对一道三角函数题的错解分析及探究

在一些数学辅导资料和一些教师课堂上,常常会见到或听到一些很巧妙的解法,它简捷、流畅、优美,给人以美的享受,但有些解法稍有不慎,就会出现意想不到的错误,下面结合一道三角函数题来说明,并对此题进行一般化的探究。     

一道三角函数求值问题的错解分析

本刊2005年3月第6期刊登的《三角函数求值的方法与技巧》一文在习题7的解答中出现错误。     

一道正切函数题的错解分析

本刊 2 0 0 3年第 6期《一道正切函数题的错解辨析》分析了一道与函数的周期性有关的问题 .原题　设函数y =10tan[( 2k - 1) x5] (k∈N+ ) ,当x在任意两个连续整数间 (包括整数本身 )变化时 ,至少两次失去意义 ,求k的最小正整数值 .辨析中只考虑函数在x∈ [0 ,1]两次失去意义 ,由此得周期T满足 32 T≤ 1,则有 32 · π2k - 15≤ 1,解得k≥ 13,故k的最小值为 13.这一分析和结论也是错误的 ,事实上若x =x0时函数无意义 ,考虑长度为 2T的区间 (x0 -T ,x0+T) ,则此区间中只有一个x0 所对应的函数值无意义 ,一个区间长度为 32 T的区间记为A ,…     

一道正切函数题的错解辨析

题 设函数y=10tan[(2k-1)x/5](k∈Z~+),当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少有两次失去意义,求k的最小正整数值。 误解:根据题意,周期应满足下列条件     

一道题的错解分析

例题设P(x,y)在椭圆x~2/16+y~2/9=1上,试求f(x,y)=x+y的最值.分析本题是已知变量x和y,求f(x,y)=x+y的范围,于是思考两个变量的范围.错解一由于x~2/16+y~2/9=1,所以x~2/16≤1,y~2/9≤1,则-4≤x≤4,-3≤x≤3,     

一道试题的错解分析

剖析．上述两种解法得到两个不同的结论，谁对谁错呢？事实上，原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y=x上，如y=1/x的反函数仍为y=1/x,故y=1/x的图象与其反函数的图象交点为y=1/x的图象上的任意点，从而易知原函数图象与其山反函数图象的交点不一定在直线y=x上，但有以下两个重要结论．     

一道线性规划应用题的错解分析

本刊2003年第6期《例谈线性规划的实际应用》一文中的例4的解法存在错误．为了便于说明，将原文中的例4及其解法摘录如下．     

三角函数错解分析

三角函数是高考中必考的内容,属于中低档题型.解三角函数题时往往在计算或判断环节出错,原因是没有充分注意到角的范围.下面就几方面的错题举例如下.一、忽视条件等式中角的隐含范围致错     

对一个组合问题错解的修正及探究

本文分析了一个组合问题出现错解的原因,给出了三种正确解法,并对试题进行延伸探究,运用“算两次”的数学思想对比不同的解法,得出了两个组合恒等式.     

一道三角函数题的多种解法

<正>笔者近年来一直担任初三毕业班的数学教学,教学中发现了许多一题多解的题目,因为这些一题多解涉及整个初中的各个知识点,同时它对锻炼学生的发散性思维及激发学生对数学学习的兴趣也很有益.现以初三第一轮复习解直角三角形为例,课堂上同学们对下题的第(2)问给出了四种不同的解法.图1题目(2012年上海)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为E,已知AC=15,cos A=35.(1)求线段CD的长;(2)求sin∠DBE的值.(以下只讨论第(2)问.)解法1利用锐角三角函数法.解∵△ABC为直角三角形,且CD是斜边上的中线.∴∠ECB=∠ABC,∴cos∠ECB=cos∠ABC,即CE CB=CB AB.∵CB=20,AB=25.∴CE=16,     

一道三角函数题的巧解

题目在△ABC中,若sin^2A＋sin^2B＋sin^2C〈2,则△ABC必定是 （ ） （A）直角三角形． （B）等腰三角形． （C）锐角三角形． （D）钝角三角形．     

