审美直觉与数学解题

问题是数学的心脏 ,而数学美可以陶冶解题情操 .本文就审美直觉在数学解题中的意义给予论述 ,试图营造一个宽松、愉悦的解题氛围 ,进而提高数学解题的综合素质 .1　数学美的特征和数学解题的本质1 1　数学美的特征数学美的表现特征为简洁性 (即数学的符号美、抽象美、统一美 )、和谐性 (即数学的和谐美、对称美、形式美 )、奇异性 (即数学的奇异美、朦胧美、常数美 ) .[1 ]1 2　数学解题的本质数学解题的本质 ,就是根据问题中所给的信息 (包括文字信息、图形信息、数字信息、符号信息和显露信息、隐藏信息 ) ,进行分解、组合、变换、编码…     

我看数学教育中的美学原则

数学美这一名词在数学教育界已不算是什么新概念了 ,然而在数学教育中我们究竟应遵循哪些美学原则 ,自庞加莱提出数学审美四大标准以后 ,似乎这一领域的研究就不太有人再去涉足 ,人们只将它放在了理论的层次上 ,其实数学美在我们的数学教育中是大有作用的 ,本文试图在庞加莱的四大原则的基础上提出较为适用于初等数学教育的美学原则 .1　数学简洁美真理往往是简洁而明晰的 ,对于这一点 ,在我们的数学中就显得尤为突出 .比如 ,在定义一个数学概念时 ,我们不仅要考虑到概念内涵的包容程度 ,同时也要考虑到概念用词的简约程度 .对于其中不必要…     

影视中的数学文化赏析——以《博士热爱的算式》为例

1引言长久以来,普通大众对于数学学科以及数学家的看法都存在一定程度的误解.在一般人眼中,数学往往是跟枯燥乏昧、机械训练以及繁琐困难联系在一起的[1][2].然而,作为文化的数学其实是十分丰富多彩的,在许多数学家心目中,数学也具有一种特殊的美感.英国著名数学家、哲学家罗素(Bertrand Russell,1872-1970)曾这样描述数学的美:它是“一种冷峻严肃的美,就像是一种雕塑.……这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰,它可以纯洁到崇高的程度,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界”[3].     

浅谈对称性在数学发现中的作用

对称性是数学美的重要特征 .“美和对称紧密相连 .”(Ｗｅｙｌ)在数学历史的发展过程中 ,由对称性因素和对称美的考虑而引出的新概念和新理论不胜枚举 .各种逆运算的建立 ,一系列数域的扩张均与对称性因素密切相关 .由常量到变量、由确定性到随机性、由有限到无限、由精确到模糊等等 ,无不显示了对称性美学因素在数学发展中的重要作用 ,显示了数学发现中追求对称美的重要意义 .同样 ,在数学教学中 ,问题的对称性 ,常常能够启迪思维 ,启发人们探索解题思路 ,发现巧妙解法 .1　利用对称性 ,预测问题结果当人们面临一个课题或解一道数学难题时 …     

渗透数学美育的一个案例

《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订版)》中明确提出要使学生“认识数学的科学意义、文化内涵,理解和欣赏数学的美学价值”,这就要求数学教学不仅仅是传授知识,还要培养学生的审美能力和综合素质,从学生的反映来分析,他们也已初步感受到数学美,但一般都是无意识的,并非知道有数学美的存在.因此,需要教师合理引导,把教材中固有的美展示给学生,利用数学美去激发学生的学习动机和学习兴趣,让他们积极地去感受数学美,追求数学美.下面是渗透数学美育的一个案例:     

用数学美给力一道高考题的解答

数学家罗素指出:"数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美."数学家普洛克拉斯也说过:"哪里有数,哪里就有美."在平时的数学教学过程中,我们无处不在地享受着数学美的魅力!特别是在数学解题时,"数学美"会启迪我们的思路、扩展我们的思维,可以这样说"哪里有数学解题,哪里就有数学美!"如下以一道高考题为例,与大家分享用数学美给力数学的解题思路与分析.     

