对一道课本习题的浅析

问题人教版数学八年级下册教科书第133页的第15题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.图1图2证明在AB上任取一点M,使AM=EC,连结ME,如图2.因为∠MAE=∠FEC,∠AME=∠ECF,所以△AME≌△ECF故AE=EF.这是按教材提示做辅助线,很容易获得的结果.但是我们面对这一经典的习题不妨做些如下的探讨和研究:①将“问题”中的“E为BC的中点”,改为“E为线段BC上的任意一点”,其他条件不变.求证:AE=EF.(如图3)为使问题一般化,我做如此变换,下面探讨的方法仍然适合特殊情…     

一道折叠问题的多种解法

<正>原题呈现现有一张矩形纸片ABCD(如图1),其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC的中点,将纸片沿着直线AE折叠,点B落在四边形AECD内,记为点F,则线段FC=____.(答案是18/5cm)解法探究1.面积法结合勾股定理解法1连接BF交AE于点O,如图2,由折叠可知BF⊥AE,OB=OF;因为点E是BC的中点,可知BE=EC=3cm,利用勾股定     

用旋转变换揭示一道平面几何题的结构本质

<正>(人民教育出版社八年级数学下册(2013年审定,2020年印刷)第十八章《平行四边形》第68页"拓广探索"第14题)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)根据提示,取AB的中点G,连接EG构造出△AGE,如图2.根据题意及构造条件知AG=EC,∠AGE=∠ECF,而∠BAE与∠AEB互余,∠AEB与∠FEC互余,     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

浅谈一道联赛题的证明

20 0 4年全国初中数学联赛第二试第二题 :已知 ,如图1.梯形ABCD中 ,AD∥BC ,以两腰AB ,DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF ,连接EF .设线段EF的中点为M .求证 :MA =MD .此题与一道旧题密切相关 .该题是 :已知 ,如图 2 .△ABC中 ,AD是BC边上的高 ,以两边AB ,AC为一边分别向外作正方形ABQF ,ACPE ,连接EF ,交AD的反向延长线于G ,求证 :G为EF的中点 .简证如下 :证 :过E作EM⊥DG于M ,过F作FN⊥DG于N ,则FN∥ME ,∠EMA =∠ADC =90°.又∵∠ 1+∠ 2 =90° ,∴∠ 1=∠ 3.又∵AC =AE ,∴△ADC≌△EMA .∴ME…     

一道竞赛题的多种解法

<正>试题(2017年"大梦杯"福建省初中数学竞赛)如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为线段BC的中点,E在线段AB上,CE与AD交于点F.若AE=EF,且AC=7,FC=3,则cos∠ACB的值为().(A)3/7(B)(2(10)^(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)(1/2))/7(C)3/(14)(D)((10)^(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)(1/2))/7分析由直角三角形的边角关系知,cos∠ACB=BC/AC=((AC)²-(AB)2-(AB)²)2)^(1/2)/AC.因为AC=7,所以只需求BC或AB的长即可确定cos∠ACB的值.本题的难点是根据已知条件"D为线段BC的中点,AE=EF"寻找AB与FC之间的数量关系,即根据FC的长求出AB的长.     

一道中考题的多解与变式

<正>本文以课本基本图形(如图1、图2)为依托,对一道中考题进行多解与变式如下.题目(2013年绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图3,AC∶AB=1∶2,EF⊥CB,求证:EF=CD;(2)如图4,AC∶AB=1∶31/2,EF⊥CE,求EF∶EG的值.     

