从课例出发谈“旋转变换”方法在几何学习中的作用

在同一平面内,把一图形绕定点沿着某一方向转动一个角度,叫做图形的旋转变换．图形旋转有两个重要元素：旋转中心0和旋转角．在旋转过程中图形的形状大小不发生改变,只是位置改变．我们在运用图形旋转变换时,要始终把握图形运动的旋转中心与旋转角这两个要素．旋转角、旋转中心往往为添加辅助线、构造中心对称图形提供了参考条件;图形旋转的不变性也是寻找全等形的依据．本文结合实际的教学实践,从几个方面来阐述旋转变换思想方法在几何学习的作用．     

平分面积的一种有效方法

根据中心对称图形的定义可知,过封闭的中心对称图形的对称中心任作一条直线,直线一边的部分绕对称中心旋转180°后,与直线另一边的部分完全重合.因此,这两部分的面积是相等的。从而我们可以得出下面的结论:     

生活中的中心对称图形

中心对称图形是对一个图形说的 ,它表示某个图形的特性 ,而要判断一个图形是不是中心对称图形 ,主要依据“把一个图形绕某一个点旋转 1 80°,如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合 ,那么这个图形就叫做中心对称图形 .”中心对称图形在日常生活和生产中有着极其广泛的应用 ,2 0 0 2年在全国部分省市的中考试卷中 ,就出现了不少与中心对称图形相关的贴近生活实际的新颖选择题 .同学们在解答这类试题时 ,只要仔细观察 ,留心分析 ,就能够从简单的表面现象中去发现数学本质 ,从而经过思考 ,归纳 ,就可判断出选择题 .下面就以 2 0 0 2年部分…     

趣谈任意角和弧度制

在义务教育阶段用静止的观点刻画角，把角看成是由一点引出的两条射线所组成的图形，这种角的定义在实际应用时有很大的局限性．例如：地球自转和机器轮子绕轴旋转一周后继续旋转，这些都不能用两条射线表示，而任意角可以说是刻画这类事物的数学模型，是用运动变化的观点重新定义了角的概念．在三角中把角看作平面上的一条射线绕着某一点旋转所成的图形，由于线段的旋转有方向性，任意角也就有了正负之分；当射线静止不动时，就称为零角．     

透过现象看本质——动态立体几何问题的处理

动态问题是高考对立体几何问题的主要考查形式之一,其体现了"变"与"不变"的和谐统一,动态立体几何问题的特点是图形中的某些元素(点、线段、角等)或某部分几何图形按一定的规律运动变化,从而又引起了其他一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化.但是图形中的一些元素的数量和关系在运动变化的过程中却互相依存,具有一定的规律可寻.一、寻找特殊位置,以动制静     

用翻折法找辅助线位置

在解平面几何问题时,经常要作辅助线,有些问题的辅助线添加在什么位置,往往很难确定.学过了轴对称以后,根据轴对称原理,把图形绕某直线翻折,翻折图形中的某点(或线段)的座落位置,就是添加辅助线的位置,再恰当作出辅助线就容易解题了. (一)用角平分线所在直线为轴翻折找辅助线位置 角是关于它的平分线所在直线为轴的轴对称图形,图中若有角平分线或可证明是角平分线,就可以用角平分线所在直线为轴翻折,从而作出辅助线. 例1 已知如图1,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于     

乘法运算和虚数单位的几何定义

对于自然数,乘法是加法一种简明的表达式;但由自然数系扩展为整数系时,乘法却需要补充的几何定义,以加深对运算律的理解。为此,任何有向线段a与(-1)的乘积定义为有向线段a绕其起点逆时针旋转π角所生成的有向线段;任何有向线段a与j的乘积定义为有向线段a绕其起点逆时针旋转π/2角所生成的有向线段,由此可推导出j即是虚数单位,j=i=(-1)～(1/2)。eiθ既是单位向量,又是平面向量的乘法旋转算子。文中还阐明了复数的指数形式为平面向量的最佳表达式,以及平面向量三种乘法的对应关系。     

利用平移求旋转90°后点的坐标

<正>在中考中频现一类求旋转90°(或含90°)点的坐标问题,常规思路是在直角顶点处构建"一线三等角"模型.这类问题还可以利用平移程式化求解,下面提供几例供师生学习参考.一、点绕某点旋转90°引例(2010年菏泽)已知点P的坐标为(m,n),O为坐标原点,连接OP,将线段OP     

“误中悟”教学方式的一次有效尝试——以人教版九年级上册“图形的旋转”为例

<正>1内容和内容解析内容：图形旋转的定义及性质．（1）内容的上下关系本节内容有重要的地位和广泛的应用,在教学上起着承上启下的作用．承上：学生对图形变换已经有了一定的认识,初步积累了图形变换的活动经验．本课“旋转”与“平移”“轴对称”一样,是图形变换的又一种方式．启下：中心对称图形、圆等均是可以由旋转变换得到的图形,很多性质定理均源于旋转的性质,它是后续内容的认知基础,为解决几何证明中的线段相等、角相等等提供了添加辅助线的解决方法．     

