一道课本例题的引伸与探究

1问题提出国标苏科版教材九年级上册24页例6[1]:图1已知:如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.求证:四边形A′B′C′D′是正方形.2方法探究课本给出的证法经历了三次全等证明:①△ABF≌△BCG,②△AB′B≌△BC′C,③△AA′E≌△BB′F.接下来,要思考的是能否减少证明全等的次数,使得证明更简单、自然?不妨把上述的三次证明全等,定义为三个模块.不难发现,模块①是证明过程必不可少的,通过模块①证∠A′B′C′=90°,同理可证四边形A′B′C′D′其它的各内角也都为90°,从而可证四边形A′B′C′D′是矩形.在此基础上,模块②、③中只需证明其中的一个即可.方法1证明模块②,可得AB′=BC′,BB′=CC′,同理有CC′=DD′=AA′,则AB′-AA′=BC′-BB′,即A′B′=B′C′,从四边形A′B′C′D′的一组邻边相等.因此,四边形A′B′C′D′是正方形.方法2证明模块③,可得AA′=BB′,B′F=A′E,同理有A′E=D′H=C′G,则AF-B′F-AA′=BG-C′G-BB′,即A′B′=B′C′,从...     

求点到平面的距离

解决好点到平面的距离是学好立体几何中距离关系的关键.下面是一个简单的实例,我们通过这个实例来体会一下求点到平面距离的几个常见的方法.例题:在正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为1.求点A1到平面AB1D1的距离.一、用点到平面距离的定义由于要求点到平面的距离就是要求点与该点在平面内射影间的线段的长度.因此,只要找到该点在平面中射影,问题就可以迎刃而解.解法一:连结A1C1交B1D1于O,连结AO,过点A1作A1E⊥AO,垂足为点E.∵AA1⊥平面A1B1C1D1且B1D1平面A1B1C1D1∴AA1⊥B1D1又∵B1D1⊥A1C1且A1C1∩AA1=A1∴B1D1⊥平面AA1…     

探讨圆锥曲线一个几何性质

1问题的提出 文献[1,2]等都提到了椭圆的一个优美的几何性质:设A,B,C,D,E,FF为椭圆上六个点,若AB//DE 且 BC//EF,则 AF//DC(如图 1).此性质是圆锥曲线的Pascal定理[2,3]的一种特殊情形.定理表明:对于同一条圆锥曲线上的六个点A,B,C,D,E,F,如果 AB ∩DE=M,BC...     

关于四面体一种特殊解法

对任一四面体都可以把它接补成一个平行六面体,据此,可解一类立几问题,兹举二例。例1 一元选择题:空间四点A、B、C、D,如果有AB=CD=8,AC=BD=10,AD=BC=13,则( ) (A)A、B、C、D为平行四边形的四顶点。 (B)A、B、C、D中有三点共线。 (C)A、B、C、D为不共面四点。 (D)不存在满足题设条件的四点。分析:根据题中的条件,很容易判定(A)、(B)不可能成为选择的答案,那么问题只在于A、B、C、D四点是否为不共面的四点。如果这四点不共面,我们考察以这四点为顶点的四面体,并把它补成长方体BECF-MAND(如图1)     

巧分面积与线段

如图1,ABCD是 任意凸四边形,A1、C1 分别是AB与CD的中 点,B1、B2与D1、D2分 别是BC与DA的三等 分点.E、F为A1C1与 B1D2及A1C1与B2D1 的交点.则图1中有结论: ①E、F是A1C1的三等分点; ②S1+S6=S2+S5=S3+S4=1/3SABCD.     

最优化原理视角下的两道全国高中数学联赛加试题

1最优化原理 最优化原理是说一个问题的最优化策略有这样一个性质：不论以前的决策如何,对于当前的子问题而言,其余的决策一定构成最优问题．简而言之,一个最优策略的子策略总是最优的．例如,四个城市A、B、C、D间的路线如图1所示,如果从A到D的最短路线为A→B→D,那么从B到D的最短路线为B→D．用反证法证明之．如果从B到D的最短路线不是B→D,     

第38届美国中学数学竞赛试题(AHSME)

1.(1+x~2)(1-x~8)等于(A)1-x~5;(B)1-x~6;(C)1+x~2 -x~3;(D)1+x~2-x~3-x~5;(E)1 +x~2-x~3-x~6。 2.如图所示,从边长为3的正三角形ABC中切去一角,得三角形BDE,其边长DB=EB=1,则剩余的四边形ADEC的周长是(A)6:(B)61/2;(C)7;(D)71/2;(E)8. 3.小于100且个位数是7的质数的个数是(A)4;(B)5;(C)6;(D)7;(E) 8.(A)6;(B)8:(C)31/2;(D)24;(E)512, 5.一个学生将一堆数据的数值分布的精确的百     

简捷求解平行四边形顶点坐标

<正>探求平行四边形的顶点坐标,一般是通过讨论边或对角线来解决的.但有不少题目,解题过程较繁且易漏解.若换个角度,只考虑对角,其解法简捷又不易出错.这种解法是根据"平行四边形相对两组顶点的横坐标的和、纵图1坐标的和分别相等"来讨论求解的.如图1,在平行四边形ABCD中,因为对角线AC、BD的交点E即为各自的中点.若设点A、B、C、D的坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D),则由线段中点公式可得点E的横坐标x,纵坐标y分别为     

倒过来想一想——共角逆定理

对共角定理,我们从反面想,想到了共角不等式. 想问题,不但可以反过来想,还可以倒过来想.共角定理说,如果∠ABC和∠A’B’C’相等或互补,则有等式△ABC/△A’B’C’=AB·BC/A’B·B’C     

