学会运用极端思想方法

<正>所谓极端思想方法,是指在解决一个问题时,以一种极端的视角审视问题,通过挖掘内隐在问题之中的极端数量关系、极端位置性质、问题反向情形等来求解问题方法.本文拟结合具体实例,谈谈这种极端思想方法在解题中的运用,以资同学们参考.一、析取极端数值解决一些数学问题的关键,有时只需析取其中的某个极端数值.如解决某些涉及多元的数学问题,或是恒成立、存在等一类问题,常常     

论解题教学中的猜一猜

美国著名的数学家、教育家波利亚将推理归纳为论证推理与合情推理两种.论证推理是可靠的,无可置辩的和终决的,这种推理精确严密;合情推理是冒风险的,有争议的和暂时的,猜想是合情推理的核心成分,缺少严格的论证过程.这两种推理从不同角度刻划了数学的严肃与活泼的两张面孔,不能彼此割裂,而是相互依存的.对于数学结论的发现,解题思路的突破,猜想显得很重要.波利亚说得好:"论证推理本身并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识.     

现实生活中数学应用题一束

原文刊登于1993年第7期P3一7页．“素质教育”的口号已经提出好几年了．但是,究竟什么是“数学素质”还有不同理解．有些同志认为,“数学素质”就是培养逻辑思维能力,训练严格推理的习惯．我认为这种提法不够全面．数学素质必须包括应用,特别是能够用数学的立场、观点和方法去解决日常生活中出现的一些问题．“精通的目的全在于应用”,这是千真万确的真理．我也常常听到一些同志的反驳,认为“强调应用”是实用主义,短视行为,数学教育的价值在于思维训练,能用数学解决数学问题也是应用,何必非用到日常生活中去呢？这种看法也是似…     

几何中的力学思想

从历史上看 ,数学理论经常在后来的应用科学中找到了意想不到的应用 .而本文则尝试将应用科学 (力学 )应用于古老的数学——欧几里德几何之中 .首先 ,我们来看一个“力学思想”的例子 :似乎很难用纯粹数学来做类似的推理 .问题　在一个凸多面体 (凸多边形 )中 ,是否存在某个点     

合情推理 变式化归——“三角形相似的判定”(第一课时)的教学设计

数学问题解决的一条基本思路是“将未知问题化为已知问题 ,将复杂问题化为简单问题”(弗里德曼 ) .化归推理是一种重要的合情推理 ,它包括猜想、类比、限定、推广、分解与综合等思维过程 .化归的关键是发现合情推理的联系 ,而这种联系的发现是建立一些过程性的变式基础上的 ,所以我们的数学教学应该通过对问题的多层次的变式构造 ,使学生对问题解决过程及问题的结构有一个清晰的认识 ,以提高问题的解决能力 .而新的课程标准也提出 :“让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程 ,发展他们合情推理能力…”.基于以上观点 ,我对《三角形…     

辨析两个常用概念

数学以其严谨性著称于世,而严谨性立足于概念的明确性和推理的严格性.但是,自20世纪七、八十年代以来,在我国数学文献中,出现两个令人困惑的概念:“完全平方数”和“等号成立”,像流感一样铺天盖地,挥之不去.值得庆幸的是好在还没有出现在中学课本里.现对此加以辨析.     

数学——不仅仅需要逻辑

每一个初中生从学习平面几何那一天开始就不断地接受逻辑上的严密性的熏陶,久而久之,学生们便养成了严格地按照逻辑原理思考数学问题的习惯.甚至在公众当中也常常把思维清晰、表达有条理的人戏称为"有数学脑瓜".这些事实显然可以说明数学教育的重要性,也是数学教育工作者长期努力的结果.笔者在本文中将讨论另一方面的问题,即我们是否应该同时告诉学生们,数学不仅仅需要逻辑.     

加强学生思维批判性品质的培养

现代数学教学论认为,数学活动的核心是数学思维活动.思维的深刻性、广阔性、灵活性、目的性、敏捷性和批判性都是很重要的思维品质.然而,当前学生数学思维的批判品质严重不足,因此,在数学教学中必须加强学生思维批判性品质的培养.一、培养学生数学思维批判性品质的紧迫性思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的思维品质.在教学过程中,学生思维的批判性表现为:愿意进行各种方式的检验,检验待解的问题和已经得到的结果,检验归纳、分析和直觉的推理过程;善于找出和改正自已的错误,重新计算和思考;善于发现知…     

谈数学教育的特殊性——兼谈如何处理数学与教育学的关系

在很多人看来,数学教育当然属于教育学的范围,而且很多人(包括一些决策者)也就是这样处理数学与教育学的关系.这种机械的看法实际上是想当然或望文生义.数学教育是否可以纳入教育学的范围,当然只能具体问题具体分析,看现行教育学体系是否包含了数学教育理论.     

