数形结合思想在解题中的应用

数和形是研究数学的两个侧面,利用数形结合常常可以使研究的问题化难为易,正如华罗庚教授所说的那样"数无形,少有观,形无数,难入微",而函数则是体现数形结合思想的最突出代表,在数学中应加强数形结合的渗透.一、概念数学中,以形示数,渗透数形结合思想数学中的概念往往反映一定的数量关系,这种数量关系常用文字、符号表示,而图形也是一种语言,而且是更简便、更直观的图像语言,运用"图像语言"对"文字语言"加以解释,一方面渗透数形结合的思想,另一方面又能帮助学生更好的理解概念,例如:二次函数的顶点和最值是两个密切联系的概念,在教学二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质时,利用图像作如下描述:     

小图形、大智慧：数形结合思想在小学数学解题中的应用

数形结合是小学数学学习中最为常见的一种思想.鉴于数学学科兼具“数”“形”双重特点,以及小学生的认知发展特点,将代数思想和几何思想有机融合起来,充分发挥图形的辅助价值,精准审题、理清数量关系、找到解题的“突破口”等,有效提升小学生的数学解题能力.本论文以此切入,结合一定的例题分析,对数形结合思想在小学数学解题中的具体应用进行了详细地探究,具备极强的参考价值.     

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想方法作为初中阶段十分重要的数学方法,将代数思想与图形分析思想完美结合,通过对代数关系以及图形性质的把控来完成数学题目的巧妙解答,是学生在数学解题应用中应该着重培养的数学思想.培养数形结合思想,需要学生掌握以“数”辅“形”、以“形”助“数”以及“数”“形”互助的解题技巧,在遇到代数问题时多考虑图形辅助,在遇到几何问题时多思考其中的代数关系,将数形结合思想熟练运用到日常的数学学习,提高学习质量.     

数形互助在函数问题中的应用

著名的数学家华罗庚说过:"数缺形时少直觉,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事非."寥寥数语把数形结合说得淋漓尽致.数形结合是数学解题中常用一种数学思想方法,可以使抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题中的本质.数学教学不仅是数学知识的教学,更重要的是数学思想方法的教学,教学中教师应注重对学生的观察、操作、分析思维能力的培养,更应不断地渗透数学思想方法,将此作为教学的核心,     

不等式证明中“数与形的深层对话”

数形结合是重要的数学思想方法,它勾连起代数和几何之间的内在联系,将抽象的代数关系用直观的几何形式表达出来,从而便捷地解决问题．这一点在要求颇高的不等式证明中也有所体现．下面结合具体问题来谈一谈不等式证明中该如何实现“数与形的深层对话”．     

感受有理数中的思想方法

<正>数学思想方法是数学学科的精髓,它蕴含在数学知识中,只有领悟了数学思想方法,才能真正体会数学的奥妙,才能触摸到数学的灵魂.掌握数学思想方法,有助于学生形成数学素养,在学习“有理数”时,主要有下面一些数学思想方法.1 数形结合思想借助数形结合思想,能达到形象地理解、认识、处理代数问题的目的.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学中,数与形是我们主要的研究对象,     

例谈初中数学中的“数形结合”

数形结合思想是初中数学学习中的最基本的方法,它贯穿于初中数学的始终,渗透于每个章节.在初中数学中存在着大量的数式问题可以通过隐含的图形的信息直观揭示出来,即"形帮数";图形的特征隐含着数的因素,又能巧妙转化成数的规律与数值计算,寻找处理形的方法,即"数促形".数形结合,互助互用,图形受阻,以数为补,数式受阻,以形相助.根据笔者多年的教学实践,总结出数形结合思想在以下四个方面的应用,望得到同仁们的斧正与指教.     

巧用数形结合思想的解题探究

数形结合思想在新课程背景下,有其广阔的应用空间.数与形是数学中两个最基本的研究对象.每一个形都蕴涵着一定的数量关系.而数又常常可以通过图形做出直观的描述和反映.“数无形少直观,形无数难八微”,数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来.这主要包括两方面的内容:一是“以形助数”.即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化,从而获得解题方法:二是“用数解形”,即将几何图形的问题经过数量化描述.借助代数计算获得解题方法.     

从一幅“三基图”谈角平分线和平行线

数形结合思想是解决数学问题时常用的方法,通常是将数和形有效结合起来,有时也将数量关系和图形性质结合起来,从而达到相互转化、降低解题难度和将问题具体化的目的.根据角平分线、平行线知识的结合命制的初中数学问题,基本上能利用数形结合思想分析和解决.这类问题在中考中出现的概率非常高,且是以课本上的“三基图”为基础的变式.下面对此类问题的考查方式和解决方法进行分析和说明,以期帮助学生进行更系统的复习.     

