Non-linear dynamic stability of a simple floating bridge model

Summary This paper deals with a simple fluid-structure interaction problem of floating bridges under step loading with main emphasis on the non-linear dynamic stability of the structure itself after been simulated by a simple discrete mechanical model. The analysis concerns systems which under the same loading applied statically experience a limit point instability. On the basis of a theoretical discussion of the non-linear response of a single degree-of-freedom model simple conditions for an unbounded motion associated with dynamic buckling have been properly established.According to these conditions one can determine the exact dynamic buckling load without solving the strongly non-linear differential equation of motion. Such a load corresponds to that equilibrium point of the unstable (static) post-buckling path for which the total potential energy of the model becomes zero, while at the same time its second variation is negative definite. This load is also a lower bound in case that damping is included in the analysis. The foregoing conditions of static evaluation of the dynamic buckling load do not hold, in general, for limit point systems of two degres of freedom.The above theoretical predictions have been confirmed by means of numerical integration of the correspending non-linear equation of motion.

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Nichtlineare dynamische Stabilität eines einfachen Pontonbrückenmodells

Übersicht In dem Beitrag wird am Beispiel einer zweigliedrigen Pontonbrücke das Problem der nichtlinearen dynamischen Stabilität bei sprungförmiger Längsbelastung behandelt. Die Wechselwirkung Struktur—Fluid wird dabei durch eine linearisierte Rückstellkraft und eine Ersatzmasse des Fluids modelliert. Die Analysis betrifft Systeme, welche unter gleicher statischer Belastung eine Grenzwertinstabilität erfahren. Auf der Grundlage der nichtlinearen Antwort eines Modells mit einem Freiheitsgrad werden einfache Bedingungen für die unbeschränkte Bewegung verbunden mit dynamischem Knicken angegeben.Mit diesen Bedingungen kann die genaue dynamische Knicklast gefunden werden, ohne daß man die stark nichtlineare Bewegungsgleichung zu lösen hat. Diese Knicklast entspricht dem Gleichgewichtspunkt für den instabilen (statischen) Nachknickpfad, für den die potentielle Energie des Systems verschwindet, während zugleich ihre zweite Variation negativ definit ist. Diese Last ist ebenfalls eine untere Schranke für den Fall des Systems mit Dämpfung. Diese statische Ermittlung der dynamischen Knicklast kann i. allg. nicht auf ein System von zwei Freiheitsgraden übertragen werden.Die analytischen Ergebnisse wurden durch numerische Integration der zugehörigen nichtlinearen Bewegungsgleichung bestätigt.

     

Berechnungsverfahren für stochastische Fahrzeugschwingungen

Übersicht Fahrzeuge auf unebenen Fahrwegen führen Zufallsschwingungen aus, durch die Fahrkomfort und Fahrsicherheit beeinträchtigt werden können. Die Analyse solcher Fahrweg-Fahrzeug-Mensch-Systeme bedarf einer umfassenden Untersuchung der zufälligen Fahrwegunebenheiten, der nichtlinearen Fahrzeugdynamik und der menschlichen Schwingungswahrnehmung. Hierfür werden sowohl im Frequenz- als auch im Zeitbereich mathematische Modelle für diese drei Teilsysteme angegeben. Bei mehrachsigen Fahrzeugen wird dabei die Erregung in mehreren Kontaktpunkten berücksichtigt. Eventuell auftretende Nichtlinearitäten werden mit Hilfe der Statistischen Linearisierung behandelt. Die Berechnung der interessierenden stochastischen Kennwerte, d. h. der Varianzen der dynamischen Radlasten, der Fahrzeugaufbaubeschleunigungen und der menschlichen Schwingungswahrnehmung, geschieht mit der Spektraldichtemethode im Frequenzbereich oder der Kovarianzmethode im Zeitbereich. Die Gegenüberstellung der beiden Methoden ergibt Vorteile der Kovarianzmethode sowohl bei linearen als auch insbesondere bei nichtlinearen Problemen. Die dargestellten Rechenverfahren für stochastische Fahrzeugschwingungen werden anhand eines nichtlinearen Automobilmodells beispielhaft veranschaulicht.

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Summary The dynamic analysis of random vehicle vibrations and the consequences especially to human comfort requires an integrated investigation of guideway roughness, nonlinear vehicle dynamics and human response to vibration exposure. Therefore, the complete system is characterized in the frequency as well as in the time domain. Multi-axle excitation inputs are included in the vehicle dynamics. Nonlinearities are considered by statistical linearization techniques. Then, the variances of wheel load variation, car body acceleration and human perception are determined by spectral analysis in frequency domain as well as by covariance analysis in time domain. Comparing both methods the covariance analysis is favourable for linear and, particularly, for nonlinear problems. Its efficiency is illustrated by the random vibration analysis of a nonlinear automobile model.

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Herrn Professor Dr. E. Mettler zum 70. Gebrutstag gewidmet     

Flexural vibrations of fissured poroelastic plates

Summary The governing equations of flexural vibrations of thin, fluid-saturated, poroelastic plates are derived in detail. The plate material obeys the Aifantis-Beskos theory of poroelasticity with two degrees of porosity, while the plate theory employed is the one due to Kirchhoff. The dynamic response of a rectangular, simply supported, poroelastic plate with two degrees of porosity to harmonic load is obtained analytically-numerically and the effects of porosities and permeabilities on the response are studied. A comparison between the single and double porosity material models is also made. The quasi-static problem is analysed as as special case of the dynamic one.

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Biegeschwingungen geklüfteter poroelastischer Platten

Übersicht Es werden die Gleichungen, die die Biegeschwingungen von dünnen, mit Flüssigkeit gefüllten, poroelastischen Platten beschreiben, im einzelnen hergeleitet. Das Materialverhalten der Platte wird durch die Poroelastizitätstheorie von Aifandis und Beskos für Materialien mit doppelter Porosität beschrieben, während für die Platten die Kirchhoffsche Plattentheorie angewandt wird. Man erhält auf analytisch-numerischem Weg das dynamische Verhalten einer rechteckigen, einfach gestützten, poroelastischen Platte mit doppelter Porosität bezüglich einer harmonischen Belastung. Der Einfluß der Porosität und Permeabilität auf das dynamische Verhalten wird untersucht. Weiterhin werden die Modelle für Materialien mit einfacher und doppelter Porosität miteinander verglichen. Das quasi-statische Problem wird als Spezialfall des dynamischen Problems analysiert.

     

Applications of finite elements in space and time

Summary The paper initiates a major extension of the matrix displacement method concerning the analysis of dynamic phenomena in the presence of material and geometric non-linearities. In particular, elasto-plastic behaviour as well as large displacements are taken into account. An iterative procedure of solution of the nonlinear matrix equations is discussed. The application of the theory is described in detail in two examples. The first considers the simple static problem of a rectangular flat strip in a tensile test. The iterative calculation may be carried out for deformations as large as required and shows clearly the necking effect. More ambitious is the second example which demonstrates the non-linear dynamic theory on a cyclindrial deformable billet under the impact by a heavy rigid body. The momentum of the weight and the property of the billet are such that the latter will undergo large plastic deformations. If so required, it is straightforward to incorporate damping and also allow for friction forces on the contacts. The direct applicability of the technique to forging problems is evident. The solution of the dynamic phenomenon is accomplished by extending the discretisation of space also into time. In particular, the inertia forces are taken to vary over a finite time element as a third order polynomial. Exceptional accuracy is achieved by this method.

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Übersicht Dieser Beitrag stellt eine wesentliche Erweiterung der Matrizenverschiebungsmethode auf die Berechnung dynamischer Phänomene in Verbindung mit nichtlinearem Verhalten des Materials und der Geometrie dar. Insbesondere werden dabei sowohl elasto-plastische Verformungen als auch große Verschiebungen berücksichtigt. Weiterhin wird eine iterative Lösungsmethode der nichtlinearen Matrizengleichungen diskutiert. Die Anwendung der Methode wird im Einzelnen an zwei Beispielen demonstriert. Zuerst wird ein relativ einfaches statisches Problem, ein rechteckiger flacher Streifen in einen Dehnungstest, betrachtet. Hierbei wird die iterative Berechnung der Verschiebungen soweit verfolgt, wie es für den Test erforderlich ist. Es zeigt sich deutlich der Einschnüreffekt. Weitaus komplizierter ist das zweite Beispiel, wo die Theorie nichtlinearer Dynamik auf einen zylindrischen deformierbaren Bolzen unter Aufprall eines schweren starren Körpers angewendet wird. Der Impuls des Gewichts und die Eigenschaften des Bolzens sind so gewählt, daß große plastische Deformationen auftreten. Falls erforderlich, können auch Dämpfung und Reibungskräfte an den Kontaktflächen leicht berücksichtigt werden. Die direkte Anwendung der Theorie auf Schmiedeprobleme ist offenkundig. Die Lösung der dynamischen Phänomene wird durch die Erweiterung des Begriffes der Diskretisierung des Raumes auf die Zeit erzielt. Im vorliegenden Fall wird die Variation der Trägheitskraft in einem finiten Zeitelement mit einem Polynom dritter Ordnung beschrieben. Durch diese Methode wird eine außergewöhnliche Genauigkeit erreicht.

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Dedicated to Professor Dr. U. Wegner on the occasion of his 70th birthday.     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

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Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Large dynamic plastic deflection of a simply supported beam subjected to rectangular pressure pulse

Summary This paper concerns the dynamic behaviour of rigid, perfectly plastic simply supported beams with finite deflections by considering both bending moments and axial forces. In the case of rectangular pressure pulse loading, approximate rigid-plastic theoretical solutions are obtained for both medium load and high load; to this end a parabolic law between bending moment and axial force as yield condition is approximated by a circumscribing or an inscribing rectangle. The concept of Saturation Impulse is put forward for the dynamic response of rigid, perfectly plastic structures with finite deflections subjected to rectangular pressure pulse. The value of dimensionless saturation impulse for both simply supported and fully clamped beams are given.

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Große dynamische, plastische Auslenkung eines einfach gestützten Balkens unter einem rechteckigen Druckimpuls

Übersicht Dieser Artikel behandelt das dynamische Verhalten von starren, ideal-plastischen, einfach gestützten Balken mit endlichen Auslenkungen. Dabei werden sowohl Biegemomente als auch Längskräfte berücksichtigt. Für den Fall einer Last in Form eines rechteckigen Druckimpulses erhält man sowohl für mittlere als auch für hohe Last theoretische Näherungs-lösungen. Zu diesem Zweck wird eine parabolische Fließbedingung zwischen Biegemoment und Axialkraft über ein äußeres und inneres Rechteck angenähert. Der Begriff des Sättigungsimpulses wird im Zusammenhang mit der dynamischen Antwort von starren, ideal-plastischen Strukturen mit endlichen Auslenkungen auf einen rechteckigen Druckimpuls vorgestellt. Der Wert des dimensionslosen Sättigungsimpulses wird für einfach gestützte und für vollständig eingespannte Balken gegeben.

     

Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Summary A method is suggested which simplifies the investigations to the safety of buckling structures under time depending actions. The static analysis of the structure is used in order to fix the critical deformation state and hence the critical strain energy. Representing the deformation behaviour and the loading by some energetic measures an approximation for the development of the motion during the loading may be computed with less effort by using Galerkin's procedure. Representing the effect of the external actions by the energy which is induced to the structure during the loading the proof of the stability may be given by comparing this external energy to the critical strain energy.

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Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Übersicht Die zum Stabilitätsverlust von dünnen Flächentragwerken führenden Beulphänomene werden für zeitabhängige Einwirkungen an einfachen Tragwerken erläutert. Für die Untersuchung der Stabilität bei zeitabhängigen Einwirkungen wird ein Verfahren vorgestellt, das auf der Basis einer statischen Analyse skalare Energiemaße definiert, die eine zuverlässige Beurteilung der Stabilität zulassen. Die Berücksichtigung des zeitlichen Ablaufs der Verformungen infolge der vorhandenen instationären Einwirkungen erfolgt nur für wenige für den Stabilitätsverlust maßgebende Bewegungsformen. Die Trennung von räumlicher und zeitlicher Diskretisierung ermöglicht eine effektive Untersuchung beulgefährdeter Tragwerke ohne die numerisch aufwendige Integration der nichtlinearen Bewegungsgleichungen.

     

On the effective application of asynchronous excitations to nonlinear mechanical systems

Summary Ways of effectively applying asynchronous excitations to nonlinear systems are studied in spite of complexity of the system behavior caused by two excitations with asynchronous frequencies. The operation of suppressing primary resonances for vibro-machines by adding another asynchronous excitation to the main systems is shown. A new property, namely that resonant amplitudes are perfectly suppressed at some partial-frequency intervals and at one wide-frequency interval, was recognized in the systems with piecemeal linear characteristics under the action of both parametric and forcing excitations. The phenomena are different from reduction of whole resonance curves occurring in systems with continuous nonlinearity.

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Wirksame Verwendung asynchroner Erregung für nichtlineare mechanische Systeme

Übersicht Der Weg einer wirksamen Verwendung einer asynchronen Erregung für nichtlineare Systeme wird trotz der Kompliziertheit des Systemverhaltens bei zwei Erregungen mit asynchronen Frequenzen studiert. Die Unterdrückung primärer Resonanzen von Schwingungs-maschinen beim Zusatz einer asynchronen Eregung zum Hauptsystem wird gezeigt. Die neue Eigenschaft, daß die Resonanzamplituden in einigen partiellen Frequenzregionen und einen weiten Frequenzbereich perfekt unterdrückt werden, wurde für Systeme mit stückweise linearer Charakteristik und simultaner Parameter- und Fremderregung gezeigt. Die Phänomene sind verschieden von der Verringerung ganzer Resonanzkurven in kontinuierlichen nichtlinearen Systemen.

     

Über kinetische Verzweigungsprobleme elastischer Strukturen unter Stoßbelastung

Übersicht Am Beispiel stabförmiger Kontinua werden Stabilitätsprobleme elastischer Systeme unter nichtperiodischer Stoßbelastung diskutiert. Unter gewissen Voraussetzungen wird man dabei auf Stabilitätsgleichungen geführt, wie sie für Schwinger mit zeitabhängigem Grundzustand charakteristisch sind. Als Ergebnis erhält man nicht nur die typischen Instabilitäten infolge Parameterhaupt- und Kombinationsresonanz, sondern auch Phänomene, die an innere Resonanz und statisches Knicken ergänzend anknüpfen.

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Summary The example of rod-shaped continua is used in order to discuss dynamic stability problems of elastic systems subjected to non-periodic shock loading. Based on certain assumptions one will be led to stability equations, characteristic for oscillators with time-dependent fundamental state. As a result one obtains not only the typical instabilities of these systems due to parametric main or combination resonance, but also phenomena which are connected to internal resonance and purely static buckling processes.

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Herrn Professor Dr. E. Mettler zum 70. Geburtstag gewidmet     

Untersuchungen zur Dynamik von Magnetschwebefahrzeugen auf elastischen Fahrwegen

Übersicht Es werden Methoden entwickelt, mit deren Hilfe man das dynamische Verhalten von Magnetschwebefahrzeugen auf elastischen Fahrwegen untersuchen kann. Ausgehend von einer Analyse des Fahrzeugs, der Magnetstellglieder und des Fahrwegs wird in systematischer Weise das mathematische Modell des Gesamtsystems aufgebaut. Es ergeben sich lineare Zustandsgleichungen mit periodisch zeitvariablen Koeffizienten und springenden Zustandsgrößen. Sie bilden die Grundlage für die Berechnung der Stabilitätsbedingungen und der stationären Lösung sowie für eine numerische Simulation. Die Leistungsfähigkeit der Methoden wird anhand eines Beispiels demonstriert.

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Summary Methods are developed to investigate the dynamical behaviour of magnetically levitated vehicles on flexible guideways. Starting with the analysis of vehicle, suspension and guideway the mathematical model of the closed-loop system is obtained in a systematic way. The results are linear state equations with periodically time-varying coefficients and jumping states. They underlie the evaluation of stability conditions and steady-state responses as well as numerical simulation procedures. The efficiency of the methods is demonstrated by an example.

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Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Bundesministeriums für Forschung und Technologie gefördert.     

Turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen

Zusammenfassung Auf der Grundlage eines vom Verfasser in einer vorangegangenen Arbeit aufgestellten Gleichungssystem für turbulente Strömungen von Gasen stark veränderlicher Dichte wird die turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen, die zunächst durch eine Scheidewand getrennt sind und sich dann in einem Winkelraum mischen, berechnet. Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt mittels eines Iterationsformalismus. Berechnet werden die Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur für eine Reihe von Parametern der Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenz. Es resultiert, daß der Winkelraum der Mischung sich mit wachsender Temperaturdifferenz zum heißeren Strahl hin dreht. Weiterhin ergibt sich, daß der Zustrom zum Mischungsraum sich beim Überschreiten der Schwelle gleicher Impulsströmungen beider Strahlen in einen Abstrom wandelt. Der Vergleich mit vorliegenden Messungen an Heißluftstrahlen in bewegter Luft ergibt für die Temperaturverteilungen gute Übereinstimmung sowohl hinsichtlich der Mischbreite wie auch des Verhältnisses von Außen- zu Innenwinkel. Hinsichtlich der letztgenannten Charakteristik ist für die Geschwindigkeitsverteilungen befriedigende Übereinstimmung erst bei Einführung eines effektiven Düsenradius, der dem Impulsverlust der Strömung an der Düsenwandung Rechnung trägt, zu erzielen.     