也谈中学数学中函数值域的问题--与陈寿禄、徐旭二同志商榷

此文是对《数学通报》2 0 0 0年第 10期中一文提出不同意见 ,我们认为这对中学教学中如何掌握推理的严谨性等问题的讨论是有益的 .但我们认为更值得注意的问题是 :1 作为教师应该区别哪些解法是 (逻辑 )不严格 ,哪些是犯逻辑错误 ?2 什么情况下允许学生利用直观作一些不严格的逻辑推理 ?需要注意 ,在任何情况下犯逻辑错误的毛病是不允许的 .3 在课堂教学 ,做习题时怎样掌握严谨性和量力性的关系 ?     

利用Flash变式图形 培养学生猜想能力

猜想是对公元蜮问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳,依据已有的材料作出符合一定经验与事实的推测性和想象思维方法.根据已知的部分事实及结果,运用某种判断、推理和思维,对某类事物的规律提出一种推测性看法,这种推测的看法就是猜想.     

最小数原理

集合理论的重要性的一个侧面是它的方法论意义.我们知道,有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不平衡的,其中的某个极端元素往往具有优于其它元素的特殊性质,能为解题提供方便,而利用这种极端性的依据之一就是本文所要介绍的有关集合的一条简单性质.最小数原理Ⅰ设M是正整数集的一个有非空子集,则M中必有最小数.最小数原理Ⅱ设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最小数.推论设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最大数.1最小数原理是解决存在性问题的利器由于最小数原理实际上是一个存在性定理,因而与大量存在性问题有着密…     

从一道例题谈数学思维能力的培养

数学家G·波利亚在<怎样解题>中说过:数学教学的目的在于培养学生的思维能力和思维品质. 　　数学思维具有如下特点:变通性,即根据题设的相关知识,提出灵活设想和解题方案;反思性,即提出独特见解,检查思维过程,不盲从、不轻信;严密性,即考察问题严格、准确,运算和推理精确无误;开放性,即对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法.……     

利用数列学习透析合情推理与演绎推理

推理是人们思维活动的过程,人们在日常活动和科学研究中经常使用两种推理——合情推理和演绎推理.合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,主要包括归纳推理和类比推理;演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,具体体现在直接证明和间接证明等载体中.合情推理与演绎推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的两种重要思维形式,     

教好数学的一个重要视角——理解推理论证能力

1 引言 关于推理论证能力要求的问题,在历次数学课程改革中,都得到改革者的格外关注,正在进行中的新课程改革也不例外.如义务教育阶段数学新课程"在现行教学大纲基础上加强了对合情推理的要求"[1],高中数学新课程则把推理论证能力确定为一项基本能力.[2]推理论证,尤其是数学证明,在数学课程中能够引起如此关注,和它在数学中的地位分不开.     

深化分析培养能力

高中数学教学,这些年一直在提倡培养和发展学生的思维能力.要真正做到这一点,关键是教师自己对待有关数学问题,要静下心来理性思考,深化分析,认真推敲,领悟数学问题的本质;对推理背后的逻辑依据和思维依据要进行梳理和总结,也就是要把推理过程中所蕴含的道理彻底弄清.然后在课堂上把自己的思考过程进行充分展示,把思维成果与学生分享,让学生从中学到分析问题、解决问题的方法和经验,获得思维能力的发展.     

数学竞赛中的递推和猜想问题

1 尝试和猜想方法 大家知道,数学以严格的逻辑推理为主要特征,数学推理的正确性是不容置疑的.有许多数学发现令人拍案叫绝,那么它们又是怎样被发现的呢?一般来说,一个数学结论的发现,首先是发现者对某些事实作出猜测,然后再设法证明或推翻这种猜想.而这些数学发现则是通过试验或观察得到,这就是尝试和猜想的数学方法,它是数学发现的重要方法.在数学竞赛中,尝试与猜想的方法也时有体现.     

谈数学统一性问题——对工科人才的数学培养、课程设置及教材改革的探索

<正> 数学是统一的,数学的这种性质是由它的内在本质所决定的。工科数学教师了解与遵循“数学统一”的原则,不仅对工科人才数学培养,而且对高等数学的改革,都具有十分重要的作用。这是一个涉及面很广。理论层次很深的问题,就笔者的水平是很难把它说清的,但是我们想抛砖引玉。就数学统一性的一系列问题谈一点看法,文中如有不当之处.望同行指正。     

影视中的数学文化赏析——以《博士热爱的算式》为例

1引言长久以来,普通大众对于数学学科以及数学家的看法都存在一定程度的误解.在一般人眼中,数学往往是跟枯燥乏昧、机械训练以及繁琐困难联系在一起的[1][2].然而,作为文化的数学其实是十分丰富多彩的,在许多数学家心目中,数学也具有一种特殊的美感.英国著名数学家、哲学家罗素(Bertrand Russell,1872-1970)曾这样描述数学的美:它是“一种冷峻严肃的美,就像是一种雕塑.……这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰,它可以纯洁到崇高的程度,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界”[3].     

一道中考题的探究与思考

<正>中考几何压轴题是发展学生逻辑推理的良好载体,逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交