浅谈数学归纳法的教学

数学归纳法是数学中一种重要的证题方法,是培养与发展学生逻辑思维能力的好题材。从教学的实践来看,学生在运用这一方法证明问题时,感到困难的往往是实现第二步“P(k)真→P(K+1)真”的证明。而第二步关键在于怎样合理的运用归纳假设。下面谈谈个人几点不成熟的做法。一、讲清从“P(k)到P(k+1)”表达式项(因式)数的变化运用数学归纳法证明恒等式(或不等式)时,     

数学归纳法第二步证明“从n＝k到n＝k＋1”过渡的常用技巧

数学归纳法第二步证明“从ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ＋１”过渡的常用技巧陈世安（吉林市教育学院１３２０１１）数学归纳法，无论是第一归纳法还是第二归纳法，都存在着一个“假设ｎ＝ｋ（或）时命题成立，证明ｎ＝ｋ＋１时命题也成立”的问题，能否顺利地实现过渡，恰恰是数学归纳...     

数学归纳法的求解策略

数学归纳法是数学中的重要思想和方法 ,在历年的高考和各级竞赛中经常出现 ,它不但是解决大量与自然数有关的问题的强有力的方法 ,更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程 .它的两个步骤看似呆板 ,其实在证明时不但需要高超的技巧 ,而且还需要辩证思维 .本文就数学归纳法的常见求解策略作一些简单的探讨 .1　 兼顾两头 ,实现过渡运用数学归纳法证明问题时 ,要想从 n=k到 n =k 1顺利实施归纳过渡 ,关键在于通过对问题的具体分析、兼顾两头 ,寻找 p(k)与 p(k 1)的“交接口”,才能有效地利用归纳假设 ,作出巧妙的安排 ,寻找突破 ,做到…     

教案一则

课题:数学归纳法的应用举例之三——解决与自然数有关的几何问题教学目的:1.使学生学会“综合运用不完全归纳法和数学归纳法来解决与自然数有关的问题”的方法,能较好地运用这一方法解决有关的几何问题。 2.培养学生观察问题、探寻规律、归纳结论的抽象概括能力和几何证明中的数学语言表述能力。教学重、难点:从n=k时命题成立到n=k 1时命题也成立的证明叙述。教学用具:投影仪和教学图片。教学过程: 一、复习导入: 请学生口述使用数学归纳法证明与自然数有关的命题的步骤,随之投影显示这一步骤。强调:(1)证明中二步缺一不可;(2)从n=     

关于“n=k+1命题也真”的证明

数学归纳法是以归纳公理——“如果某个命题A(n):(1)当n=1时(真),(2)从假设n~(-k)此命题为真,得出n取下一个值即n=k+1     

数学归纳法选择题

1.欲用数学归纳法的原理到渐2’>。’,,的第一个取值应当是() (A)大于l而小于10的某个整数; (B)大于10的某个整数; (C)10: (D)原不等式不能对某个。值以后的所有自份数成立. 2.当我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数,的命题时,在由“,。k时论断成立’。‘月二k十1时论断也成立.的过程中,() (人)必须运用归纳假设; (B)可以部分地运用归纳假设; (C)可以不用归纳假设; (D)卜应当视情况灵活处理.3.用数学归纳法证明:共十一共十.” 月十l月十乙 一l一> 月十月变化是(-!3~~J.,..一一~~一、‘一不二以住甲,K,尤十I俐小即AZ仁边倒石,(A)(B…     

关于归纳假设的一例

用数学归纳法证明问题时,关键一步是利用归纳假设,从n=k推到n=k 1时的情形.这一步有时很容易入手.例如归纳假设1 2     

搭建“递推关系”实现数学归纳法推理过渡

数学归纳法是证明与自然序列有关问题的重要方法,在处理某些特殊类型的问题时,需要搭建合适的“递推关系”,以便顺利实现从n=k到n=k+1的归纳递推,本文结合具体实例进行说明.     

关于空间(k1,k2)-拟正则映射

本文考虑空间 (k1,k2 ) -拟正则映射的 Lp(p >n)可积性 ,以及当 k1→ 1 ,k2 → 0时 p的渐近行为 .     

也谈数学归纳法在解题中的应用

<正>1引言对于一类与正整数有关的命题的论证问题,当其他方法无法证明时,往往想到数学归纳法.用数学归纳法证明问题分三个步骤：第一步先证明当n取初始值n₀(n₀∈N*)时命题成立.这是第二步的前提,不可省去,初始值n₀视题目而定,不一定是1.第二步先假设当n=k(k∈N^*,k≥n₀)时命题成立,在此基础上,推证当n=k+1时命题也成立.这一步骤是数学归纳法最关键的步骤,要求对有关表达式进行恰当变形,而且在证明当n=k+1时命题成立时,     

恒等式“A=2kA/(2k)”与一类不等式的证明

本文用数学归纳法证明几个平均数不等式、凸函数不等式。在证明过程中。总是运用恒等式A=2kA/2k,实现了从k到k 1的传递。本文可作为中学生的一次数学课外讲座。 定理1 设x_1,x_2,…,x_n是n个正实数,记     

