Sul problema di Picard in ipotesi di Carathéodory

Sunto Viene studiato il problema di Picard per una equazione differenziale del secondo ordine di tipo iperbolico in due variabili, stabilendo, in ipotesi del tipo di Carathéodory e con dati al contorno assolutamente continui, dei teoremi di esistenza. La tecnica seguita per tale studio richiede la dimostrazione di alcuni criteri di compatezza rispetto alla convergenza quasi uniforme del tipo semiregolare nonchè di alcuni risultati concernenti la dipendenza da un parametro della soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Vengono anche utilizzati dei nuovi risultati sulla derivazione sotto il segno d’integrale recentemente stabiliti, altrove, dall’Autore.

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Summary The Picard problem for a second order partial differential equation of hyperbolic type in two variables is studied. Existence theorems are established under rather mild assumptions of Carathéodory type on the data. The technique used requires some compactness criteria with respect to a certain type of convergence, as well as some results, not be found in the current literature, about ordinary d.e. depending on a parameter and Leibnitz rule for derivation of an integral.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di ricerca matematica del C.N.R.     

Pseudodifferential operators of infinite order and Gevrey classes

Summary A class of pseufodifferential operators of infinite order acting on spaces of Gevrey functions and their duals is defined. For the corresponding symbols the rules of the classical symbolic calculus are proved. In particular for operators satisfying an “hipoellipticity condition” a result of propagation of Gevrey regularity, is obtained by proving the existence of a parametrix.

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Riassunto Viene definita una classe di operatori pseudodifferenziali di ordine infinito che agiscono su spazi di funzioni Gevrey e sui loro duali. Per i corrispondenti simboli si provano le regole del calcolo simbolico classico. In particolare per gli operatori che soddisfano una “condizione di ipoellitticità” si ottiene un risultato di propapagazione di regolarità Gevrey, provando l'esistenza di una parametrice.

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Work supported by Ministero della Pubblica Istruzione and G.N.A.F.A. C.N.R., of Italy.     

Solutions presque périodiques des inéquations d’évolution paraboliques

Sunto Si dimostra un teorema di esistenza per la soluzione quasi periodica di una disequazione d’evoluzione parabolica.

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Politecnico di Milano. Lavoro eseguito usufruendo di una borsa di studio del C.N.R. per l’estero presso l’Università di Parigi.

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Entrata in Redazione il 14 giugno 1970.     

Global regularity estimates for multidimensional equations of compressible non-newtonian fluids

The present paper is devoted to the problem of global existence of sufficiently regular solutions to two- and three-dimensional equations of compressible nonnewtonian fluids. In the case of potential stress tensor, we develop the technique of derivation of energy identities that do not include the density derivatives. Basing on these identities, in the case of sufficiently fast-increasing potentials, we obtain an extended system of a priori estimates for the named equations. We also study the related problem of estimates for the solutions to non-linear elliptic system generated by stress tensor.

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Sunto Il presente lavoro è dedicato al problema dell’esistenza globale di soluzioni sufficientemente regolari delle equazioni del moto di fluidi comprimibili non-Newtoniani in due e tre dimensioni. Nel caso di tensore degli sforzi potenziale, viene sviluppata una tecnica per la derivazione di identità dell’energia che non includono derivate della densità. Basandosi su tali identità, nel caso di potenziali che crescono abbastanza rapidamente viene ottenuto un sistema esteso di stime a priori per le equazioni del moto. Viene inoltre studiato il problema correlato delle stime di soluzioni di sistemi ellittici non lineari generati dal tensore degli sforzi.

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This work is supported by Russian Foundation for Basic Research (Grant 99-01-10817), Cariplo Foundation and Volta Center of Landau Society.     

Multiplicity of solutions for elliptic inequalities in presence of symmetries

Summary In this paper we get a multiplicity result for the solutions of a variational inequality of elliptic type, in presence of symmetries.

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Riassunto Viene fornito un teorema di molteplicità di soluzioni per una disequazione variazionale di tipo ellittico in presenza di simmetrie.

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Work supported by M.P.I. and G.N.A.F.A.     

On the existence of free surface problem for viscous incompressible flow

In this paper we are concerned with the flow of a viscous, incompressible fluid in a bounded, three-dimensional region Ω with free surface boundary conditions. Using a method introduced by the author, that consider a two-fluid system in which the atmosphere or the vacuum is considered as a second fluid, separated from the first one by a free interface Γ(t), we prove existence of a kind of weak solution that we call quasi-weak solution.

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Sunto In questo lavoro studiamo il moto di un fluido viscoso e incomprimibile in una regione limitata tridimensionale Ω, con condizioni al contorno di superficie libera. Utilizzando un metodo, dovuto all’autore, che consiste nel considerare l’atmosfera o il vuoto come un secondo fluido, separato dal primo da un’interfaccia mobile Γ(t), dimostriamo l’esistenza di una sorta di soluzione debole, denominata soluzione quasi-debole.

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Work supported by Progetto Murst n. 9801262841.     

