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两个优美的几何不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]给出如下一个优美几何不等式.
已知ra,rb,rc是△ABC的分别以a,b,c为邻边的旁切圆的半径,则
ra-rb2+rb-rc2+rc-ra2≥a-b2+b-c2+c-a2.
受其启发,笔者得到了如下两个一等式. 相似文献
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文 [1]中证明了一个恒等式 :若α + β +γ =nπ(n∈Z) ,则tanαtan(β -γ) +tanβtan(γ -α) +tanγtan(α - β) =-tanαtanβtanγtan(α - β)tan(β -γ)tan(γ -α) ( ) .其证明太繁 ,下面笔者给出一个自然简单证明以供参考 .同时将看到上式中条件α+ β +γ =nπ是多余的 .证明 由正切和差公式易知 :tanα -tanβ =tan(α - β) (1+tanαtanβ) ,tanα +tanβ =tan(α + β)(1-tanαtanβ) .当α + β +γ =0时 ,tan(α + β) =-tanγ ,则tanα +tanβ +tanγ =tanαtanβtanγ .∵ (α - β) + (β -γ) + (γ -α) =0 ,∴tan(… 相似文献
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关于联系两个单形的几何恒等式及应用 总被引:3,自引:0,他引:3
关于n维欧氏空间E~n中二单形之间的几何关系的研究,一向是距离几何中被关注的课题。如仅就周知的涉及两个二维单形的Neuberg-Pedoe不等式而言,1942年Pedoe给出其第一个证明,此后数十年中,Pedoe和别人又相继提供了许多新的证明,几何的或纯代数的,Pedoe的最近的一个证明发表于1976年,而到1981年又由杨路、张景中将其推广到高维空间。 本文的结果在于给出联系两个单形的一个恒等式,并由此推出了一些新的涉及两个单形的不等式。 相似文献
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对如下两个优美的不等式:
设a〉0,b〉0,求证:
朱霖、孟威两位同学曾在本刊文[1]中,先用代换法得到一个恒等式,再通过变形,最后用基本不等式给出了一种十分巧妙的证明.笔者经过探究,得到了另一种更为自然、简捷的证法,供大家参考. 相似文献
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贵刊文 [1 ]给出以下两个定理 :定理 1 已知 x,y,a,b∈ R+ ,且 x + y =1 ,则 axn + byn 的最小值为 ( n+ 1a + n+ 1b ) n+ 1,此时 x =n+ 1an+ 1a + n+ 1b,y =n+ 1bn+ 1a + n+ 1b.定理 2 已知 a1,a2 ,… ,an,x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,且 x1+ x2 +… + xn =c,则a1xm1+ a2xm2+… + anxmn≥( m+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an) m+ 1cm ( m≥ 2 ) ,当且仅当xi = cm+ 1aim+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an( i =1 ,2 ,… ,n)时等式成立 .文 [1 ]分别用两种不同的方法给出了以上两个定理的证明 ,但都较繁 (定理 2的证明中还使用了中学生所不熟悉的加权幂平均… 相似文献
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给出了最大最小次序统计量分布函数和密度函数的恒等式,从而在随机变量独立同分布情形下,给出了关于次序统计量数学期望的两个恒等式的简捷证法.最后将几个恒等式应用于威布尔分布的最大次序统计量的分布及其数字特征的计算. 相似文献
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关于三角形的内切圆有这样一个几何恒等式:引理1[1] 设I是△ABC的内切圆的圆心,则下列等式恒成立:IA2/AB·AC+IB2/BA·BC+IC2/CA·CB(1)该命题的证明见文[1].在文[1]中作者巧妙的运用了面积证法从而得到引理1.试想,将引理1中的“内切圆”推广到“旁切圆”,是否仍有类似相关的几何恒等式成立?于是得到下述命题: 相似文献
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宋庆先生在文[1]提出了如下猜想:若a,b,c为满足abc≥1的正数,则(ab+bc+ca)(ba+cb+ac)≥(a+b+c)(1a+1b+1c).文[2]证明了这一猜想,文[3]给出了另一种证 相似文献
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文[1]介绍了锐角△ABC中的如下两个不等式cos(B-C)cos A+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥6(1)cos Acos(B-C)+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥23(2)由此,笔者发现了下列有趣结论.定理1在圆内接四边形ABCD中,若A、B、C、D都不为直角,则有cos(B-C)cos A+cos(coCs-B D)+cos(cDos-C A)+cos(coAs-D B)=0(3)证明由于四边形ABCD为圆内接四边形,∴A+C=B+D=180°,∴cosc(oBs-A C)+cos(cCos-B D)+cos(cDos-C A)+cos(cAos-D B)=cos[B-c o(s18A0°-A)]+cos(cBos-B A)+cosc[o1s8(01°8-0°-B-A)A]+cocso(s(1A80-°-B B))=-coc… 相似文献
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本文将先介绍笔者所得的两个性质,而后利用这两个性质去证明文[1]中结论“r1 r3=r2 r4”.1两个性质性质1四边形ABCD内接于圆,△BCD,△ACD,△ABD,△ABC的内心依次为IA,IB,IC,ID,则IAIBICID为矩形.证明分别连结AID,BIC,AIC,BID,有∠ICBID=21(∠ABC-∠ABD)=21∠DBC,∠ICAID=12(∠B 相似文献
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陈计先生在本刊的〔l〕文中提出并证明了如下不等式: 一30一砚 △月、中,专〔。052(B一C) cosZ‘c一”, ·052‘,一B)〕、合‘。%2, 。。SZB 。“Zc):(1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 本文对不等式(l)给出一个较简单的证明,同时指出这个不等式就是Gerretsen不等式的一个推论. 证明作变换月一音(,一,),B一音(二-。),c一告(汀一。)·贝,不等式(l)变为4(eosA十eosB e够C)2一3(eosA十eosB eosC)一6(eo、Aeos刀十eosBeos口十eosCeos月))0(2)了刀一2根据一, 。OS。 一。一1 ;S,·普S*·一*·誉一, 贪,。。52‘ …ZB “一ZC-业… 相似文献