等腰梯形底上一点的性质

<正>性质1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是BC上一点,若直线AE与☉ECD的另一个交点为F,则AB²=BE·EC+EF·AE.证明连结DF并延长交BC于点G,显然∠AEB=∠GDC,因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABE=∠GCD,于是△ABE∽△GCD,     

直线与平面平行证明方法探究

<正>立体几何解答题是历年高考必考题型,重在考查空间想象、多角度地发现问题和解决问题的能力,突出发散思维和创新能力.现以2016年山东文科数学18题为例,通过一题多证,探究如下.题目(2016年山东文18题)在如图1所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥BD.(Ⅰ)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;(Ⅱ)已知G、H分别是EC和BF的中点.求证:GH∥平面ABC.解析(Ⅰ)由EF∥BD可知EF与BD     

周界中点三角形的几条性质的加强

如图1,设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且约定BC = a,CA = b,AB = c,s = (1)/(2)(a b c),AE=BD=s-c,AF=CD=s-b,BF=CE=s-a.     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则     

内接于直角三角形的矩形的一个性质

一、性质 已知矩形CDEF内接于Rt△ABC,其中D在AC上,F在BC上,E在AB上,∠C=90°,若要使矩形CDEF面积取到最大值,则D、E、F分别在AC、AB、BC的中点上,且最大值为Rt△ABC面积的一半. 证明如图1所示,设 E为 AB上一点,且AE/EB=1/λ(λ>0),则有:∴矩形CDEF的面积为     

巧妙构造圆,难题也简单

通过巧妙构造圆,充分利用"直径所对的圆周角为直角"来解决某些问题,可以达到事半功倍的效果,举几例如下,供同学们学习时参考.一、证相等例1如图1,四边形ABCD是正方形,点E为线段BC上任意一点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证:AE=EF.     

一道几何题的拓展

<正>原问题[1]设圆内接四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:MN/EF=1/2︱AC/BD-BD/AC︱.拓展问题设四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:直线MN平分EF.证明如图所示.设T为EF的中点,过点M作BE的平行线分别交BC、EC于点R、Q,则R、Q分别为BC、EC的中点,又设P为BE的中点,则点P、R、N     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分,人们则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形. 本文在文[1]、[2]的基础上,进一步研究周界中点三角形并得到了两个有趣的性质. 引理 设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=1/2(a+b+c),则 AE=BD     

从新教材一个例题谈起

上海市二期课改新教材八年级第一学期(试验本)第115页例8:已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上的中点,点E、F分别在边BC、AC上,DE⊥DF.求证:EF2=AF2 BE2.     

一道联赛试题的简证及推广

题目(2010年全国初中数学联赛)如图1,在矩形ABCD中,E、F是DC的点,满足DE=EF=FC,又G、H是BC边上的点,满足BG=GH=HC,AE与DG相交于点K,AF与DH相交于点N,求证:KN∥CD.     

初中数学总复习(四)(直线形)

1 填空题 (1)(太原市)在△ABC中,已知BC=1cm,E、F分别是AB、AC的中点,则EF=_____cm. (2)(沈阳市)设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,则AC~2、CB~2=_______. (3)(安徽省)已知等腰三角形ABC的一腰长为a,     

例谈向量法在立几综合题中的应用

本文以2006年高考立体几何综合题为例,谈谈例向量1法在解立体几何题中的应用.(06四川理19)如图,在长方体AB2CD A1B1C1D1中,E,P分别是BC,A1D1的中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.(Ⅰ)求证:MN∥面ADD1A1;(Ⅱ)求二面角P AE D的大小.(分Ⅲ析)求:三棱锥P DEN的体积.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),A1(a,0,a),D1(0,0,a).∵E,P,M,N分别是BC,A1D1,AE,CD1的中点.∴E2a,2a,0,P2a,0,a,M32a,a,0,N0,a,2a.MN=-23a,0,2a.取n→=(0,1,0),显然n→⊥面A…     

一道考试题的多种解法

<正>看下面的题目:已知:四边形ABCD是正方形,E是AB边上一点,连接DE,过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F,连接EF.(1)如图1,求证:DE=DF;(2)如图2,连接AC、EF交于点M,求证:AB+AE=槡2AM.这是我市八年级期末考试的一道题目,第一问比较简单,只要证明△ADE与△CDF全等就可以了,在这里就不再赘述.下面先给出