数形结合巧解绝对值方程

定理对于方程|x-a|+|x-b|=c,(1)当|x-a|+|x-b|<|a-b|时,方程无解.(2)当|x-a\+|x-b|=|a-b|时,方程的解为min{a,b}≤x≤max{a,b}.(max{a,b)表示a、b中较大的数,min{a,b}表示a、b中较小的数)(3)当|x-a|+|x-b|>|a-b|时,方程     

应用几何意义求一类绝对值函数的最小值

<正>先看下面三个小题目及分析:(1)求函数f(x)=|x-a|的最小值.分析由绝对值的几何意义可知,当x=a时,函数f(x)取得最小值f(a).(2)求函数f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|(a_1相似文献   

从一题高考试题谈圆锥曲线的特征折线

1 真题再现(2011年安徽理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1解析 约束条件可化为{x+y≤1 x≥0 y≥0或{-x+y≤1 x＜0 y≥0或{x-y≤1,x≥0,y＜0,或 {-x-y≤1,x＜0,y＜0,其表示的平面区域如图1所示,作 x+2y=0l0:x+2y=0,平移l0至l位置, l图1则当l分别过(0,1),(0,-1)时,x+2y分别取最大值2和最小值-2,故选B.本题考查了绝对值不等式和线性规划知识,考查了学生的作图能力和转化能力,是容易题.题中牵涉到一个含绝对值的曲线|x-a|+|y-b | =r( r＞0),笔者发现函数|x-a|+|y-b|=r(r＞0)是一条折线,它与圆(x-aa)2+(y-b)2 =r2(r＞0)有着十分相似的图象和性质,例如:曲线(x-a) 2+(y-b)2 =r2(r＞0)是以(a,b)为圆心,直径为2r的圆;而曲线|x-a|+|y-b|=r( r＞0)则是以(a,b)为中心,对角线长2r,内接于圆的正方形.进而笔者猜测,是不是把所有的圆锥曲线方程中的平方改成绝对值后,就能得到与其类似的折线呢?笔者把改后的这一类折线称为圆锥曲线的特征折线.     

函数f(x)=|x-a|+|2x-b|的最小值及其拓展

<正>《中学生数学》2018年11月上登载了《应用函数性质解绝对值不等式》一文(以下简称文[1]),其中给出了函数f(x)=|x-a|+|2x-b|的图像和取得最小值时的性质,但文中总结的取得最小值的结论可以进一步改进.本文试对此类问题加以说明并给出更一般的拓展.     

关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

绝对值不等式的性质如何用?

同学们知道,绝对值不等式有性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.容易证明该性质还可以加强为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.如何运用这一性质?是高中数学学习中的一个难点.下面拟举例说明如何运用它.一、运用绝对值不等式的性质不取等号的     

一类绝对值不等式的另解

<正>普通高中数学课程标准对|x-c|+ |x-b|≤a、|x-c|+|x-b|≥a型不等式的要求是:会利用绝对值的几何意义求解|x-c|+ |x-b|≤a、|x-c|+|x-b|≥a型的不等式.这是新课程第一次对该类型不等式提出了具     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

平底锅不等式的两种类型

<正>2019年最新修订的高中数学人教B版教材中有一类有趣的绝对值函数,其图象比较有特点,本文对这类函数的图象特征进行总结,旨在利用结论可以使同学们方便地在图象中求解问题,而不需要分类讨论.1平底锅不等式的两种类型(1)锅型不等式形如y=|λx-a|+|λx-b|的函数,其图象如平底锅的锅身,如图1所示.1)锅底的两个拐点坐标分别为|λx-a|=0和|λx-b|=0的根;     

一类绝对值问题的解题途径

本文例析含有式子|x+a|+|x+b|一类问题的解题途径. 途径一对|x+a|+|x+b|分类讨论,去绝对值可理解为分段函数. 途径二从几何意义来看|x+a|+|x+ b|可理解为数轴上动点P(x)到定点A(-a), B(-b)的距离之和.     

