变量分离型积分因子存在定理及应用

给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式.     

被积函数中出现sinx/x,sinx^2,e^-x2,e^y/x,sin^y/x等函数时二重积分的计算

通过利用分部积分与二次积分交换积分顺序这两种方法，讨论了被积函数中出现sinx/x,sinx^2,e^-x2,e^y/x,sin^y/x等函数时二重积分的计算     

积分变上限函数的求导方法及其应用

我们知道,若f(x)在[a,b]上可积,则积分integral from n=a to b(f(x)dx)也是[a,b]上的一个函数,称为积分变上限函数。记为Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)。这里,积分上限和积分变量都用了字母x,但两者意     

探讨Pdx+Qdy+Rdz为某函数u(x,y,z)全微分的积分因子

就微分形式P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz为某函数u(x,y,z)的全微分的积分因子进行了探讨,提出了积分因子的必要条件,以及P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是齐次函数时,方程Pdx+Qdy+Rdz=0具有积分因子的充分条件进行了初步探讨.     

N维多重非齐次调和方程及其边界积分方程

对n维多重非齐次调和方程△~((k))u=f(x),x∈R~n,给出了基本解的递推公式以及多重调和函数的积分关系式.在非齐次项f(x)为m次调和的情形下将域上的积分转化为沿边界的积分,进而应用直接法给出了基本边界积分方程.对f(x)为一般光滑函数的情形,给出了用泰勒多项式逼近时相应的误差估计并证明了含误差项的积分是收敛的.     

反常积分敛散性的根值判别法

由于积分与级数在理论上是统一的,因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和瑕积分的敛散性.设f(x)是[a,+∞)上的非负函数,li mx→+∞xf(x)=ρ,则当ρ1时,反常积分∫a+∞f(x)dx收敛,而当ρ1时,反常积分∫a+∞f(x)dx发散;设f(x)是(a,b]上的非负函数,a为瑕点,xli→ma+(f(x))x-a=ρ,则当ρ1时,反常积分∫abf(x)dx收敛,而当ρ1时,反常积分∫baf(x)dx发散.     

复合型积分因子的存在定理及应用

给出了微分方程 M( x,y) dx+N ( x,y) dy=0复合型积分因子的定义 ,得到了复合型积分因子存在的充要条件和计算公式 .     

上取整函数和小数部分函数的积分公式

基于上取整函数y=〈x〉的定义与图象,给出当a>b时,积分∫ba〈x〉f′〈x〉dx∫,baf(〈x〉)dx的计算公式,当f(x)在[b,a]为单调函数时,积分∫ba〈f(x)〉dx的计算公式以及伴随小数部分函数{x}=〈x〉-x的两个积分公式∫0a{x}dx和∫ba{x}dx,并举例说明其应用.     

关于积分方程的求解

在高等数学中,积分方程求解的方法是通过将其求导一次或数次转化为微分方程来进行的.值得注意的是:这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中,因此需要把它挖掘出来,从而使积分方程转化为一个初始问题.下面通过举例予以说明.例1　求满足方程∫x0f(t)dt=x ∫x0tf(x-t)dt的函数f(x).解　本题中由于变量x同时出现在积分上限和被积函数内,应先通过变量替换使被积函数内不含x,再利用变上限定积分的求导消去积分符号.令x-t=u,则dt=-du.于是∫x0tf(x-t)dt=-∫0x(x-u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du原方程变形为∫x0f(t)dt=x x∫x0f(t)dt-∫x0…     

Hardy-Hilbert积分不等式的一个新推广及其应用

通过引入一个形如x1 x(x∈[0, ∞))的幂指函数建立了带权的Hardy-Hilbert积分不等式的新推广.并证明了系数(2)(sinπp)是最佳值.作为应用,给出了Hardy-Littlewood积分不等式的一个推广.     

利用二重积分证明积分不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题 ,会给解题带来方便 .本文通过几个范例说明利用二重积分证明积分不等式的方法 .例 1　设函数 f (x)与 g(x)在 [a,b]上连续 ,证明 Cauchy-Schwarz积分不等式(∫baf (x) g(x) dx) 2≤∫baf 2 (x) dx∫bag2 (x) dx　　证明　记积分区域 D =[a,b]× [a,b],利用定积分与积分变量符号无关的性质等 ,有(∫baf (x) g(x) dx) 2 =∫baf (x) g(x) dx∫baf (y) g(y) dy = Df (x) g(x) f (y) g(y) dxdy≤ D12 [f2 (x) g2 (y) f2 (y) g2 (x) ]dxdy=12 ∫baf 2 (x) dx∫bag2 (y) dy 12 ∫baf …     

方程x″+g(x)=0的周期映射的单调性的一个判别准则

分支理论中方程x″ g(x)=0的周期映射的单调性是非常重要的,本文通过一系列积分变换得得到了方程x″ g(x)=0的周期映射的积分形公式,并利用它给出了判别周期映射单调性的一个判别准则。     

关于分数阶积分与导数的性质

现将本文所用的预备知识叙述如下:1°假设f(x)在[a,b]上可积,当β>0,如果下列积分存在,则称fβ(x)为f(x)的β阶积分.如果f(x)是周期为2π的函数,同时f (x)在[0,2π]上的积分为零,这时f(x)的β阶积分由下列公式给出     

一类扰动超椭圆Hamilton系统的Abel积分零点个数上确界

本文研究Abel积分Γh(a0+a1x+a2x2+a3x3)ydx零点个数上确界,其中Γh是超椭圆Hamilton量H(x,y)=1/2y2+9/2x2+5x3+7/4x4+1/5x5的闭代数曲线族.根据Abel积分生成元的Chebyshev理论和Abel积分的渐进展开式,结合多项式符号计算技术证明3是Abel积分零点个数的一个上界,并且可以达到3个零点.     

关于一个积分不等式的证明

分别利用定积分的定义、Cauchy中值定理、积分变限函数、参数法以及二重积分等证明积分不等式∫01f2(x)dx≥∫01f(x)dx2,其中f(x)在闭区间[0,1]上连续.同时归纳出证明积分不等式的几种典型方法.     

用定积分形式定义的不定积分

设f(x)有界且有原函数,把f(x)按照一定条件先限制再延拓到(-∞,+∞),得F(x).令x为自变量,s为参数,则形式定积分∫sxF(t)dt就是f(x)的不定积分.因此,不定积分可以看成另一种形式的定积分.是上限与下限都不定的定积分.     

二元函数全微分求积的一个简单方法

利用分离积分的方法，给出了二元函数全微分P（x，y）出＋Q（x，y）dy=du（x,y）求积的一个简便公式．其特点是只需计算函数P和函数Q的不定积分，从而避免原方法在积分路径选取时的麻烦以及由积分路径选取不当所导致的错误．     

利用定积分求数列和的极限值

由定积分定义知,要求函数f(x)在区问[a,b]上的定积分,只需求函数f(x)绵积分     

积分半群的Lumer—Phillips定理

一个n次积分半群S(t)如果满足‖S^(n)(t)x‖≤‖x‖,A↓t≥0,x∈D(A^n),我们就称S(t)是一压缩的n次积分半群,其中A为半群S（t)的生成元。在本中,我们完全刻划了n次压缩积分半群的特征,给出了n次压缩积分半群的Lumer-Phillips定理。     

关于“复合型积分因子的存在定理及应用”的一个注记

对“复合型积分因子的存在定理及应用”中给出的微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0复合型积分因子的定义进行剖析,得到了一般性复合型积分因子的定义及其存在的充要条件和计算公式.