Generalized minimizing movements for the mean curvature flow with Dirichlet boundary condition

We study a variational approach, called Generalized Minimizing Movemenents (GMM) and proposed by E. De Giorgi, to evolution of hypersurfaces by mean curvature in the case of a Dirichlet boundary datum. We prove an existence theorem of a GMM when on the initial solid are made suitable geometric hypotheses.

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Sunto Si studia un approccio variazionale, detto Movimenti Minimizzanti Generalizzati (GMM) e proposto da Ennio De Giorgi, per l’evoluzione di una ipersuperficie secondo la curvatura media con un dato al bordo di tipo Dirichlet. Viene provato un teorema di esistenza quando sul solido iniziale siano fatte opportune ipotesi di tipo geometrico.

     

Estensioni booleane di strutture relazionali

Riassunto In questa nota si introduce il concetto di estensione booleana in una struttura relazionale, facendo vedere che per questa via è possibile generalizzare in modo naturale le nozioni di potenza diretta, potenza ridotta e ultrapotenza di una struttura. Si estende inoltre alle ultraestensioni un teorema fondamentale sulle ultrapotenze.

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Summary In this paper the notion of Boolean extension of a relational structure is introduced. It is shown that it is possible to generalize in a natural way the notions of direct power, and ultrapower of a relational structure. A foundamental theorem on ultrapowers is extended to ?ultraextensions?.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo di Ricerca n. 37 del Consiglio Nazionale delle Ricerche per l’anno 1968–69.     

On the stability of couette-benard M.H.D. flows of binary mixtures

Summary We study a class of Couette-Benard M.H.D. flows of a binary mixture in a plane slant layer. By using the theory of semigroups of linear bounded transformations, we prove that the initial-value problem forfinite perturbations has one and only one solution belonging to a suitable Banach space. Finally, we show the inconditionated asymptotical stability in norm of such a solution.

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Sunto Si studia una classe di moti magnetoidrodinamici alla Couette-Benard di una miscela fluida binaria in uno strato piano obliquo e, con le tecniche della teoria dei semigruppi di trasformazioni lineari limitate, si dimostra, in un opportuno spazio di Banach, l’esistenza e l’unicità della soluzione del problema di evoluzione per perturbazionifinite e l’incondizionata stabilità asintotica in norma di tali moti.

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Entrata in Redazione il 19 Ottobre 1974.

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Work performed under the auspices of the National Research Council (C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

A two phase Stefan problem with flux boundary conditions

We studied a two phase Stefan problem in a infinite plane slab, when the thermal fluxes are assigned on the two limiting planes. We proved existence and uniqueness of the solution upon minimal smoothness assumptions upon the initial and boundary data, and we demonstrated the continuous and monotone dependence of the solution on the data. In sec. 5 we studied in which cases one of the two phases disappears and the asymptotic behavior in the cases in which the two phases exist for all time.

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Riassunto Si studia un problema di Stefan a due fasi in uno strato piano indefinito quando si suppongono assegnati i flussi termici sui piani che delimitano lo strato stesso. Viene dimostrata l’esistenza e l’unicità della soluzione con ipotesi assai generali sui dati iniziali ed al contorno del problema, nonchè la dipendenza continua e monotona della soluzione da tali dati. Si esaminano infine i casi in cui una delle due fasi può sparire ed il comportamento asintotico in caso di permanenza delle due fasi.

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The research was supported in part by the National Science Foundation contract G1 15724 and the NATO Senior Fellowship program.

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Entrata in Redazione il 14 settembre 1970.     

Sulla monogeneità negli spazi di Banach

Summary In assenza di struttura moltiplicativa, la definizione di funzione monogena viene data in questo lavoro basandosi sulla considerazione di una coppia di operatori lineari (uno dei quali coincidente ad es. col differenziale) che mandano 0-forme in 1-forme. Si stabiliscono risultati sull’esistenza delle derivate successive, delle primitive e un teorema integrale di tipo Cauchy. L’equivalenza fra il problema della primitiva e il problema della derivata appare qui dipendere dalla permutabilità dei ruoli degli operatori della coppia.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Programma di Ricerca n. 9 del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 25 giugno 1970.     

Asymptotic behavior of nonoscillatory solutions of nonlinear differential equations with forcing term

Sunto In questo lavoro si studiano il comportamento asintotico delle soluzioni non oscillatorie di una classe di equazioni differenziali di ordine superiore al secondo. In particolare, si dánno condizioni sufficienti perchè tutte le soluzioni, non oscillatorie e limitate, dell’equazione considerata, abbiano per limite lo zero quando la variabile indipendente tende all’infinito.

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Entrata in Redazione il 6 febbraio 1976.     

