关于公式1+2+…+n=(n(n+1))/2

<正>九年义务教育三年制初中《代数》第一册(上)第38页,B组第二题为:正整数从1开始,逐个相加,一直加到n,它们的和记作s,即s=1+2+3+…+n(n表示一个正整数),写出计算s的公式.这道题目中含有字母且设问富有思考性,解题方法体现了数学方法,更重要的是结果能作公式用,而且应用分层次用.为帮助同学理解这些特点,现对这道题进行解读,供同学们参考.     

函数g(x)=(1+1/x)x+1的性质及其应用

近年高考时常出现与函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)有关的压轴题,如2007年四川理科卷的第22题及2001年全国理科卷的第20题,这两道题都涉及了函数f(x)的相关性质.有关函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)的两个重要性质以及结论,文献[1]中给出了总结和证明:     

a+b=c+d型线段证明题的解法

<正>1.原题呈现在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证:AB+BP=AQ+BQ.题目解析这道题目区别于一般的证明a=b+c的形式,要证结论为等号两侧均是线段和,所以无法直接利用"截长补短"进行解决.针对这类题目首先要合理挖掘题目条件,找准转化方向,才能找到题目的突破点.2.解法探究     

关于 X_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)的通项公式

这是八六年高考数学第八题:已知x_1>0,x_1≠1 且x_n+1=x_n(x_n~2+3)/3x_n~2+1(n=1,2,…)。试证:数列{x_n}或者对任意自然数都满足x_nx_(n+1)。此题证法很多,先求通项公式是一个类型的方法,下面给出一种求通项公式的简便方法。由已知     

类比——让我分享一次成功

题 1　已知实常数ａ >0 ,ｂ >0 ,0 <θ <π2 ,求 ｙ =ａｓｉｎθ+ ｂｃｏｓθ的最小值 .当我试图去解这道题时 ,几经努力都没成功 ,失败使我陷入深思中 .忽然 ,我头脑中浮现出我曾做过的一道题 :题 2　已知实常数ａ >0 ,ｂ >0 ,且ｘ + ｙ=1,求 ｙ =ａｘ+ ｂｙ 的最小值 .这道题可以这样来解 :ｙ =ａｘ+ ｂｙ=(ａｘ + ｂｙ) (ｘ + ｙ)=ａ + ａｙｘ + ｂｘｙ +ｂ≥ａ + 2ａｂ +ｂ=(ａ +ｂ) 2 .其中当且仅当ａｙｘ =ｂｘｙ ,即 ｘｙ=ａｂ 时等号成立 .题 1、题 2很相似 ,但题 2有变量约束条件ｘ + ｙ =1,而题 1隐含条件ｓｉｎ2 θ +ｃｏｓ2 θ …     

关于y=√ax+b±√cx+d(ac≠0)的值域的统一解法

2009年武汉市高三年级二月调考理科试卷第9题是:y=√x-3 √x+1的最大值为( ) A.- √2 B.-2√3 C.-√3 D.-2√2 这道题给出的参考答案为D,在评析试卷时,笔者是按照三角代换的思路讲解的. 但有学生却反映说,我们以前不是用向量的数量积公式来做过这类型的题目吗? 为此, 我们一起做了类比思考, 最终寻求到统一解法.     

二项式x~4+b~2型因式分解

_气这是初中代数第二册上的一道习题, 撇.分解因式二呼+4尸虽然教材棺寸提示,但学生解题时仍感困难,因一‘·’…此间题值得探讨.华“.设此类问题的一般形式为.L.二‘+“(b为正整数)--、(I)二,首先研究式(I)在整数范周内能分解因式的条亡件,这得从“补项配方‘开始:牛’.二‘+6,‘二‘+Zb二,+乙,一26:’!「认‘(x名+b),一(J诬。x),:’;二(二‘+J场二+b)(砂一召马x+‘)(幻 困此,条件是肠为完全乎方数,螂应有如下的’ t形式:’ boZ。,(。为正整纷) 、b应为某个平方数的2倍. 倪.以下二项式中,哪些能在整数范围内分解 因式,并将能分解的二项…     

环F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上的循环码

讨论了非有限链环R=F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上的循环码.通过环R上的循环码与多项式环R_n=(F_p+uF_p+vF_p+uvF_p)[x]/(xⁿ-1)的理想的对应关系及对R_n的研究给出了R上循环码的刻画.最后定义了一个Gray映射,并刻画了F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上的循环码在该映射下的像.     

方程x_1+x_2+…+x_k=n整数解的组数及应用

先研究简单情形:不定方程x1+x2+x3= 10…①的正整数解的组数． 此问题可以直观地理解为:将十个相同的 小球,放入三个编了号的盒子中,要求每个盒 子不空的投放方法种数． 这不同于高中教材中介绍的普通组合问 题,但又十分常见．     

tgA+tgB+tgC=tgAtgAtgC又一证法

本刊八五年第十期发表的《一常见三角公式的另一证法》,构思新颖,读后深受启发,本文再提供一种新的证法。题:△ASC中,有tgA十tgb+tgC==tgAtgBtgC。证;作△ABC的外接圆。     

谈函数y=ax+b+k((cx+d)~(1/2))值域的求法

高中《代数》(甲种本)第81页第37题是这样的: 求一「列函数的定义域、值域: (4),=x+了r二瓦 根据已有知识的情况,同学们一般是用判别式法求得值域的。具体解法如下: 解:…y一x+西下云.…g一x=石.丁云 平方并整理得了+2(l一功x+犷一1二0’ ’·‘xeR,·’·△=4(l一功2一4(犷一l))0 解得g‘1,即函数的值域是y‘1. 这种处理方法对本题的正确性从下面的讨论中可以得到证实。问题在于这种解法对于函数y二ax+b十h姨石石是否具有普遍意义呢?为此我们先看下面的例子: 例求函数y二,十而I二丁的值域. 解:函数变形得:y一x二、云巧,两边平方并整理得:…     