用函数单调性解与自然数有关的问题

与自然数有关的命题,一般可用数学归纳法解决,但数学归纳法书写必须规范到位,有一定的书写量,有时从P(k)(?)P(k 1)也难以找到突破口.下面例析巧用函数的单调性解决与自然数n有关的数学问题. 例1 已知x>-1,且z≠0,n∈N,n≥2,     

利用Fibonacci数列解题

Fibonacci数列本身就有很大的魅力 ,吸引着许多数学爱好者去学习和研究 .这里我们将视角定位在如何利用该数列去解决一些数学竞赛中的问题 .Fibonacci数列是指由下面的递推式定义的数列 {Fn}:F0 =F1 =1,Fn + 2 =Fn+ 1 +Fn ,n =0 ,1,2 ,…可以利用特征方程的方法求出其通项公式 ,也可以用数学归纳法证出其许许多多的性质 .但在这里我们更多的是用到其本身 ,而不是它的性质 .例 1(第 5 2届波兰数学竞赛试题 )　考虑数列 {xn}:x1 =a ,x2 =b ,xn + 2 =xn + 1 +xn,n =1,2 ,… ,这里a ,b∈R .对任意c∈R ,如果存在k ,l∈N ,k≠l ,使得xk =xl=…     

浅议数学归纳法及教学中易出现的问题

皮亚诺公理的第 5条性质 :任意一个正整数集合 ,如果包含 1 ,并且假设包含x ,也一定包含它的后继x + 1 ,那么这个集合包含所有的正整数 .这条性质就是数学归纳法的依据 ,通常称为数学归纳法原理 .这一原理可以用数学符号来表示 :数学归纳法原理 :如果S是正整数集合N+的一个子集 ,且满足 :① 1∈S ;　　②若k∈S ,则k + 1∈S ,那么S =N+.根据数学归纳法原理 ,可以得到数学归纳法 :设 p(n)是一列与正整数有关的数学命题 ,如果满足 :①p(n)当n =n0 (n0 是使 p(n)正确的最小正整数 )时正确 ,即 p(n0 )正确 ;②在假设 p(k) (k≥n0 ,k∈N+)正…     

从k到k 1思路受阻分析及转化策略

用数学归纳法证明不等式，特别是数列不等式，是一个行之有效的方法，也是中学数学中的一个基本方法，近些年高考试题中几次出现这类问题．运用这种方法时，往往有好多学生在证ｋ到（ｋ＋１）的过程中，卡了壳、断了思路，这是一种普遍现象．现就笔者在讲授这部分内容时学生暴露的问题，分析一下思路受阻的几种原因及转化策略．１　从ｋ到（ｋ＋１）添项不足在从ｋ到（ｋ＋１）的证明过程中，如果分析不透命题结构，就会造成添项不足，证明夭折．例１　已知Ｓｎ＝１＋１２＋１３＋…＋１ｎ，（ｎ∈Ｎ）．用数学归纳法证明Ｓ２ｎ＞１＋ｎ２　…     

关于数学归纳法的一个问题的讨论——北京东城区高二年级数学备课纪实

(一) 数学归纳法是中学数学中的一个重要的证明方法。一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明。证明的步聚分为两步: (1) 验证当n取第一个值n_0时,命题P(n_0)成立; (2) 假设当n=k(k∈N,k≥n_0)时,命题P     

浅议利用数学归纳法解题

浅议利用数学归纳法解题孟小龙在数学中，经常会遇到关于任意正整数ｎ的一些命题，这些命题其实是由无限个ｎ取具体正整数时的命题组成的．我们当然不能去逐一验证．这时，用数学归纳法往往十分奏效．数学归纳法是由数学中归纳公理得来的，它的原理如下：要证明一个和自然...     

数学归纳法

数学归纳法是论证与自然数n有关的命题的一种常用思想方法,应用范围极宽,它在数学竞赛中占有特殊地位。如何合理、灵活地运用数学归纳法?这是下面所要谈及的主要问题。一、因势利导——善“退”完成数学归纳法,两个基本步骤缺一不可。比较而言,使我们陷入困境的多数归于递推步然而纵观递推步完成的百般变化,归结起来,首要的是善于因势利导,由“k 1”退到“k”。例1 证明:对任何非空的有限集合,都可以把它的所有子集排成一列,使得除第一个外,每一个子集合都可以由它前面的那个子集增加或减少一个元     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

改进课堂教学的尝试

新课程标准强调“以人的发展为本”的教学思想,对改进课堂教学提出了新的要求,为此我进行了一些尝试.一、加强数学与现实联系,激发学生学习兴趣要培养学生的数学学习兴趣,就要善于从现实生活中挖掘素材,不断创设适合学生学习的问题情境,尽量从现实生活中的事例出发组织课堂教学.例如,在“数学归纳法”的教学中,利用了多米诺骨牌来引入数学归纳法的两个步骤.先用多媒体插入多米诺骨牌倒下的过程.后提出问题:怎样摆放多米诺骨牌才能使骨牌全部倒下?学生回答:前一块倒下能使后一块倒下.教师说:即第k(k∈N)块倒下,能保证第k+1块倒下.教师问:全…