“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公     

由一道期末试题说开去

例1 (2014鄞州区期末-16)已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点,且和其中一条渐近线垂直,若(→AF)=4(→FB),则该双曲线的渐近线方程为____.     

巧用双曲线的定义解题两例

例1设双曲线与椭圆x2/27 y2/36=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程。简解设所求方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0, b>0)．由已知得两焦点分别为F1(0,-3),F2(0, 3)、点A(±15~(1/2),4)．     

对几个例子的辨析

本文对几个错例作出辨析1人民教育出版社出版的高中数学教材第二册(上)中P106的例3,题目如下:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上?(2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求曲线的方程.对于第(1)小题,教材上是这样解的:由声速及A,B两地听到爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的距离差,因此爆炸点应位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.我认为上述分析有误,双曲线是这样定义的:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常…     

椭圆、双曲线中的两类最值问题

1　问题的提出例 1　如图 1 ,已知双曲线 x24- y2 =1 ,过右焦点 F2 作直线 l与双曲线右支交于 A、B两点 ,设左焦点为 F1,求 | F1A| .| F1B|的最小值 .图 1分析 1　在双曲线 x24- y2 =1中 ,a =2 ,b=1 ,c = 5,F1( - 5,0 ) ,F2 ( 5,0 ) ,e =52 .为了书写方便 ,不妨设| F1A| =m,| F1B| =n,即求 m .n的最小值 .若求出 A、B的坐标 ,再求| F1A| .| F1B| ,显然比较复杂 .由双曲线的定义 :　 m - | F2 A| =4,n - | F2 B| =4,m .n =( 4 | F2 A| ) ( 4 | F2 B| )　 =1 6 4 ( | F2 A| | F2 B| ) | F2 A| .| F2 B|　 =1 6 4 | A…     

双曲线的渐近线方程x^2/a^2-y^2/b^2=0在解题中的应用

先看一道经典的例题[1]：例1如图1,直线l与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1交于A1、B1两点,与双曲线C的渐近线交于A2、B2两点,求证：｜A1A2｜=｜B1B2｜.证明设A1（x1,y1）,B1（x2,y2）,A2（z3,y3）,B2（x4,y4）。     

巧用定比“λ”解题

对于定比“λ”的应用,我们一般只停留在求点的坐标或以“λ”为参数求轨迹的问题中,而实际上,它还可以解决许多比较繁难的题目。下文将归纳二类问题,以供大家参考。一、证明线段相等例1 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的切点为p的切线交渐近线于A,B二点。求证:P点必平分线段AB。证明:因双曲线渐近线方程为y=±(b/a)x,可设A(x~1,(b/a)x_1)、B(X_2,-(b/a)x_2)为切线与渐近线的二交点。再设P点分线段AB的定比为λ,且P点的     

用“设而不求”法解题两例

例1 双曲线2x2-3y2-6=0的一条弦 AB被直线Y=kx平分,求弦AB的斜率． 解 设双曲线上两点A(x1,y1),B(x2, y2)．     

对教材中一道例题的变式推广

新课标教材高中数学B版·数学4第103页有一道例2:已知A、B是直线l上任意两点,O是l外一点,求证:对直线l上任一点P,存在实数t,使→OP关于基底{→OA,→OB}的分解式为→OP=(1-t)→OA+t→OB(*),并且满足(*)的点一定在l上.……     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

对一道课本习题的探究

一、问题 例1 (上教版高二下练习部分P26习题12.3B-3)求经过(-3/2,5/2)与(√3,√5)两点的椭圆标准方程. 例2 (同例1教材P30习题12.5A-1(3))写出满足下列条件的双曲线的标准方程:经过点(-√2,-√3),点(√15/3,√2).     

曲线方程证三角恒等式一例

例题在△ABC中,已知a=10,c-b=8求证tg(B/2)ctg(C/2)=(1/9)。分析由a=10,c-b=8可知|BC|=10|AB|-|AC|=8,即动点A到两定点B,C的距离的差为定值,故A在某双曲线上。证明如图,以BC中点为原点建立坐标系,则点A(x_1,y_1)在双曲线x~2/16-y~2/9=1的右支上。由双曲线的焦点半径公式得     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用.定理1如果直线l与离心率为e的双曲线C:x~2/a~2-y~2/b~2=1(或椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0)交于A、B两点,P为线段AB的中点,且l与双曲线C(或椭圆)的对称轴不平行,则k_(OP)·k_(AB)=e~2-1.本文仅证明双曲线中的公式,椭圆中的公式留给读者自证.     

对一道习题的探究

高中数学选修教材上有一题：已知双曲线x^2-y^2/2=1,     

值得推广研究的一道高考题

2011年全国高考安徽卷理科第20题是： P（x0,y0）（x0≠±a）是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0，b〉0）上的一点，A，B是双曲线的左右顶点，直线PA，PB的斜率之积为1/5,求双曲线的离心率（以下简称问题）．     

新题征展(124)

A 题组新编 1.(张乃贵)(1)已知F1,F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左、右焦点,点P是双曲线右支上的一点,且PF1=5PF2,则双曲线的离心率取值范围是____;     

两个性质的完善与启示

文[2]在文[1]的基础上推出了如下两个性质:性质1过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的顶点A的弦AQ交于y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则|OP|2=1/2|AR|·|AQ|.性质2 MN是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的焦点F的弦,过双曲线中心O的半弦OP∥MN,则|OP|2=a2|MN|.这两个性质只有当A和Q(或M和N)分别在双曲线的左、右分支上才成立,我们来看一个特例:过双曲线x2-y2=1的左顶点A且倾斜角为60°的弦AQ交y轴于点R,过双曲线中心O的半弦OP∥AQ,则由文[2]性质1和性质2的证明过程知|OP|2=a2b2b2cos2α-a2sin2α=1·11·cos260°-1·sin…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

对一题的变式探究

题目设直线l经过双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的实轴顶点M,交双曲线的两条准线于A、B两点,O是双曲线的中心且(?)·(?)=0,e是双曲线的离心率,直线l的倾斜角为θ(θ∈(0,π)),试探究θ与e之间的关系.     

关于一个集合问题的更正及补记

文[1]提出了这样一个问题： 题目已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A,则1＋a/1-a∈a. （1）若n=2∈A，求出A中所有元素．