1+sin 2θ-cos 2θ/1+sin 2θ+cos 2θ=tgθ的几种证法

本文就高中《代数》(甲种本)第一册第1昵页第3题的第8小题围绕半角的三角公式给出几种证法,以便激发同学们的学习兴趣,并藉以说明如何灵活地运用公式,以期有助于复习巩固所学知识,培养思维能力.利用tg夕=:i,7介口1+:。虑日和才召忿夕=1一co‘旦日1+cosZ台得到1+51;,2召一c(。52“1+52),Zd+eo52已::。竺0/(1+:。:20)+(]一走。:全[))/(1十eo:9口题目:证明1弓一、;,22口一‘052日矛名口1+s:nZ口八工+。o:2夕)1+‘z于22白+‘。62创tg夕+19艺夕洲 一充分5lJ用题目本身的条件 1若注意到条件:::口十。。:O斗。容易得到下面的两种方法 证法一由于:…     

话说不等式x1x2＜0

1 高中教师的赛题以下的这道赛题,本来是用来考高中教师的:赛题试求最大的常数λ,使得下列不等式对于满1足条件x+y+z=0的实数x,y,z恒成立:1/5x2+6x+12+1/5y2+6y+12+1/5z2+6z+12≤λ.     

环F_2+uF_2+…+u~kF_2上的Type Ⅱ码

给出一种构造环F2+uF2+…+ukF2上任意偶数长度的自正交和自对偶码的方法.定义了环F2+uF2+…+ukF2的每个元素的Euclidean重量并且证明了环F2+uF2+…+ukF2上的自对偶码是Euclidean重量为2k+2倍数的TypeⅡ码.     

环F_p+uF_p+vF_p+uvF_p上线性码的Gray像

定义了有限非链环R=F_p+uF_p+vF_p+uvF_p到F_p⁴的一个Gray映射.在证明了该映射是R4的一个Gray映射.在证明了该映射是Rⁿ到F_pn到F_p⁽⁴ⁿ⁾的等重等距映射的基础上进一步证明了环R上的线性码C的Gray像是距离不变码.特别地如果C是环F_2+uF_2+vF_2+uvF_2上的Lee恒距线性码,则Φ(C)为F_2上的Hamming恒距线性码.最后通过映射Ψ把F_p+uF_p上的线性码和R上的一类线性码对应起来.     

2的连续整数指数幂求和的规律

数字世界 ,变幻无穷 .但如果掌握了其中的一些规律 ,解题可能会达到事半功倍的效果 .在此 ,我把自己总结的“2的连续整数指数幂求和”的规律告诉大家 .不当之处 ,请批评指正 .以前 ,我曾见过这样一道题 :求 2 1 + 2 2 + 2 3+… + 2 6 4的结果是多少 .当时我觉得这道题很难 ,未予深究 .前几天 ,我突然想起了这道题 ,经过一番思考 ,居然做出来了 .为做这道题 ,我用了两种方法 .第一种方法比较繁琐 ,又有局限性 .具体做法是 :先对原式依次进行两两相加 ,可以发现 :2 1 + 2 2 是 2 1 的 (2 1 + 1)倍 ,2 3+2 4 是 2 3的 (2 1 + 1)倍…依此类推 ,…     

一道预赛试题的另证

本文给出2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题的一个另证.题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ac≤1/4(1+9abc).     

微分方程dy/dx=(ax~2+bxy+cy~2+ф(x,y))/(ex+fy+ф(x,y))(当ф=ψ=0时分子分母不可约分)在原点的邻域内的积分曲线的拓扑形状

牡势微分方程 dy_a沪+bx万+c沪十脚(x,万) d劣ex十f万+必(x,万)我俩毅势(犷,川及功(劣,川满足下列倏件 lim里业2卫2一=lim止丛三兰卫上=o 井洲‘},+!衅抓刹‘!+1纠微分方程(l)的筒化方程是 d万_a沪+bx对+c护 d劣e劣+fy而舆(i)等偎的微分方程粗是(l)l’)粤一。:+f,+州气妇〕a‘冬擎一。沪+bx,+。护+州,,,),!“艺(2)其特微行列式是 }e一几f}△=}卜侧“一劝=0 }0一又1故特微根是又,=e,又:=0. 按照李亚捕洛夫的稳定性理箫,赏e>0特由微分方程粗(2)所榷定的湮勤是不稳定的,而富召或O待莲勤的稳定性阴题简待莲一步分析.我们现在的工作是不满足敖野…     

也谈一道第20届伊朗奥林匹克竞赛题

1.引言文[1]刊有这样的两道(赛)题:题1(2011年摩洛哥数学奥林匹克试题)设正实数a,b,c满足a²+b²+c²+2abc=1,求证:2(a+b+c)≤3.     

话说不等式x1x2＜0

1 高中教师的赛题以下的这道赛题,本来是用来考高中教师的:赛题试求最大的常数λ,使得下列不等式对于满足条件x+y+z=0的实数x,y,z恒成立:1/5x2+6x+12+1/5y2+6y+12+1/5z2+6z+12≤λ趣事 一位初中学生看到了这道题目,他说式中的λ=1/4.