以形助数,简解代数题

数形结合是借助图形的性质来研究数量关系,或者借助数量关系来研究图形的性质.即利用"数"和"形"的相互转化来解决数学问题的方法,它具有直观性,灵活性和形象性等特点.数形结合贵在结合,只有把数与形完美结合,才能使数与形各展其长,相辅相成,做到形中觅数,数中觅形,使逻辑思维与形象思维完美地统一起来,从而使复杂问题简单化,抽象问题具体化,使问题易于解决.……     

巧用数形思想 妙解数学问题

数学思想方法是数学的精髓,是学生解决数学问题的手段,对它的掌握情况也体现了学生数学能力优劣,从而反映学生学习数学的能力.为此,我们教师平时要引导学生梳理、总结数学思想方法,特别是对数形结合思想的掌握尤为重要,要让学生充分认识其本质特征,善于灵活运用数形结合思想,巧妙地解决问题.下面,笔者结合多年解题教学经验,谈几点巧用数形思想、妙解数学问题的一些认识,以供读者参考.     

用数形结合思想解高考题

数形结合就是根据数与形之间的对应关系,通过抽象思维与形象思维的结合来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想从"数""形"两个方面对数学问题进行分析,既注重"数"的严谨性,又充分发挥"形"的直观性."以形助数,以数解形",使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的,正如华罗庚教授所说:"数缺形时少直观,形少数时难入微,二者结合百般好,隔离分家万事休".数形结合思想是高中数学中非常重要的数学思想,也是高考的热点和重点内容.     

浅谈2011年高考题中出现的数形结合

数形结合思想是一种很重要的数学思想.数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面,把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数’”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来.在使用的过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识,因此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系;在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系.特别是集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点,就要用数形结合形象化,高考在选择题、填空题侧重考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证的严密性,突出形到数的转化.下面谈谈数形结合思想在2011年高考中的体现.     

数形结合思想引领下的“向量数乘运算”教学设计

数学思想是对数学对象的本质认识,对数学活动具有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想．“授之以鱼,不如授之以渔”,通过数学思想的培养,数学的能力才会有一个大幅度的提高,才能使学生受益终身．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过数形转换,“数因形而直观,形因数而入微”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合．     

数形结合思想热点应用举例

所谓数形结合思想,简而言之就是代数问题几何化、几何问题代数化,充分利用图形的直观性和代数推理的合理性、严密性研究问题.数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合是历届高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要方面,其方法的关键是根据题设条件和探求目标,联想或构造出一个恰当的图形,利用图形探求解题途径.对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答题要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图像、方程表示的曲线、集合中的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何中的力程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.下面举例说明数形结合思想的热点应用.     

初中数学数形结合思想教学案例分析

数与形是数学的两大基本元素，初中数学教学与学习不能脱离数与形而独立存在.在数学教学中积极应用数形结合思想，可使某些抽象的数学问题变得更加直观、生动，进而促使抽象思维转化成形象思维，帮助学生更好把握数学问题本质.本文中从实际出发，立足实际教学内容，从有理数、不等式、函数、几何四个方面分析了初中数学数形结合思想的具体应用，意在确保数形结合思想能够得到有效落实，学生核心素养可以得到有效提升.     

利用数形结合过程中的易误警示——作图不准致误

数形结合思想是中学数学重要的思想方法之一，可以通过“以形助数”、“以数赋形”使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，体现了转化的思想、化归的思想，有助于把握数学问题的本质．但是，在利用数形结合思想过程中，如果作图不准确或数与形不吻合，则会导致致命的错误．这学期我们已经进入高三的总复习，近阶段主要复习的是函数及导数的内容，     

以“形”解“数”

“数”与“形”是数学殿堂里密不可分的两大柱石,“数缺形时少直观、形少数时难入微”.“数”与“形”的互相转化是中学数学学习与研究运用广泛、意义深刻的一种思维方法.若某些代数问题有明显的几何意义,则转化为几何图形,适当地运用几何方法,以”形”研究“数”,会使问题直观形象,解法简捷灵活.现结合实例说明:     

解题教学中“数形结合思想”培养的尝试与思考--高三函数专题复习实践研究

把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来。在使用过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却往往给学生的解题带来很大的困扰。因此,数形结合思想的培养更需偏重于由“数”到“形”转化的训练。     

巧设问题情境,构造高效课堂——以“指数函数的图象和性质”为例

问题是数学的心脏,也是学生思维的起点,在进行教学设计时,教师应认真研读教材,把握学情,精心创设符合学生“最近发展区”的问题情境,引导学生自觉、主动地融入数学课堂,使学生在“教”与“学”的互动中,自主探索、构建知识,提升数学能力,培养数学思想和数学核心素养.本文呈现了“指数函数的图象和性质”一课的教学设计,通过一系列导向性问题情境,让学生经历由特殊到一般的探究过程,同时运用描点法和信息技术绘图,渗透由特殊到一般、分类讨论和数形结合的思想,培养学生分析归纳问题的能力和直观想象的数学核心素养,从而构建高效的数学课堂.