坐标法·图形特征·三角等式

题目:已知Sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0(α、β、γ是任意实数),求证:sin3α+ sin3β+sin3γ=3sin(α+β+γ)、cos3a+cos3β+cos3γ=3cos(α+β+γ),此题在《数学通讯》1986年11期《问题解答》栏里用复数的有关知识进行了证明,一般资料上也是这样证明的,下面我从单位圆的角度给出一个简捷证法,     

数学问题解答

2008年10月号问题解答(解答由问题提供人给出) 1756实数α,β,γ满足α+β+γ=0,求u= sinα+sinβ+sinγ的最大值. (陕西省高陵县一中高凯庆710200)解由条件有u=sinα+sinβ-sin(α+β).不妨设0≤β<2π,而α∈R,则     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

对一道例题的再思考

文[1 ]中王佩其老师分析了例1因为没有挖掘隐含条件而致错.其实,该题我们也可以这样巧妙地求解:构造三角形,通过三角形的性质达到问题解决.例1　(文[1 ]例1 )已知锐角α,β,γ满足sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,求α- β的值.解　由题意可得sinα+sin(π+ β) +sin(π-γ) =0 ,cosα+cos(π+ β) +cos(π-γ) =0 ,设A(sinα,cosα) ,B(sin(π+ β) ,cos(π+ β) ) ,C(sin(π-γ) ,cos(π-γ) )是△ABC三个顶点的坐标,则易知原点O ( 0 ,0 )是△ABC的重心.又因为△ABC的三个顶点到原点的距离都等于1 ,所以O ( 0 ,0 )还是△ABC…     

两道三角题的多变

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册p219有这样两道题目: sinα+Sinβ+sinγ-sin(α+β+γ)=4nin(α+β)/2sin(β+r)/2sin(r+α)/2cosα+cosβ+COSr+COs(α+β+r)=4cos(α+β)/2cos(β+r)/2cos(r+α)/2 利用和差化积公式即可证得,这里从略。下面我们把(1)、(2)作为基本关系式,对a、β、γ作某种代换,就可变换出一些常见的三角恒等式。为节省篇幅,这些恒等式的推证过程请读者自己完成。     

斯坦纳定理的又一个证明

<数学通报2005年第3期数学问题解答栏1539题为:"已知:α、β为锐角,且sin2α/sin(2α+β)=sin2β/sin(2β+α).求证:α=β".……     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

再谈一道三角题的证明

题目 已知:α,β∈0,π/2,且sinα+β=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2. 此题是1983年第17届前苏数学竞赛十年级试题,比较常见的方法是应用三角函数单调性用反证法证明,文[1]想到此题一个比较简单的直接证明,文[2]又给出了一个更加简洁的直接证明,最近,笔者通过构造法得到此题的又一个直接证明.     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

又谈一道三角题的证明

题目已知:α,β∈(0,π/2),且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2.此题是1983年第17届全苏数学竞赛十年级试题,尽管题目条件比较简单,但论证角度非常丰富,很多经典的书籍和期刊文章对其均有一定的研究,文[1]对此题进行了如下的剖析(剖析1),并给出了一个解(解法1),笔者从这个剖析和解展开研究,得到一些思考结果,整理如下,与大家交流.     

一道2020年马其顿数学赛题的证法探究

<正>1题目再现(2020年马其顿数学奥林匹克竞赛试题2题)正实数x,y,z满足xy+yz+zx=27,求证:■,并求取等条件.2基础知识三角函数恒等变换有如下一题:已知锐角α,β,γ满足α+β+γ=■,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1;反之亦然.     

又谈一道三角题的征明

题目 已知:α,β∈(0,π/2),且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2.此题是1983年第17届全苏数学竞赛十年级试题,尽管题目条件比较简单,但论证角度非常丰富,很多经典的书籍和期刊文章对其均有一定的研究,文[1]对此题进行了如下的剖析(剖析1),并给出了一个解(解法1),笔者从这个剖析和解展开研究,得到一些思考结果,整理如下,与大家交流.     

考点12 三角函数的化简与求值

1.(全国卷,1)已知α为第三象限的角,则α2所在的象限是().(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限2.(北京卷,5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是().(A)sin(α+β)>sinα+sinβ(B)sin(α+β)>cosα+cosβ(C)cos(α+β)相似文献   

对一和角范围问题的置疑、猜想和证明

问题的提出某市的复习试题给出了一道三个角和的取值范围问题: 已知一长方体的一条对角线与交于同一顶点的三条面对角线的夹角分别是α、β、γ、求α+β+γ的取值范围。给出的答案是;π/2<α+β+γ<3π/4。这个问题在其它书上也有出现。如: 上海教育出版社出版的《中学数学竞赛习题》的492题与该试题的条件是一致的:“设A、B、C都是锐角,并且满足sin~2A+sin~2B+sin~2C=1,求证:π/2相似文献   

数学问題解答

1965年第12期数学问题 626.设0≤x≤1,证明: cos(arc sin x)相似文献   

四面体的一个体积公式--三面角的棱面角公式的一个应用

文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1　在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1…     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率·在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果!现用定理的形式叙述并证明·1离心率公式定理1(如图1)设椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是椭圆的离心率,则有sinαsin+γsinβ=e·图1图2证明在△PF1F2中,|sPinFα2|=|sPinFβ1|=|Fsi1nFγ2|,则|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|Fsi1nFγ2|,∴sinα2+asinβ=si2ncγsinαsin+γsinβ=22ac=e·定理2(如图2)设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P是双曲线上异于实轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是双曲线的离心率,则有|sinαsin...     

《数学通报》第2044号问题的两种简证及探究

《数学通报》数学问题解答栏目第2044号问题是:α、β为锐角,且(1+sinα-cosα).(1+sinβ-cosβ)=2sinα.sinβ.求证:α+β=π2.问题提供人给出的解答中变换较多,运算繁琐,思路极不自然本文给出这一问题的两种简     

等变不等 应用升级

高中数学课本的各种版本都有如下两个优美的三角恒等式:(1)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2;(2)cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2.若从正余弦函数的有界性来分析研究,则可得到如下两个三角不等式: