线性流形上的矩阵最佳逼近

令Ｓ＝｛Ａ∈Ｒｎ×ｍ｜ｆ１（Ａ）＝‖ＡＸ１－Ｚ１‖２＋‖ＹＴ１Ａ－ＷＴ１‖２＝ｍｉｎ｝，其中Ｘ１∈Ｒｍ×ｋ１，Ｚ１∈Ｒｎ×ｋ１，Ｙ１∈Ｒｎ×１１和Ｗ１∈Ｒｍ×１１均为给定的矩阵，‖·‖是Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数。本文考虑如下问题：问题Ⅰ给定Ｘ２∈Ｒｍ×ｋ２，Ｚ２∈Ｒｎ×ｋ２，Ｙ２∈Ｒｎ×ｌ２，Ｗ２∈Ｒｍ×ｌ２，求Ａ∈Ｓ，使得ｆ２（Ａ）＝‖ＡＸ２－Ｚ２‖２＋‖ＹＴ２Ａ－ＷＴ２‖２＝ｍｉｎ．问题Ⅱ给定Ａ∈Ｒｎ×ｍ，求Ａ∈ＳＡ，使得‖Ａ－Ａ‖＝ｉｎｆＡ∈ＳＡ‖Ａ－Ａ‖，其中ＳＡ是问题Ｉ的解集合。本文给出问题Ｉ解集合ＳＡ的通式和问题Ⅱ的解Ａ的表达式，提出了求解问题Ⅰ与Ⅱ的数值方法。许多文献的结果都是本文结果的特例。     

关于代数系统自同构群的一个问题

<正> 在 Birkhoff 的《格论》第二版(1948)中有一个未解决问题如下(见于该书第 ix 页,代数前言,习题10(b)):对于一切正整数 n,求定出最小可能的 f(n),使得当任一有限群 G 的元数不超过 n时,恒存在元数不超过 f(n)的代数系统 A 以 G 为自同构群.     

构造图形求sin18°

构造图形求ｓｉｎ１８°王昌元（湖北省松滋师范４３４２００）１构造如图１所示的三角形，依余弦定理易得ｃｏｓ３６°＝１—２ｘ２（１）ｃｏｓ７２°＝ｘ即２ｃｏｓ２３６°－１＝ｘ（２）由（３）得（ｘ－１）（２ｘ＋１）（４ｘ２＋２ｘ－１）＝０（４）易知，在（４...     

线性方程组解的一种简单求法

线性代数的一个最基本的方法──矩阵的初等变换。本文通过矩阵的初等列变换使线性方程组的求解方法更趋简单化，同时证明了求线性方程组的通解是其中Ｐ为ｎ×ｎ可逆矩阵，Ｑ为ｎ×１矩阵。     

一类三角求值问题浅探

一类三角求值问题浅探甘肃武威六中蔡国瑛，赵多彪一、问题的提出“求ｓｉｎ２１０°＋ｃｏｓ２４０°＋ｓｉｎ１０°ｃｏｓ４Ｕ°的值”是高中课本上的一道普通例题（《代数》（必修）上册Ｐ１９３例４），各种研究文章时有所见，但大多是探讨解法和教学价值（如文［１］...     

何谓抛物线“形状相同”

1 问题的提出 有段时间连续被老师问:何谓抛物线形状相同?如下面几例: 例1 已知二次函数y=a(x+m)2的形状和y=2x2相同,且顶点坐标为A(-2,0),求二次函数关于y轴对称的图形的解析式.(文汇出版社,08年8月版《走进新课程》九年级数学第78页第8题.该书答案(223页):y=2(x-2)2) 例2 一条抛物线与抛物线y=-x2/4有公共顶点,且形状也相同,只是开口方向相反.求此抛物线的表达式,并画图像.(华东师大2011年6月版《一课一练》第90页,该书答案(289页):y=x2/4,图略)     

求不定积分时值得注意的一个问题

求一个函数的不定积分,不论选取怎样的变量代换,均应求出被积函数定义域的每一个连续区间上的原函数族,而不能只求出某些区间上的原函数族.否则,将导致某些积分计算的不正确的结果.例如:在[1]中第255页例11,求integral dx/(x(x~2)~(1/x~2))-1),书中给出了四种解法.其第一种解法是:     

这样的球体不存在

这样的球体不存在４４５０００湖北省恩施市一中杨仁宽题目：在球内有相距９ｃｍ的两个平行截面，面积分别是２５πｃｍ２和１４４πｃｍ２，球心在截面之间，求球的面积．（北京师范大学出版社《高中数学教案》（立体几何）Ｐ１９８页第１题）此题似乎可以这样解：如图，...     

秦九韶三斜求积公式及其应用

当已知三角形的三边,求面积时,常用公式△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)来算,但也有不便之处.例如,“在△ABC中,已知a=(41)~(1/2),b=(34)~(1/2),c=5求面积”用这个公式来算,就殊感困难. 我国南宋时的大数学家秦九韶著有《数书九章》一书(1247年).在该书的第五卷中,     

线性丢番图方程的一个数值解法

线性丢番图方程的一个数值解法薛方，郑辉，范小寅（北京大学数学系１００８７１）１引言本文讨论如何求出正整系数线性丢番图方程的全部非负整数解：给定向量ａ＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），ａｉ∈Ｎ；及ｎ∈Ｎ任给，求全体可能向量Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）使得ａ·...     

