浅谈利用“两边夹”法则解题

“若a≤x≤a,则x=a”．这就是不等式的“两边夹”性质．据此,我们在解决某些数学问题时,可先根据题意建立起若干不等关系,然后运用“两边夹”法则来确定某些参数的值．从而实现由不等向相等、由变量向常量、由运动变化状态向静止状的转化．这是在不等中寻找相等,运动中寻找静止的重要途径．下面通过具体的实例来说明这一法则在高中数学中的运用,旨在探索解题规律,揭示解题方法．     

结果夹出来

在解题中 ,如果能分别求出所求量x的上限b与下限a ,得到上限为a、下限为b的夹子a≤x≤b ,在a ,b确定的范围内讨论 ,常常能化腐朽为神奇 ,取得满意的效果 .现举例谈谈这种方法的三种常见应用模式及一些构造“夹子”的常用方法 ,供读者参考 .一、一次夹 ,枚举验证———如果满足某种条件的x有无数个 ,我们可以先求出x的可能范围a 相似文献   

夹逼法解题例析

所谓"夹逼法"就是指a≤m≤b型的不等式,由a、b的取值从而定出M符合条件的解,"夹逼法"广泛地应用于数论,三角函数、复数,线性规划及数列等知识领域.巧妙地应用"夹逼法"     

“夹逼”策略 不等中寻等

夹逼策略,是指先根据题意建立起不等式关系,再依据两边夹逼的法则（或称逼等原理）来确定某些参数的值,从而实现由不等关系向等量关系的转化;实现由运动变化状态向静止状态的转化．这是在不等中寻找相等,运动中寻求静止的重要途径．     

争鸣

问题问题98 a,b∈R,不等试acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,求b的取值范围.解因为不等式acosx bcos3x≤1对任意实数x恒成立,所以令x=0得a b≤1;x=π得a b≥-1-1≤a b≤1(1)又当x=3π时,有2a-b≤1-2a b≥-1;x=23π时,-2a b≤1,故-1≤-2a b≤1-2≤-a 2b≤2(2)由(1) (2)得-3≤3b≤3,所以-1≤b≤1即为所求.1)以上解法是否正确?请给出判断结果及理由.2)若解法正确,其中x分别选取等于0,π,3π,2π3的依据是什么?若解法不正确,其正确解法又如何?3)若改为求a的取值范围,又当如何解决?佟成军提供(江苏省海州高级中学222023)评析问题84该问题共收稿…     

谈谈美国研究生资格考试的一个试题

外国人的东西未必是最好的,起码对某些题目的解答未必最优.在美国一著名大学数学系研究生的资格考试中,有一道题目,分成两问,为行文方便,姑且叫做问题1　设b1≤b2 ≤…≤bn,a1≤a2 ≤…≤an,且a1+ a2 +…+ an=0 .求证:∑ni=1aibi≥0 .问题2　设f ,g在[0 ,1 ]上连续,且f ,g都递增.求证∫10 f ( x) dx∫10 g( x) dx≤∫10 f ( x) g( x) dx.(提示:先考虑条件∫10f ( x) dx =0 ) .通常人们认为,大凡有一问题被分为两个小问题,实际上包含了重要的信息.问题2的提示是命题人给出的,不难想象,应当先做问题1的离散情形,再做问题2的连续情形.有了这两…     

两种表示法的区别

有人说,因为-2≤x≤a,所以由不等式传递性,理所当然有a≥-2,此话不对,不等式传递性是在a≥b且b≥c这两个结论同为真的前提下,才有a≥c的。这里,a是一个参变量,a∈R,满足-2≤x的实数x,不一     

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

一道创新高考题的赏析及启示

1 试题回放 题目 (2010年湖北文理10)记实数x1,x2,…,xn中的最大数为maxx1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为 l=max{(a)/(b),(b)/(c),(c)/(a)}·min{(a)/(b),(b)/(c),(c)/(a)}, 则"l=1"是"△ABC为等边三角形"的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件     

图有含(或不含)特殊边的[a,b]-因子的邻域条件

设G是一个n阶图.设1≤a＜b是整数.设H1和H2是G的任意两个边不交子图,它们分别具有m1和m5条边,以及δ(G)表示最小度.证明了若δ(G)≥a+m 2,n≥2(d+b-m2)(a+b-m1-1)/(b-m1),a≤b-(m1+m2),并且|NG(x)UNG(y)|≥an/(d+b-m1)+2m2对任意两个不相邻的顶点x和y成立,那么G有[a,b]-因子F使得F含有H1的边并不含H3的边.     

命题:“若{x≥a,x≤a则x=a”的应用

<正>命题:"若x≥a x≤a,则x=a",体现了"相等"与"不等"的对立统一及其相互转化的关系.命题虽然十分简单,却在解答数学竞赛试题中发挥重要作用.本文举例介绍其应用.一、在求值中的应用例1(2013年全国初中数学联赛)已知实数a,b,c,d,满足:2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.分析与解答一方面,根据菲波那契恒等式和实数的平方是非负数可以得如下不等式:     

“x≥a,x≤2无解”即“a≤x≤2不成立”吗？

众所周知,"{x≥a x≤2无解"即"{x≥a x≤2的解集是φ",那么"a≤x≤2不成立"又是什么意思呢?     

关于无理方程((a-x)~(1/2))+((x-b)~(1/2))=(a-b)~(1/2)

这是现行初中代数教材上的一道习题: 解关于x的方程 (a-x)~(1/2)(x-b)~(1/2)=(a-b)~(1/2)(A) 限制在条件a≥b,b≤x≤a下,将(A)两边平方,得 2(a-x)(x-b)~(1/2)=0。方程的两根是x=a或x=b。研究了(A)型方程的特点后来解这类无理方程是相当简捷的.现举数例如下。例1 解方程(100-x)~(1/2)+(x-64)~(1/2)=6。解:将原方程化为(A)型:     

对一道习题的思考

从相关习题出发,借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am};设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数,则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

一个曲边形面积的求解与思考

问题　求由曲线 C:b2 y2 =(b +x) 2 (a2 - x2 )　 (b≥ a >0 )包围的面积 .1　分析1.1　曲线 C的几何特征由曲线 C的方程知 ,x轴为曲线的对称轴 ,不妨考察曲线 C在 x轴的上半部分 ,并记其为曲线 C1 :y = a2 - x2 +xb a2 - x2　 (|x|≤ a) .曲线 C1 可看成是由半圆 C* :y =a2 - x2 　 (|x|≤ a)演变而来 :在曲线y = a2 - x2 　 (0≤ x≤ a)上 (第一象限部分的四分之一圆 )上任取一点 A1 (x0 ,y0 ) ,并将其平移到 A′1 (x0 ,y0 +x0b a2 - x20 ) ,同时在曲线 :y =a2 - x2 　 (- a≤ x≤ 0 )上 (第二象限部分的四分之一圆 )取与 A1 关于 y轴…     

小问题 多解法

<正>在数学解题过程中,如果我们总是能尝试以不同的视角分析并解决同一个问题,会帮助我们理解知识之间的关联,对我们的学习产生积极的作用.下面结合两个具体问题来说明.例1命题"对任意x∈[1,2),x²-a≤0"为真命题,则a的取值范围是_____.解法一对任意x∈[1,2),x2-a≤0"为真命题,则a的取值范围是_____.解法一对任意x∈[1,2),x²-a≤0,实则等价于x2-a≤0,实则等价于x²-a在[1,2)上的最大值不大于0,     

两边夹的思想方法在高中数学中的应用

若an≤bn≤cn,且lim an=limcn=A,则 n→∞ n→∞limbn=A,这是高等数学中的两边夹定理.与n→∞之相仿,初等数学中也有一个结构相似的两边夹结论:若A≤a≤A,则a=A.这虽是一个显而易见的结论,但在高中数学中却有不少应用.     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

争鸣

问题 问题98 a，b∈R，不等试dcosx＋bcos3x≤1对任意实数x恒成立，求b的取值范围．     

“两边夹”方法解题例说

两边夹方法:若A≤a≤A,则a=A,它实现了由不等到等的转化.下面结合例题谈谈它在数学解题中的妙用.