由特殊到一般解题两例

众所周知,通常解决数学问题是借助题意条件,凭借定义、定理或性质,按照运算的一般规律进行求解．事实上,有些问题的处理可以打破惯例,从特殊出发寻找问题的着眼点得到所求,然后对一般进行验证,达到解决问题的目的．下面就两道探索问题,进行分析与求解,以飨读者．     

不饱和正交表列效应的约束条件检验

在正交设计领域,考察不饱和正交表列效应的一般约束条件检验问题是非常重要的内容.首先对正交表列效应进行成分分解,从而对得到的子成分构造F统计量进行统计分析;然后通过对一般约束条件进行转换,使其变成一个成分分解问题,利用成分分解的相关结论,完满地解决了该检验问题.     

圆柱壳开孔的应力集中──非圆孔问题的一般解

本文从Donnell型圆柱壳的基本方程出发,利用复变函数方法和保角映射技术,对圆柱壳开非圆形孔的问题进行了研究.首先给出了逼近具有非圆形孔的圆柱壳开孔问题一般解的完备函数序列,构造出了问题的一般解;其次利用有关圆柱壳开小孔的假设概念,给出了圆柱壳开非圆孔时边界条件的一般表达式.进而利用正交函数展开的方法,将待解的问题归结为一组无穷代数方程组的求解问题,并进行直接求解.在本文最后,对圆柱壳开圆孔.椭圆孔附近的应力集中问题进行了数值计算,给出了分析结果.     

从“特殊化法”入手

许多数学问题,虽然其表现形式可能是较为复杂的一般情形,但其本质总存在着简单的一面．因此不妨从一般退到特殊,用“特殊化法”对问题进行整体处理或实施赋值、降维、减元等转化的策略,从特殊情况的探究中,寻找解题思路,发现解答问题的方向或途径,并能快速得出一般结论．     

圆环壳在一般荷载下的轴对称问题

本文推广Новжилов变换,对圆环壳在任意荷载作用下的轴对称问题进行了成功地简化,得到了问题的H.Новжилов型复变量方程.求得了方程的特解,结合钱伟长的齐次方程一般解,给出了环壳一般轴对称问题的一般解答.讨论了常见载荷和闭合环壳情形.     

一个比较大小问题的进一步思考

先分析一个比较大小问题的解法,再进一步思考,对问题进行拓展探究,得到了更一般的结论.     

基于APT的证券组合套期保值策略研究

为了解决含有非股票证券的一般证券组合的套期保值问题,依据套利定价理论,提出了一般证券组合的套期保值策略,并对该策略进行了分析研究。     

一道动线段比值最小值问题的几何解法和拓展

给出一道动线段比值问题的几何解法,通过几何变换将动线段比值问题转化为两点之间线段最短这一熟悉问题进行处理并探究问题本质,给出一般情形下的问题分析与求解.     

求解MINLP的几类罚函数方法的分析和探讨

针对混合整数非线性约束优化问题(MINLP)的一般形式,通过罚函数的方法,给出了它的几种等价形式,并证明了最优解的等价性.将约束优化问题转化成更容易求解的无约束非线性优化问题,并把混合整数规划转化成非整数优化问题,从而将MINLP的求解简化为求解一个连续的无约束非线性优化问题,进而可用已有的一般无约束优化算法进行求解.     

谈“特殊”函数的特殊处理

"一般与特殊思想"是高中数学中一种重要的数学思想方法之一,特殊中孕育着一般,所以我们在解一些题目感到困难时,如果以退为进,由一般退到特殊,往往能发现解题的捷径.本文以函数问题为例,对几种"特殊"情况的把握进行说明.     

对称迭层矩形板的平面应力分析

常用的对称迭层板为各向异性板．根据平面应力问题的基本方程精确地用应力函数解法求得了各向异性板的一般解析解．推导出平面内应力和位移的一般公式,其中积分常数由边界条件来决定．一般解包括三角函数和双曲函数组成的解,它能满足4个边为任意边界条件的问题．还有代数多项式解,它能满足4个角的边界条件．因此一般解可用以求解任意边界条件下的平面应力问题．以4边承受均匀法向和切向载荷以及非均匀法向载荷的对称迭层方板为例,进行了计算和分析．     

一道三角最值问题的解法赏析与变式探究

结合2023年“高三教师基本功大赛”中一道三角函数最值问题的多种解法,探索总结这类问题的一般求解思路和方法,并进行变式探究.     

一道月考压轴选择题的变式推广

含参函数零点问题是高考考查的热点和难点,本文先给出一道比较复杂的含参函数零点问题的解法,然后对其进行变式和推广,讨论了一般情形下的同类问题.     

Ⅲ型裂纹弹塑性场在裂纹线附近匹配方程的一般形式

针对理想弹塑性Ⅲ型裂纹问题,对线场分析方法的步骤和匹配过程进行了凝练和归纳,给出了裂纹线附近塑性场、弹塑性边界、弹塑性匹配方程的一般形式及其一般求解步骤,将不同条件下的Ⅲ型裂纹问题归结为由4个匹配方程确定4个待定常数,并通过一个具体问题,验证了这一方法的正确性、简明性和通用性.     

对于方程整数解个数问题的进一步探究

利用隔板法可以解决经典的方程整数解个数问题．本文将对方程整数解问题进行加强和限制,将其推广到更一般的形式．本文在最后还会利用隔板法和方程整数解的思想,对复杂的实际问题进行探究和求解．     

关于非线性控制系统的线性化问题

本文首先研究了一般形式的非线性控制系统,得到了可以用状态反馈线性化时应具有的形式,即系统方程与控制规律一般条件下都应是对控制变量是线性的。然后研究了用状态变换进行线性化的问题,得到了变换应满足的条件。最后讨论了同时用状态变换与反馈变换对非线性控制系统进行线性化以及综合问题。     

特殊情形在解题中发挥的作用

<正>"特殊"能在一定条件下反映或体现"一般".在数学问题的解决中,也往往是先分析特殊情况,再归纳出一般情形,即根据题目中的条件,选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形或在某种特殊的状态下进行计算、推理,寻找解决问题的方法或方向,取得特殊情况与一般情况之间的联系,进而获得整个问题在一般条件下的完整解决.值得注意的是,应用这种思想解题是有前提条     

两个面积最小问题的推广

把两个有关平面图形的面积最小问题进行推广,得到较一般的情形,所求的点都是区间的中点.     

一氧化碳中毒的数学模型

本文对一氧化碳气体中毒问题的生理学基础进行分析 ,将其抽象为理想状态下的一个微分方程模型 ,得出了一个比较符合实际情况的结果 .此模型处理同类问题有一般意义     

寻找正方体对面的一般方法

《中学生数学》2011年第2期叶宏成老师的文章《对一道中考题的思考》,给出了一种"寻找正方体对面"的一般方法,但没有将这种方法进行总结.本文试图结合这道中考题,进一步总结解决这类问题的一般方法.