具有四项的指数丢番图方程(Ⅲ)

根据定理 １,２和 ３;求任何一个方程 ａ~ｘ－ｂ~ｙ＝ｎ,ａ~ｘｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ±１＝０ 或ａ~ｘ±ｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ＝０（ｘ,ｙ,ｚ,ｗ∈≥０）的解都是很简单的,此处ａ,ｂ是适合 ２ ≤５ ａ,ｂ≤５０的互素的两个整数,ｎ是适合１≤ｎ≤８００００的整数．     

具有四项的指数丢番图方程(Ⅲ)

根据定理 １,２和 ３;求任何一个方程 ａ~ｘ－ｂ~ｙ＝ｎ,ａ~ｘｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ±１＝０ 或ａ~ｘ±ｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ＝０（ｘ,ｙ,ｚ,ｗ∈≥０）的解都是很简单的,此处ａ,ｂ是适合 ２ ≤５ ａ,ｂ≤５０的互素的两个整数,ｎ是适合１≤ｎ≤８００００的整数．     

关于二项展开式近似公式的教学建议

高中数学第三册第151页例4计算(0.991)~5的近似值(精确到0.001),给出的解法是: (0.991)~5=(1-0.009)~5=1-5×0.009+10×(0.009)~2-……根据精确度的要求,第三项以后的各项都可以删去,所以(0.991)~5≈1-0.045=0.955那么同一页的练习3求(1.009)~6的近似值(精确到0.001)可以解答如下:     

求a~n÷b的余数

求ａ~ｎ÷ｂ的余数华中师范大学数学系赵东方本文讨论下列求余数型竞赛题的解法：求ａｎ÷ｂ的余数，其中ａ、ｂ、ｎ都是自然数．记为ａ÷ｂ的余数．李少红［３］在“余数巧算”一文中，给出下列化简公式：由以上化简公式，本文假定在ａ＜ｂ的条肌”。（Ｚ）·设乙一（０?..     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）８８１求方程的一个正整数解．ｘ２ｙ３ｚ５解原方程即为即１９９４·１９９５ｎ＋１９９５ｎ＝１９９５ｎ＋１．由１９９４·１９９５－５＋１９９５－６＝１９９５－５，即１９９４．（１９９５ａ）－２＋...     

关于两类矩阵最佳逼近问题

１．引言与引理 设Ｒｍ×ｎ表示所有ｍ×ｎ阶实矩阵的集合;ＳＲｎ×ｎ是所有ｎ阶实对称矩阵的全体;ＯＲｎ×ｎ是所有ｎ阶实正交矩阵的全体;Ｉｎ是ｎ阶单位矩阵;ＡＴ是矩阵Ａ的转置;ｒａｎｋＡ表示矩阵 Ａ的秩;‖·‖是矩阵的Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数．此外,对于 　　　　,Ａ＊Ｂ表示 Ａ与 Ｂ的 Ｈａｄａｍａｒｄ积,其定义为　　　　　　　　　　　　　,现考虑如下问题： 问题 Ⅰ给定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,使得 　　　　　,求 问题Ⅱ给定 ,求 ,使得 本文运用矩阵对…     

一本美国微积分教材简介及高等数学教材改革初探

<正> 由著名数学家、美国麻省理工学院教授Gilbert Strang所著的《微积分》一书,1991年由Wellestey—Cambridge出版社出版。这是一本适用于各类大学生的基础微积分教材。全书共16章、15+655页,除了未讲付里叶级数外,其内容和我国工科高等数学的教材内容大体相同,该书颇具特色和新意,刚一出版,就为美国40多所高     

关于整数分拆的Alavi猜想的证明

Ｙ．Ａｌａｖｉ，Ｐ．Ｅｒｄｓ等人在［１］中提出猜想：设自然数α＿１，α＿２…α＿ｋ满足且，则可以划分成ｋ个互不相交子集Ｓ＿１，Ｓ＿２，···，Ｓ＿ｋ，满足．本文证明了这个猜想。     

关于实方阵的几个问题

本文讨论如下内容：１．把有关对称正定（半正定）的一些性质推广到广义正定（半正定）。２．给定ｘ∈Ｒｍ×ｍ，∧为对角阵，求ＡＸ＝ｘ∧在对称半正定矩阵类中解存在的充要条件及一般形式，并讨论了对任意给定的对称正定（半正定）矩阵Ａ，在上述解的集合中求得Ａ，使得     

矩阵方程AXB=C的通解

本文给出了矩阵方程 Ａ_（ｍ×ｎ）Ｘ_（ｎ×５）Ｂ_（ｓ×）＝Ｃ_（ｍ×ｔ）有解且有无穷解的通解表达式 Ｘ＝Ｃ~（＊＊）＋［ｋ_（１１）ξ_１~Ｔ＋…＋ｋ_（１（ｎ－ｒ））ξ_（ｎ－ｒ）~Ｔ＋……ｋ_（ｓ１）ξ_１~Ｔ＋…＋ｋ_（ｓ（ｎ－ｒ））ξ_（ｎ－ｒ）~Ｔ］ ＋［Ｐ_（１１）η_１＋…＋Ｐ_（１（ｓ－１））η_（ｓ－１）……Ｐ_（ｎ１）η_１＋…Ｐ_（ｎ（ｓ－１））η_（ｓ－１）］~Ｔ（其中ｋ_（ｉｊ）;Ｐ_（ｉｊ）为任意常数;ξ_１…,ξ_（ｎ－ｒ）;η_１…,η_（ｓ－１）分别为Ａ_（ｍ×ｎ）Ｘ_（ｎ×１）＝０;Ｘ_（１×ｓ）Ｂ_（ｓ×ｔ）＝０的一个基础解系,Ｃ~（＊＊）为ＡＸＢ＝Ｃ的一个特解）及利用矩阵初等变换求其通解的方法．