悖论与分式方程

数学上有一个著名的“2 =1悖论” .通过证明得出 2 =1的结论 .具体过程如下 :证明　设ａ =ｂ ,则ａ2 =ａｂ .ａ2 -ｂ2 =ａｂ -ｂ2 .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ) ,ａ +ｂ =ｂ ,ｂ +ｂ =ｂ ,2ｂ =ｂ ,2 =1.这个看似天衣无缝的证明 ,其实并不严密 .第 4步 (ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ)到第 5步ａ +ｂ =ｂ ,是两边同时除以 (ａ -ｂ) ,但我们假设ａ =ｂ ,所以ａ -ｂ =0 ,因此我们是在两边同时除以 0 ,于是出现了悖论 .利用这个悖论可以很好地说明分式方程增根的问题 .为了明晰起见 ,将这几步重新书写于下 ,并添补上最关键的一步 .(ａ +ｂ) (…     

征稿启事

周文（河北省霸州市第五中学，065700）老师指出：本刊2009（1下半月）杨志明文“IMO49—2的拓展”中的两定理值得商榷．     

数学百花园

说谎者悖论: “我正在说的这句话是谎话.”公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这个悖论,至今还在困扰着数学家和逻辑学家.这就是著名的说慌者悖论.类似的悖论最早是在公元前六世纪.出现的,当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说:“所有的克里特岛人都说谎.”在中国古代《墨经》中,也有     

悖论与数学基础问题(补充二)

如文(Ⅰ)所述,“抛球问题”是由西方数理哲学家作为zeno悖论的引伸而提出来的(见本刊1982年第三期)。很明显,如果把时间连续统的数学模型取成标准实数集R的话,则该问题将无从产生,也就谈不上有何悖论,原因是抛球运动对时点t=1并无定义。 另一方面,如果把时间连续统的数学模型取成为非标准实数连续统R,则时点t的变域将包括半开区间[0,1)内一切非标准的与标准的实数点。于是“时间t到达1”的含义可解释为“时点t按其标准部份(standard part)取到标准实数1”。这就是说,“时点     

答《关于Epimenides悖论》一文

莫绍揆教授在[2]中一开始罗列了如下三个命题: (*) Epimcnides(克里特岛人)说:凡克里特岛人都说慌。 (1) 现在我说一句假话(Eubulides)。 (2) (再添附下列“事实”):而克里特岛人其余的话的确都是慌话(Russell)。 然后莫教授接着指出:‘最近朱梧檟志在两篇文章[1]、[2]中强调了(*)与(1)(2)的区别,指出前者并非真正的悖论,而现在仍然有人把前者当作悖论来对待,朱同志认为“是一种误解或疏忽”。其实朱同志还忽略了另一种情况。当提到古代相传的悖论时,不能不提到该悖论的原形(*),而在作描述性的谈论中(不作详细的严格推导),没有必要把条     

能这样用主成份分析进行指标排序吗?──《脑梗塞危险因素的多元分析》一点质疑

《数理统计与管理》1988年第2期发表了周家仪同志的《脑梗塞危险因素的多元分析》,文中用主成份分析对脑梗塞诸危险因素进行排序的作法是值得进、一步探讨的. 周文选取了年龄、高血压史等14个指标(因素),就80例的资料进行了主成份分析,选出7个主成份代表原来14个指标信息量的89.16%.周文给出了各主成份在各标准化指标上的系数,根据该系数大小列出了在各主成份中起较大作用的因素,然后对脑梗塞的诸危险因素按其重要性排序。周文的排序作法是:在第一主成份中起较大作用的因素先于第二主成份中作用较大因素,第二主成份中起较大作用的因素又先于…     

谈谈线性规划的“悖论”问题

本文在分析了目前有关线性规划“悖论”的论述后，运用灵敏度分析的方法和影子价格的理论，对所谓线性规划的悖论问题作了新的解释，提出了“悖论””不悖、其实是在情理之中的新观点。并对悖论产生的条件提出了简便易行的计算公式。     

基于修正广义DEA模型的中国省域公共图书馆效率评价

应用传统DEA模型评价公共图书馆效率时可能存在“效率悖论”,进而影响评价结果的准确性.首先,以传统广义DEA模型为例,检验了应用传统DEA模型评价我国省域公共图书馆效率时存在的“效率悖论”;然后,通过对比传统模型与修正模型的评价结果,验证了修正模型对“效率悖论”的修正作用;最后,应用修正模型对2011-2017年我国省域公共图书馆效率进行了评价.结果表明:我国公共图书馆整体效率水平相对较低,区域差异较为明显,落后的管理制度和技术水平是导致其效率低下的主要原因.     