数列教学中数学文化资源的开发

著名数学家和数学教育家克莱因说过：＂数学是人类最高超的智力成就,也是人类心灵独特的创作.音乐能激发或抚慰人的情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切.＂数学美是客观存在的,＂哪里有数,哪里就有美＂,然而,＂数学美＂究竟美在哪里呢？     

例谈数学美在数学解题中的导向功能

在数学中，一个复杂问题的简单解法，一个对称的式子，一个优美的图形，一个和谐的结构，一个奇异的念头，都会使你沉浸在数学美的海洋中，当你从多角度、多层次、多方位来审视数学问题时，你会因数学世界的简洁、对称、和谐和奇异而赞叹不已；你会因数学的如此之美而如饮醇珍美酒；你也会因此而陶醉在数学美之中．     

例说利用对称优化解题

一道优秀的数学题能体现数学知识、信息与思想方法的合理搭配与有机结合 ,成为数学对象及其关系在一定逻辑形式下组成的一个关系结构 ,在教学过程中 ,适时、适度地引导学生去弄清问题的关系结构 ,挖掘数学问题中关系结构的和谐性与对称美 ,能简化运算 ,优化解题思路 .是实现“发展学生智力 ,培养学生能力”的重要手段 .1　熟悉常见的对称关系　抓住问题中连接数学元素之间某些对应关系(如相等、互逆、互否、同解等 )的对称性 ,通过互逆关系合理变更问题的结构 ,使问题的解决明朗化 .例 1　若函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的反函数为 ｇ(ｘ) ,且ｆ(ａｂ) …     

前车之鉴 后世之师——一节香港数学课对大陆教学改革的启示

近年来,香港的数学教育在一些国际比较测试(无论PISA和TIMSS)中一直名列前茅,数学学科教育也一直是港人的骄傲.但行内人士并不乐观,尤其和国内数学教育比较.笔者有幸听了一节课,这节课所暴露出的问题,具有一般性,是一个世界性的数学教育的难题,值得同行们共同关注、反     

数学史基础建设的典范：—《数学珍宝—历史文献精选》评介

数学科学伴随人类的起源而产生 ,是最古老的科学领域之一 .数学又是人们学习时间最长的基础知识之一 .对于数学的特点 ,一般人津津乐道的有三点 :高度的抽象性 ;体系的严谨性 ;应用的广泛性 .往往忽略了它的第四个特点 :发展的连续性 .对此 ,德国数学家汉克尔 (HermannHankel,1 83 9-1 873 )有一段精彩的论述 :“在大多数学科里 ,一代人的建筑被下一代人所摧毁 ,一个人的创造被另一个人所破坏 .惟独数学 ,每一代人都在古老的大厦上添加一层楼 .[1]数学是积累的科学 ,它本身就是历史的记录 .或者说 ,数学的过去融化在现实与未来之中 .对于数…     

开放一道题目的结论

题目　已知 :8sinα + 10cosβ =5 (1)8cosα + 10sinβ =5 3(2 )求证 :sin(α + β) =-sin π3+α .文 [1]运用对称性给出了该题一个简捷漂亮的证明 ,读后受益匪浅 .值得提出的是 ,人们在追求对称、和谐美的同时 ,亦追求一种奇异美 .徐利治教授说过 :“奇异是一种美 ,奇异到极度更是一种美 .”奇异性的结果对数学发展的影响无论作何种评价都不会过分 ,因为它意味着旧观念的崩溃和新思想的诞生 .奇异性常常体现出思维的发散性美 .在奇异、发散美的刻意追求下 ,笔者萌发开放题目结论的意识 ,而这仅需在原证法基础上作适当改进 ,引进参变数化…     

数学的美丽境界——有感于影片《美丽心灵》

数学是什么?在数学家眼里,它是诗、是 歌、是画,数学里充满了美.而数学在许多普通 人心目中却常常是枯燥的代名词,数学家的形 象是孤独的苦修者的形象.从迈进学校大门开 始,每一位学生都要与数学课相伴.然而,在茫 茫的数学"题海"之中,或许你未曾体会到数学 家们所说的数学之美.那么,影片《美丽心灵》 或许能把你带进数学的美丽境界     

数学——不仅仅需要逻辑

每一个初中生从学习平面几何那一天开始就不断地接受逻辑上的严密性的熏陶,久而久之,学生们便养成了严格地按照逻辑原理思考数学问题的习惯.甚至在公众当中也常常把思维清晰、表达有条理的人戏称为"有数学脑瓜".这些事实显然可以说明数学教育的重要性,也是数学教育工作者长期努力的结果.笔者在本文中将讨论另一方面的问题,即我们是否应该同时告诉学生们,数学不仅仅需要逻辑.     