北京数学奥林匹克学校 课堂实录

课题绝对值适用年级初中一年级学期2005-2006学年度第一学期训练目的1.了解化简含有绝对值符号的代数式的一种基本方法——零点分段法;2.灵活运用分类讨论的解题思想,利用已知条件把含有绝对值符号的问题转化成已知的问题.典型范例已知y=|x+2|+|x-1|-|3x-6|,求y的最大值.分析要求y的最大值,应考虑化简|x+2|+|x-1|-|3x-6|,但题目中并没有给出x的取值范     

绝对值几何意义的应用

我们知道 ,|x|的几何意义是表示数轴上点 (x)到原点的距离 ,由此 |x -a|的几何意义表示点 (x)到点 (a)的距离 ,同样 ,|x +a|的几何意义表示点 (x)到点 ( -a)的距离 .应用绝对值的几何意义去解含绝对值的一些题目 ,能使解题过程大为简化和直观 ,看下面几种题型的解法 .一、解绝对值方程例 1　解方程 |x -4 |+|x +1|=5 .解　由绝对值的几何意义知 :|x -4 |+|x +1|表示数轴上的点 (x)到点 ( 4 )的距离与点 (x)到点 ( -1)的距离之和 ,由图 1知点A( -1)与点B( 4 )之间的距离等于 5 ,当x为线段AB上的任一点P时 ,则P点到A、B两点的距离之和都为…     

二项展开式系数绝对值最大项的一个公式

定理设a、b是非零实常数,x、y为变数,在(ax+by)~n的展开式中系数绝对值最大的项是第(?)+1项(?)则即r为不超过|b|/|a|+|b|·(n+1)的最大整数证明:(ax+by)(?)展开式的通项为 T_(k+1)=C_n~k(ax)~(n-k)(by)~k(k=0,1,2,…,n)其系数的绝对值|t_(k+k)|=C_n~k|a~(n-k)b~k| 在展开式中第(?)+1项的系数绝对值最大的充要条件是     

一道联考试题的探究与推广

一、提出问题2011年北大等十三校联考(北约)自主招生考试数学试卷的压轴题是:求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|2011x-1|的最小值.如何求?二、探究思路引例1函数     

利用绝对和差的几何意义求解几类问题

<正>我们知道,"|x-a|+|x-b|"的几何意义为:数轴上的点x到两定点a、b的距离之和;"|x-a|-|x-b|"的几何意义为:数轴上的点x到两定点a、b的距离之差.这将是用数形结合研究此类问题的关键,下面笔者就用其几何意义解决最值问题﹑恒成立问题﹑存在性问题﹑解不等式等问题.     

一类关于绝对值的函数的最小值及其应用

已知两两互异的实数a_1,a_2,…,a_n,求表达式y=|x-a_1| |x-a_2| … |x-a_n |(x为实数)所定义的函数的最小值。这是波兰的一道数学竞赛题,我们将其归结为如下结论: 定理如果a_1相似文献   

An inequality for polynomials with a prescribed zero

Let p_n(z)=∑_(k-0)~n a_kz~k be a polynomial of degree n such that |p_n(z)|≤M for |z|≤1. It is well.known that for 0≤u相似文献   

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

立足定义破解2011年“北约”自主招生压轴题

2011年“北约”自主招生数学压轴题(第七题):求f(x)=|x-1|+| 2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.文[1]给出了一种解法,本文立足绝对值定义,给出一种较简单的解法.分析 由于各项是绝对值,故解题思路可按绝对值的定义去掉绝对值符号切入.     

绝对值恒等式的应用

<正>近几年绝对值问题一直是浙江省高考的热点,因而各地的模拟卷里绝对值问题自然而然也成了"常客",而在解决这些问题的过程中经常出现下面一对绝对值恒等式的倩影:max{|a+b|,|a-b|}=|a|+|b|和min{|a+b|,|a-b|}=||a|-|b||,用它来解决与绝对值有关的问题往往可以做到事半功倍的功效.下面笔者通过具体的例题来解析这对恒等式的应用.