康托定理与理发师悖论

1什么是悖论我们给悖论下一个"进行式"的定义:悖论就是导致矛盾但原因不明的推理.根据这一定义,一旦矛盾的原因找到了,悖论也就不再是悖论了.另外,矛盾的原因应该比较难于察觉.这一定义可能与许多文献中对悖论的定义不同.笔者主张这一定义.     

也谈线性规划的“悖论”问题

本文根据对偶定理，分析了线性规划“悖论”产生的条件，探讨了避免“悖论”产生的方法，并给出了在求得（ＬＰ）的最优解的同时判断是否产生“悖论”的方法．     

有趣的悖论

悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分,这一分支以“趣味数学”知名于世．悖论（paradox）来自希腊语“para＋dokein”,意思是“多想一想”,它是自相矛盾的命题,即若承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;若承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的．     

“抛球悖论”何悖之有

“数学研究与评论”1982年第3期第99页的文章中提到所谓“抛球悖论”,大意如下: 第一次 小球从A点抛至B点。历时1/2分钟。 第二次 小球从B点抛回A点。历时1/4分钟。 第三次 小球又从A点抛至B点。历时1/8分钟。 依此类推,抛球次数遍历全体有限序数,即累计可数无穷多次。 试问:时间到达一分钟时该球到达何处? 把头n次抛球经历的时间记为t_n,n为奇数时球在B点,n为偶数时球在A点。而当n     

一个几何概率试题的题源探究

1 题目 (2009年福建文)点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为___. 解,另一端点B只能在优弧上运动,故所求概率P=B1B2优弧长/圆周长=2/3. 2 题源 2.1 源于历史名题 初看这题以为是数学史上一个经典的悖论--贝特朗悖论,其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论:"在半径为1的圆周上任取两点,连成一条弦,问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少?"     

也谈杨辉三角的对称性

我们知道:整数可以分为两部分,一部分为奇数,另一部分为偶数.我们用“(?)”代表全体奇数的类,用“(?)”代表全体偶数的类,由于奇数 奇数=偶数,偶数 偶数=偶数,奇数 偶数=奇数,所以有 .为了简便,分别用“0”和“1”来代替“(?)”和“(?)” 在杨辉三角形中,除最外面的两条“1”外,其余各数都等于它肩上两个数之和.杨辉三角形的第一排只有一个数“1”,第二排两个数都是“ 1”,显然第三排中间     

有趣的悖论问题

相信大家一定都听说过理发师悖论吧,那么什么是悖沦呢?悖论也叫逆论或反论,指自相矛盾的荒谬结论.它包括一切与人的直觉、经验或客观事实相违背的种种问题或论述.悖论有3种主要形式:(1)一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬);(2)一种     

谈谈“利用e~x≥1+x证明不等式”一文中的错误及改进意见

《数学通报》1992第7期p.38刊登了“利用e~x≥1+x证明不等式”一文,应用e~x≥1+x,可以使某些不等式,特别是有连乘积,乘方不等式的证明来得简捷有效。文中     

争鸣

问题问题107课本第30页例1中把命题“负数的平方是正数”写成“若一个数是负数,则它的平方是正数”,教参第10页说也可以写成“若一个数是负数的平方,则这个数是正数”.笔者认为一个命题的题设和结论应当是唯一确定的,不应有以上两种写法.试问以上两种写法哪种正确呢?甘志国提供     

答《“抛球悖论”何悖之有》一文

张义杰同志在[2]中指出我们在[1]中所论及的抛球悖论不悖。现答复如下: 抛球悖论之作为Zeno悖论的引伸,实为众所周知,西方数理哲学界曾流传一时。我们在[1]中只是对此在N上给出一个解释方法,并且主要目的是想借此说明N的应用。 但是,下文即要具体指出,只要严格持有潜无限观点,确也可以避开这个问题。正是在这一点上,[2]中的有关论述是并不奇怪的(事实上[2]的作者是局限于标准分析学范畴讨论问题的)。 在古代,曾把推理过程看上去合理而推理结果违背实际的情况称为悖论,诸如著名的四个Zeno悖论就是,后来人们按照收敛的无穷级数可以求和的观点对有关的zeno悖论     

一般非线性规划中的“悖论”现象

本文讨论带有等式和不等式约束条件下的一般非线性规划问题出现“悖论”现象的充要条件.     

用预期效用理论单位三角形解释共同比率效应

本文提供一个新的视角来观察共同比率效应.这个悖论可以用期望效用理论和预期效用理论来解释.特别地,Machina(1987)在期望效用理论单位三角形比较一对彩票,共同比率效应形成一个悖论.在预期效用理论单位三角形中,效用函数无差异曲线保持平行,但是彩票的连线向内收敛,从而说明共同比率效应在预期效用理论可能是合理的,而不再是一个悖论.