难的题,利用sin∠CDE=sin(180°-∠ADG)=sin∠ADG,有S△CDE=12CD·DE·sin∠CDE=12AD·DG·sin∠ADG=12AD·AG=12槡7·槡11-7=槡7.笔者在研究这道题的过程中,发现还可以探得这个图中其它有意思的结论:分别求S△ADE和S△BDE的面积;并指出面积S△CDE、S△ADE、S△BDE三者之间的关系(如图2). 相似文献