图形的旋转及其应用

旋转是图形的一种基本变换 .学生在日常生活中也经常遇到过一些旋转的现象 ,因此 ,学生在学习这一节内容时就不会觉得陌生、抽象 ;再者 ,本人在导学这部分知识时 ,完全由学生在实验中探索得出结论 .下面我就略谈本课的导学及举例应用 .(一 )知识导学1 .对应点、对应线段、对应角的介绍及图形旋转的决定因素在导学这些知识时 ,我从学生在日常生活中常见的旋转图形入手 ,让学生观察 ,给学生脑子里潜意识地感受旋转的特点 ,继而让学生动手操作 (课本第 9页 )后 ,向学生介绍对应点、对应线段、对应角 .并由学生亲自体验得出结论 :图形的旋转由旋…     

在回忆中梳理 在应用中再现—— 以“平面图形的认识（一）”知识归纳为例

苏科版七年级上册第六章“平面图形的认识(1)”,主要研究最简单的平面图形及其数量关系和位置关系,其中线段和角是最简单的几何图形,是组成复杂图形的基本元素,有关线段和角的性质、画法等是研究较复杂图形的性质、画法的基础;线段的中点,角的平分线,余角、补角、对顶角的概念、性质、符号表示是今后推理论证的依据和基础.作为章节复习课,面对大量的基础知识,如何科学有效地引导学生回顾知识,使所学知识系统化显得尤为重要.     

旋转法解题,妙!

旋转是把某一图形F绕一个定点顺时针或逆时针方向旋转一定的角度到图形F’的一种变换.在中考和数学竞赛部分难题中,常常利用这种变换,打破常规证(解)题的思维局限,大胆构想,大手笔运动图形,拓宽了思路,使一些非常棘手的难题迎刃而解。旋转法证(解)题一般有以下几种思考类型。     

旋转变换的应用

旋转变换的图形不仅具有丰富多彩、优美动人的图案,更具有很强的探索性和创造性,因此,它更是中考数学命题的热点之一·由于旋转变换图形的动态性、开放性、结论与题设之间关系的捉摸不定性,从而增加了解题的难度,如能充分利用旋转图形的特性,掌握旋转变换的原则,则对解决这类问题将简易得多·笔者精选了部分经典中考题探究如下:1巧用图形的旋转不变性“旋转不变性”是指当图形绕某个旋转中心旋转任意角度后,图形的形状与大小都没有发生变化,即对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等·解题时就要充分利用“变化过程中存在的不…     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

探究中考旋转问题的解题思路

<正>分析近几年的中考数学试题,不难发现图形的旋转是综合实践常常考查的问题.试题重点考查图形旋转到某一特殊位置时与角或线段有关的问题,融入了动态几何的变与不变,注重几何猜想、画图、推理、证明与计算能力以及创新精神和实践能力,关注的是同学们对有关图形变换的操作活动经验以及分析问题、解决问题的能力.解决此类问题,需要具有较强的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.下面以山西省太原市2018-2019学年第一学期初三期末测试的22题为例探究旋转问题解题思路.     

条件分散就“转”在一起

<正>旋转变换性质丰富,如对应边相等、对应角相等、对应点与旋转中心的连线形成的夹角等于旋转角、对应边所在的直线形成的夹角等于旋转角或等于旋转角的补角等.利用旋转过程中诸多的不变性就能实现边角转化,将分散的条件集中为我所用;等线段共点的几何证明题,就可以依据旋转图形的几何特征,利用旋转迎刃而解.举例说明,供同学们参考.     

图形变换中不变量的运用

在图形的平移、旋转、对称等基本变换下,图形各对应线段的长度和相应角的大小都是不变的,下面从07浙江中考试题看图形变换不变量的运用.……     

图形设计美不胜收

<正>一个图形设计问题:为美化环境,某单位需要在正方形空地上分别种植四种不同的花草,计划将这块地按如下要求分成四块:(1)分割后的整个图形必须是中心对称图形;(2)四块图形的形状相同;(3)四块图形的面积相等.请按照上述三个要求分别在下面的正方形中给出四种不同的分割方法(尺规或徒手作图均可,但要尽可能准确、美观,不写作法).本题主要涉及中心对称图形、图形的形     

用互补角的三角函数关系解几何问题

设α β=180°,则sinα=sinβ,cosα=-cosβ,在应用正弦定理或余弦定理解几何问题时,若注意揭示图形中两角互补关系,再应用上述互补角的三角函数关系,沟通相关线段或角之间的内在联系,从面使问题易于得解。     

探究图形旋转在解题中的应用

<正>初中数学课本中有关全等图形的变换有三种:平移、翻折和旋转.而旋转图形因为能够形成中心对称图形,故存在一种对称美,在生活中有着广泛运用,如表达鱼水之欢的中国民间剪纸(如图1)以及表达阴阳合一的太极图(如图2),都巧妙运用了图形的旋转进行设计.