长方体的妙用

长方体是一个很基本的多面体,所含的线线,线面,面面的位置关系的内容十分丰富,数学中的有些问题,如果用常规法去求,将难以求出或十分繁琐,甚感“山穷水复疑无路”,但如果能构造长方体去求,将会把问题化难为易,化繁为简,从而“柳暗花明又一村”了。     

构造模型巧解立体几何问题

<正>立体几何是培养同学们空间想象能力的主要载体.立体几何题由于点、线、面关系复杂,特别是题中未给出图形的情况下,更是感到不易下手.如果能挖掘题设条件,展开联想,巧妙建立相应的立几模型,可以帮助我们突破思维定势,提升思维起点.常见的模型有"正方体"和"长方体",充分利用其特性就能使解题思路豁然开朗,而且过程简捷明了.本文列举几个构建长方体模型巧解立体几何的问题.     

利用长方体模型解题

长方体是空间图形中最特殊且内涵最丰富的几何体之一．在长方体中能反映空间基本的线线关系、线面关系和面面关系,通过长方体的截割还可以得到多样的柱、锥、台等几何体．可以说,长方体是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体,是展开空间想象的一个重要依托,是培养...     

线性算子的ω-条件数

某些数学问题的求解,往往可以归结为求某一映射的逆映射T~(-1),其中T:X→Y,X,Y为两个度量空间。如X,Y是两个线性赋范空间,T是X→Y的线性算子,x∈X,b∈Y,那末求解方程Tx=b就属此例,一般说来,在数值分析中又将问题化为有限维空间去求T~(-1)b之近似元素。如果问题是病态的,那末即使选择良好的格式去计算,也不能指望有好的结果。因此判别原始数学问题是否病态是十分重要的,五十年代     

巧补长方体——利用整体法解题例析

我们在解决某些立体几何的问题时,将需要解决的问题看成一个整体（比如添补成长方体）,通过研究问题的整体形式、整体结构或者整体性质,会很顺利而简捷地解决问题．下面主要通过对立体几何中的几例添补成长方体的问题进行简要地分析,谈谈利用长方体解题的功能．     

三维长方体[p,q]内的合作系统

设F是三维长方体[p,q]内的合作向量场,且在此长方体内F的奇点仅为p和q.我们证明了[p,q]内的每条正半轨线或者收敛于p,或者收敛于q.此外,如果在[p,q]的边界上除p和q两点外,F的方向均指向[p,q]的内部,则[p,q]内存在唯一的轨道连结p和q.     

活用课本资源 探究折叠问题

<正>折叠问题是立体几何中的一类典型问题,问题解决过程中体现出直观想象的数学核心素养.经过折叠,把平面图形变为空间图形,解答折叠问题的关键是充分利用不变量和不变关系,即抓住不变的线线位置关系、不变的长度和角度数量关系.如果折叠后的空间图形能够找到基本立体图形(如长方体,正方体)模型,那么可把复杂的立体图形变得直观,找到解决问题的突破口.下面以一道课本习题为例,来探讨解决有关折叠问题的基本思想方法,体会立体几何的研究方法.     

关于长方体规则打包的一些讨论

北大附中张思明老师曾设计了“打包问题”的教学案例．这里“打包问题”指的是：诸如若干个香烟盒等长方体物品，按照“打包时要求包内的相邻两物体必须全等的两个侧面来对接，且打包后仍是长方体”这一要求，将这些小长方体打成一大包(大长方体)，这种打包方法称为长方体规     

分段函数的导数

分段函数是用几个解析式子表示的函数,对每个解析式于,如果是可导的,可用初等函数的求导法则求出它们的导数,而对分界点处的导数是否存在,如果存在,如何计算,这些问题一般都用导发定义来解决,但用定义来导数要作极限运算,一般比较繁琐.如果函数具备一定的条件,可不必用定义去求.     