要正确理解符号“≤”的含义

要正确地使用一个数学符号 ,首先要正确理解它的含义 .“≤”是一个完整的和独立的数学符号 ,不是两个符号“<”和“ =”的合写 .它表示左边的数量小于或等于 (即不大于)右边数量 ,读作“小于等于”(“小于或等于”) ,也可以记为“≯” ,读作“不大于”.如 3≤ 2 (3≯2 ) ,a≤b (a≯b) ,R2 ≤ 1 (R2 ≯ 1 )等[1 ] [2 ] .上面的关于符号“≤”的定义是清晰和无歧义的 .符号“≤”用于数量关系可比、能分清楚小于或等于或大于的场合 ,是对大于的否定 .若 |f(2 ) |≤7,则 |f(2 ) |不大于 8,即 |f(2 ) |≤ 8成立 ,所以文 [3]关于这个问题的看法…     

为什么要提倡数学建模,怎样教学生学习数学建模

在高中数学课程中倡导数学建模,是为了推动应用数学的观念在高中数学课程中扎根,并让它在学生心中发芽,让学生更好地理解数学与现实世界之间的联系.拉近数学教育的目标与数学的实用性之间的距离.在这样的思想指导下,我们对如何教学生会有一个不同的看法,数学教育的风格需要有一个变化,即向应用和实践的角度倾斜。单纯纠结数学建模课如何上,有可能使我们偏离更主要的目标.     

珠算算理浅论（续）

(二)惊天动地的二进数制作为一个数制对于现代人有惊天动地的影响是二进数制。原因没有别的,用"0"与"1"能够表示数不尽的数,表示数不尽的画面,表示数不尽的事物。这种数制操作简单,有利电控。它的数学与数制原理,成为当代的电脑基础。二进制数学这么重要,它究竟出自何处呢?很是叫现代人不解的是,它出自7,000年前伏羲创造的八卦。1.莱布尼茨的顿悟猜出了八卦的卦象(卦符)是二     

话说“无限”

无限,是一个普通名词,又是一个数学名词.人们可以心想无限,口说无限,各门学科也会提到无限,但只有数学,才正面研究无限,运用无限,给无限以明确的界说.关于无限的数学,是人类智慧的结晶.中学数学课堂能够谈论无限,应该是数学教学品位的一种体现.这篇文字,对于“提高数学考试成绩”也许没有什么帮助.但是,如果能够细细反思已经学习过的数学,欣赏无限之美,也许别有一番感受.数学,毕竟不是仅仅会做题而已.1无限意识任何人都有“无限”的意识.凡是自己不能把握的数量,即“数不清”的东西,就说它有无限多.例如说“空气是无限的”,“水是无限量的”…     

中考小杂技--动手操作题

2004年全国各地中考数学题中,涌现出了许多题型活泼、设计新颖、富有创意的动手操作型试题.现对这类数学中考题加以分类评析,供同行们参考.一、图形测量问题几何学是在测量等感性活动中逐步发展形成的.因此,在教学中要让学生多量一量,多做一些数学实验活动,用数据说话.例1(2004年温州市考题)下面给出的四条线段中,最长的是()评析:本题只需借助刻度尺、圆规等工具便可测量、比较得出答案(D)例2(2004年杭州市中考题)如图为羽毛球单打场地按比例缩小的示意图(由图中粗实线表示),它的宽为5.18米,那么它的长约在()A.12米至13米之间B.13米至14米…     

对称——解高考数学题的好方法

对称是普遍的自然现象.对称表现了简单、和谐、匀称,带给人美的享受.对称在数学中也是广泛存在的,如图形的对称性,数学的对称结构,思考问题的对称策略,数学的对称美等.用现代数学语言来讲,对称就是数学对象在某种变换下保持的不变性.于是,我们可以说:对称是人的视觉系统对客体