浅议中考中常用的数学思想

数学思想,是学习数学的核心,是数学解题的灵魂,是数学方法本质的体现.在平时的学习过程中,如果能有意识地发现解题过程中的数学思想,并能加以归纳,则抓住了问题的本质,升华了思维,真正学到了解决数学问题的方法.现把中考中常用的数学思想总结如下,以便同学们在学习中参考. 一、整体思想 例1如图1,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且4B=6cm,则△DEB的周长为( ).A.4cm B.6cm C.10cm D.不能确定     

九年级数学(华东师大版)第一学期期中自测题

A组一、选择题1.下列各式中,正确的是().A.(12)-3=8B.a3÷a2=a5C.a2+a3=a5D.(-2a3)-3=6a-92.若分式x2+x-6x2-4的值等于零,则x的值是().A.2或-3B.3或-2C.2D.-33.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于().A.45°B.90°C.135°D.270°4.将方程2-x2-4x+1=3x+1去分母并化简后,得到的方程是().A.x2-5=0B.x2-3=0C.x2-2x-5=0D.x2-2x-3=05.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足是E.如果AB=10,CD=6,那么AE的长为().A.1B.3C.9D.1或96.若x2-9=0,则x2-5x+6x-3的值为().A.1B.-5C.0D.1或-57.如图,四边形ABCD内…     

争鸣

问题问题二阶逆矩阵为什么不能这样定义?人教版是这样定义二阶逆矩阵:设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA=AB=E2,则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵.有一种观点认为可以作如下定义:设A是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得AB=E2,则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B     

三角形分块面积乘积的一个性质

定理设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,且BD:DC=CE:BA=AF:FB=λ,AD、BB、CF交成△RQS,P为△RQS内或其边上一点,以S_cS_a、S_b分别表示△PAB、△PBC、△PCA的面积,则当P点位于△RQS顶点时,S_aS_bS_c达到最小值。引理1 设△ABC所在平面为π,作平面π＇与π交于直线BC,在π＇内作正△A＇B＇C＇,使B＇C＇与BC重合。在AA＇,使A与A＇对应,B与B＇对应,C与C＇对应,过△ABC内或边上任一点X作AA＇的平行线交π＇于X＇,则让X与X＇对应,于是建立了π→π＇的一一对应,则有 1)D、E、F对应点D＇、E＇、F＇分别位于B＇C＇、C＇A＇、A＇B＇上,且有B＇D＇: D＇C＇=C＇     

考点30 空间角与空间距离

1.(江苏卷,4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)43(B)23(C)343(D)32.(湖南卷,5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为().(A)21(B)42(C)22(D)23第2题图第3题图3.(福建卷,8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是().(A)arccos15(B)π(C)arccos510(D)2π第4题图4.(辽宁卷,14)如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABC…     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

wtt-度的 Nonbounding 定理

本文用“魔怪方法”证明了对任何一个低的 r.e.集 D,存在一个 r.e.集C,使得 D<_(wtt)C,且对任何 r.e.集 A,B,如果 A≤_(wtt)C,B≤_(wtt)C,A(?)_(wtt)D,B(?)_(wtt)D,则 deg(A)∩deg(B)≠(?).此处 deg(A),deg(B)分别表示 A,B 的 wtt-度.     

调和点列的一个性质

<正>如图1,A、B、C、D为同一直线上的四点,若AB·CD=BC·AD,则称A、B、C、D构成调和点列^[1].一、性质如图2,A、B、C、D是一组调和点列,P是以AC为直径的⊙O上一点(A、C除外).则PC平分∠BPD.证明如图3,延长PB交⊙O于E,ED交⊙O于F,连结CD、EC、AF、AP、FC、AE,有     

海南省2006年中考数学科模拟试题(十)

一、选择题(每小题2分,共20分)1.下列四个实数中是无理数的是().A.3.14B.272C.1.414D.π2.如图1,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F;EG平分∠BEF,交CD于G.若∠1=50°,则∠2的度数为().A.50°B.60°C.65°D.70°3.下列各式中与3是同类二次根式的是().A.6B.9C.12D.154.从边长为a     

节外生枝意外收获——试卷评讲中的一例"小题大做"引起的探究

学完立几后,进行了一次测试.有这样一道填空题:如图1,已知棱长为1的正方体容器ABCD-A1B1C1D1中,分别在A1B1A1B1,B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔,若此容器可以任意放置,则装水最多的容积是(小孔面积对容积的影响忽略不计)_____.     

九年级数学科第二学期自测题

A组一、填空题1 .抛物线y=-2x2 -x+1的顶点在第象限 .2 .把函数y =-12 x2 的图像向右平移 1个单位 ,再向下平移 2个单位 ,所得图像的解析式为.3 .对于反比例函数y =-2x 与二次函数y =-x2+3 .请说出它们的两个相同点① ,②;再说出它们的两个不同点① ,② .4.函数y =x2 -2x -1 ,当x =时 ,y有最小值.5 .如图 ,△ABC中 ,BC =a .若D1,E1分别是AB ,AC的中点 ,则D1E1=;若D2 ,E2 分别是D1B ,E1C的中点 ,则D2 E2 =;若D3 ,E3 分别是D2 B ,E2 C的中点 ,则D3 E3 =;……依此类推 .若Dn,En 分别是Dn -1B ,En-1C的中点 ,则DnEn= ≠= .(n为…