一道立体表面最短路径问题解答的缺陷

<正>北师大版八年级教材上有这样一个问题:如图1,长方体长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?本题不少同学的解答如下:沿长方体的侧棱HI剪开、展开,即蚂蚁走右面ADCE和前面CDHI,得到其侧面展开图,如图2,因为"两点之间,线段     

高等解析几何视野下几类特殊平面法向量的求解技巧

一、问题提出在高中数学教学中,常常用向量法解决立体几何问题,比如用平面的法向量去求二面角的大小、线面角、空间距离,去证明线线关系、线面关系等.但是,大部分学生在计算法向量时常常算错,导致立体几何题严重失分.本文试图用高等解析几何中的平面方程及法向量知识来总结几类特殊的平面的法向量的求法,从而使学生少犯计算错误,大大提高计算的正确率.     

有趣的等幂数组

问题 在两个相同的球内,内接着形状各异的长方体,长方体的每条棱长都是整数,而且各个长方体的棱长总和都等于60．这两个长方体的形状如何？     

长方体的道具作用

人们很容易从实物模型中找到空间点、线、面之间的相互联系,提高空间想象能力.但是由于实物模型的局限性,特别是在考试中也没有模型相助,若能巧妙地构造长方体解决问题,也同样起到实物模型的作用.下面以高考试题为例说明长方体在解题中的道具功能.1到长方体中视图三视图就是空间几何体在三个互相垂直面上的正投影.把三视图恢复成直观图是解决问题的关键.当把几何体的三视图直接投到长方体的三个侧面     

高考立体几何题的补形

高考立体几何题考查的是空间点、线、面之间的关系,以多面体为载体,更以长方体、正方体为依托．而有些考题不那么明显,必须补形,补成长方体、正方体,达到快速解题的目的．下面以近几年的高考题为例,加以说明：     

对棱相等三棱锥例说

在三棱锥中 ,如果三组对棱分别相等 ,我们通常把这样的三棱锥称为对棱相等三棱锥 .在长方体中以不相邻四个顶点为顶点所成的三棱锥就是一个对棱相等三棱锥 .受此启发 ,我们常构造长方体来解答与对棱相等三棱锥有关的问题 .例 1　如图 1 ,三棱锥 A - BCD中 ,AB=CD =a,AC =BD =b,AD =BC =c,求异面直线 AB与 CD所成角的大小 .解　如图 2 ,构造长方体 ,使三棱锥 A -BCD的对棱分别为长方体相对面的对角线 .∵　 A′ B′∥ CD,∴　 AB与 A′ B′所成角即为 AB与 CD所成角 .图 1　　　　　　图 2设长方体的三条棱 AC′、AB′、AA…     

等离子镀膜工艺中的一个转动长方体优化问题

研究了等离子体镀膜加工衍生的一个工艺问题,即寻找最好的公转、自转速度比例,使得按照该速度比旋转的长方体工件的每个面在镀膜加工过程中接收密度尽可能接近的等离子沉积.通过分析长方体旋转时各点的运动轨迹,将该问题转化为两个含参三角函数的积分的计算问题.给出了用Maple软件计算该积分的的程序.通过较多数值计算试验,建立了最佳公转、自转速度比的经验值.文章还讨论多个长方体工件、多面体、凸曲面工件的情形,并给出了一种对静止长方体工件进行烤羊肉串式等离子体镀膜加工的最佳位置.     

长方体上均匀分布的密度函数

讨论了长方体上均匀分布密度函数问题,得到了长方体体积的估计量、估计量的点估计及估计量的密度函数.     

“本末倒置”有奇效

在函数、数列等章节中,常常会涉及到求若干项的和或积之类的问题,我们如果遵循思维常规,逐项去求和或求积,这种做法虽无不可,但运算起来往往显得复杂而冗长,有的甚至无法操作.其实,我们在解决此类问题时大可不必“循规蹈矩”,完全可以变换思维视角,突破常规的做法,来个“本末倒置”.     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1．如果两个数的积中,第一个因数增加1,而第二个因数减少1,则它们的积增加2020;如果相反,第一个因数减少1,而第二个因数增加1,这时,两数的积发生了怎样的变化?(山东省临清市北门里街颐清园小区19号楼7单元2楼西户(252600)刘继征)2．已知长方体的一块正面和一块顶面的面积之和等于2022平方厘米,如果长,宽,高都是质数,求长方体体积的最大值．     

妙求值域一例

题目求函数y=2sinx 1/3sinx-2的值域．本题如果根据|sinx|≤1以sinx≠2/3去推导求y的范围比较繁琐,但通过变形,再根据sinx的限制条件去求y,尤为便捷．