The internal sphere condition and the capillary problem

Sunto In un importante lavoro [1], M. Emmer ha dimostrato l’esistenza di superfici di equilibrio capillari, definite in domini con frontiera Lipschitziana, quando la costante di Lipschitz L e l’angolo di contatto γ soddisfano la relazione L<|tg γ|. Questa condizione, che è noto essere necessaria in generale, può essere troppo restrittiva in alcuni casi particolari. In questo lavoro la condizione di Emmer è sostituita da una ? condizione di sfera interna ?, che conduce ad una larga classe di domini che non rientrano nel risultato di Emmer. L’esiestenza di una soluzione è dimostrata anche nel caso γ=0, che non può essere trattato con il metodo di Emmer.

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Entrata in Redazione il 26 agosto 1975.

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This work was initiated while the former author was at Universit?t Bonn and at Università di Genova, and the latter author at Université de Paris VI as a Fellow of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.     

Approximation of set valued functions and fixed point theorems

Sommario Il risultato fondamentale della Nota è il seguente: siaΓ una multiapplicazione semicontinua superiormente da uno spazio metrico compatto S ad uno spazio normato Y, tale cheΓ(x) è convesso. Allora per ogniɛ>0 esiste una applicazione continua f: :S → Y tale che d*(F, G)<ɛ, ove F e G sono i grafici di f eΓ e d*(F, G)=sup {d(y, G), y ∈ F}. Come corollari di questo teorema vengono dimostrati il teorema di punto fisso di Kakutani in uno spazio di Banach ed una sua generalizzazione, che non richiede la compattezza diΓ(x). Viene poi presentato un teorema di punto fisso con condizioni di convessità più deboli di quello di Kakutani.

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Entrata in Redazione il 14 gennaio 1969.

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This work was performed while the author held the position of Faculty Research Assistant at the University of Maryland and was partially supported by the National Science Foundation under Grant GP-7846.     

Sulla riducibilità delle curve algebriche sghembe ottenute per «piccola variazione» sopra superficie algebriche irriducibili

Riassunto In questa Nota viene data una condizione per stabilire se, partendo da una curva algebrica sghemba riducibile situata sopra una superficie algebrica irriducibile di ordine qualunque ed operando per ?piccola variazione? sulla superficie stessa, sia possibile ottenere una curva algebrica sghemba irriducibile o, se irriducibile, abbia a contenere una o più componenti della curva data.

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Résumé On donne une condition pour vérifier s’il est possible, à partir d’une courbe algébrique gauche réductible placée sur une surface algébrique irréductible d’ordre quelconque et en opérant par ?petite variation? sur la même surface, d’obtenir une courbe algébrique gauche, irréductible ou, si réductible, contenant une ou plusieurs composantes de la courbe donnée.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo di ricerca n. 26 del Comitato Nazionale per la Matematica del C.N.R. per l’anno accademico 1964–65.     

OnT-accretive operators

Sunto Sono date condizioni su alcuni operatori differenziali che assicurano la T-accretivita negli spazi L^v.

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Entrata in Redazione il 3 settembre 1971.

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Durante lo svolgimento di questo lavoro, l’autore ha usufruito di una borsa di studio presso l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del C.N.R., Roma.     

Un risultato relativo a disequazioni variazionali d’evoluzione per operatori del primo ordine int con termini di ritardo

Résumé On donne en utilisant la méthode de pénalisation un théorème d’existence et d’unicité de la solution des inequations variationelles d’évolution pour les opérateurs du 1. er ordre en t à argument retardé.

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Lavoro eseguito in parte mentre l’autore fruiva di una Borsa del C.N.R. presso l’Università di Parigi e in parte presso il Laboratorio di Analisi Numerica del C.N.R. in Pavia.

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Entrata in Redazione il 12 novembre 1970.     

Gibb's variational principles for the equilibrium of continuous systems with an interface

A mathematical formulation of the Gibbs variational principle is supplied for the equilibrium of a system of to fluids with an interface adsorbing or not and permeable or not. These properties of the interface are represented by suitable constraints for the admissible variations.

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Sunto Viene fornita una rigorosa formulazione del principio variazionale di Gibbs per l'equilibrio di un sistema di due fluidi con un'interfaccia assorbente o non ed impermeabile o non. Dette proprietà dell'interfaccia sono tradotte da opportuni vincoli per le variazioni ammissibili.

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Work partially supported by G.N.F.M. of the Italian C.N.R.     

An initial-boundary value problem with mixed lateral conditions for heat equation

Sunto Viene studiato un problema con condizioni laterali miste per l'equazione del calore, nel caso in cui la ? superficie di separazione ? abbia un punto caratteristico. Viene dato un teorema di esistenza e di unicità in spazi con peso a regolarità variabile.

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Entrata in Redazione l'8 marzo 1978.

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Partially supported by Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Bologna, Bologna, Italy.     

Stability of contact discontinuities for the nonisentropic Euler equations

We study the stability of contact discontinuities for the nonisentropic Euler equations in two or three space dimensions. A simple criterion predicting neutral stability or violent instability is given.

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Sunto Si studia la stabilità delle discontinuità di contatto per le equazioni di Eulero non isentropiche in dimensione di spazio 2 e 3. Viene presentato un criterio semplice per la stabilità neutrale e l’instabilità violenta.