一道变式题误解分析

《数学》试验修订本Ｐ8习题 6.1第 6题 :如果 30<ｘ <4 2 ,16<ｙ <2 4 ,求ｘ +ｙ ,ｘ - 2ｙ ,ｘｙ 的取值范围 .该题利用不等式的性质 ,易求得 4 6<ｘ +ｙ <66,- 18<ｘ - 2 ｙ <10 .若将求得的ｘ +ｙ ,ｘ -ｙ的范围作新的约束条件 ,得到如下变式题 .题 1　如果　 4 6<ｘ +ｙ <66(1)　　　　　 - 18<ｘ - 2 ｙ <10 (2 )求 ｘｙ 的取值范围 .对于题 1,学生习惯于仿习题的解法 ,先求得　　　 743<ｘ <1423(3)　　　 12 <ｙ <2 8(4 )最终得出374 2 <ｘｙ <7118的错误结论 ,并对产生错误的原因不明白 .图 1　题 1图对于上述错误 ,可作如下解释 ,…     

新教材中一道数列题的错解诊断

20 0 0年人教版《全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修 )数学第一册 (上 )》第 133页§ 3.5练习第 4题如下 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证 :Ｓ7,Ｓ14 -Ｓ7,Ｓ2 1-Ｓ14 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ成等比数列吗 ?与教材配套的《教师教学用书》第 87— 88页对此题给出如下参考解答 :由Ｓ7=ａ1(1- ｑ7)1- ｑ ,Ｓ14 =ａ1(1- ｑ14 )1- ｑ ,Ｓ2 1=ａ1(1- ｑ2 1)1- ｑ ,可得Ｓ7(Ｓ2 1-Ｓ14 ) =(Ｓ14 -Ｓ7) 2 ;此结论也可如下证明Ｓ14 -Ｓ7=(ａ1 ａ2 … ａ14 ) - (ａ1 ａ2 … ａ7) =ａ8 …     

一道求字母范围例题的错解辨析

例　ｍ是什么实数时 ,关于ｘ的方程ｘ2 (ｍ - 2 )ｘ (5 -ｍ) =0的二不等根均大于 2 .错解　分离出ｍ =ｘ2 - 2ｘ 51 -ｘ ,即ｍ=- [(ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ](ｘ >2 ) ,问题转化成求关于ｘ的函数ｍ的值域 .∵ (ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ≥ 4(当且仅当ｘ =3时取“ =”) ,∴ｍ≤ - 4 .图 1　例题图辨析　为研究的方便 ,需用到一个重要函数 ｆ(ｕ) =ｕ ａｕ (ａ >0 ,ａ为常数 )的单调性 :ｆ(ｕ) 在 (0 ,ａ]上递减 ,在 [ａ , ∞ )上递增 (用单调性定义易证 ) .本题设ｕ =ｘ - 1 ,∵ｘ >2 ,∴ｕ >1 .设 ｙ1=ｍ ,ｙ2=- (ｕ 4ｕ) (ｕ >1 ) ,于是题目中的…     

由一道题的典型错解引发的教学思考

文章通过对2022年西藏自治区初中学业水平考试中一道统计与概率题的答卷分析,整理学生用列表法或树状图求概率时出现的典型错解,深入剖析典型错解背后的原因,结合发展学生数学核心素养对教学提出四点思考和建议.     

从一道求奇函数参数值问题的错解谈起

剖析一道求奇函数参数值问题的错解,给出该题的正确解法并进行变式训练,加深学生对函数定义、奇偶性等相关概念的理解.     

“一道题的错解分析与一类题的解法规律”的再解析

题目 已知函数f(x) =x2-2x-4的定义域与值域都是M,求M.解 令x2-2x-4=x解之得x1=-1,x2=4,因为a＞0,-b/2a=-(-2)/(2×1)=1∈(-1,4)=(x1,x2).由图1可知,所求的M=[4,+∞).文[1]、[2]认为,上述解答的结果是正确的,但解题过程是错误的.两文先分析了错因,再给出了"通解"(分类讨论),得到同原解同样的结果.接着给出一个反例,说按原解法只能得到一解,而按"通解"则反例有三解,两文最后给出f(x)为一般一次函数时的解题规律.