Zur parametererregung des rad-schiene-systems: Berechnung der fahrzeug-fahrweg-untergrund-dynamik und experimentelle verifikation am hochgeschwindigkeitszug intercity experimental

Übersicht Die diskrete Stützung der Schiene auf Schwellen in regelmäßigem Abstand ergibt für den fahrenden Zug eine Parametererregung. Die Berechnung der parametererregten Schwingungen und der zugehörigen dynamischen Radlasten erfordert die Analyse des Gesamtsystems Fahrzeug-Fahrweg-Untergrund. Es wird eine Substrukturmethode vorgestellt, bei der Fahrzeug, Fahrweg und Untergrund jeweils mit geeigneten Methoden (Mehrkörperdynamik, Finite Elemente, Randelemente) berechnet werden. Das Verfahren wird auf eine Situation angewandt, die auch mehrfach experimentell untersucht wurde, die Hochgeschwindigkeitsversuchsfahrten des Intercity Experimental (ICE) auf der Neubaustrecke bei Würzburg. Es werden die Ergebnisse der Teilsysteme und des Gesamtsystems und schließlich die dynamische Radlast für verschiedene Fahrgeschwindigkeiten dargestellt. Die dynamische Radlast nimmt bei Steigerung der Fahrgeschwindigkeit bis 200 km/h zu, bleibt bei höheren Fahrgeschwindigkeiten jedoch ungefähr konstant. Eine ähnliche Tendenz wird bei den Erschütterungen in der Umgebung bemerkt. Mit den berechneten Radlasten werden die ICE-Vorbeifahrten sehr detailliert simuliert und die berechneten Erschütterungen mit den gemessenen verglichen. Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung, so daß der wichtige Fahrgeschwindigkeitseffekt als theoretisch und experimentell abgesichert angesehen werden kann.

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Parametric excitation of rail-wheel-system: calculation of vehicle-track-subsoil-dynamics and experimental results of the high speed train intercity experimental

Summary The discrete support of the rail on regularly spaced sleepers leads to a parametric excitation of the running train. To calculate the resulting vibrations and the additional dynamic loads the complete vehicle-track-subsoil system must be considered. A substructure method using appropriate methods for each subsystem (rigid bodies, finite elements, boundary elements) is presented and applied to a situation which was measured three times during highspeed test runs of the Intercity Experimental (ICE) near Würzburg. The results of the subsystems are shown and the coupling leads finally to the dynamic loads moving on the track. These loads increase with speed up to 200 km/h but remain nearly constant at higher speeds. A similar tendency was found in the measured vibrations near the track. To compare theory and experiment the calculated moving loads were used to simulate the environmental vibrations of the ICE test runs showing a good agreement.

     

Application of wave method in investigations of single gear transmission

Summary Dynamic investigations for the discrete-continuous model of a single gear transmission are performed using the wave solution of the equations of motion. Transient as well as steady states are considered. Damping is taken into account by means of an equivalent external damping of the viscous type and an equivalent damping of the Voigt type. Angular displacements in arbitrary shaft cross-sections and dynamic reactions on teeth of the gear transmission in resonance conditions are determined. Results for the wave method and the multibody system approach are compared in the case of amplitude-frequency curves.

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Anwendung der Wellengleichungen bei Untersuchungen einstufiger Getriebe

Übersicht Mit Hilfe der Wellengleichungen werden dynamische Untersuchungen für das Modell eines einstufigen Getriebes aus Starrkörpern und verformbaren, kontinuierlichen Teilen durchgeführt. Sowohl Übergangs- als auch stationäre Zustände werden betrachtet. Dämpfung wird mit Hilfe einer äquivalenten äußeren viskosen Dämpfung und einer äquivalenten Dämpfung vom Voigt-Typ berücksichtigt. Bestimmt werden die Winkeländerungen in beliebigen Wellenquerschnitten und die dynamischen Reaktionen der Getriebezähne unter Resonanzbedingungen. Die Ergebnisse dieser Methode werden anhand der Amplituden-Frequenz-Kurven mit denen nach der Mehrkörper-Dynamik verglichen.

     

Das stationäre und instationäre Betriebsverhalten von Wärmerohren

Zusammenfassung Das Wärmerohr ist ein Konstruktionselement mit sehr hohem Wärmetransportvermögen. Seine physikalischen Grundlagen und die Rechenmethoden zur Beschreibung des stationären und instationären Betriebs werden angegeben. Grundlage zur Erfassung des stationären Betriebs ist eine Druckbilanz für das Wärmerohr. Zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens bei ausgebildeter Dampfströmung im Wärmerohr genügt eine Wärmebilanz. Aus dem weiten Anwendungsgebiet, das Wärmerohre gefunden haben, werden einige Beispiele angeführt. Es werden insbesondere die Leistungsgrenzen ausführlich besprochen und das dynamische Verhalten für verschiedene Heizleistungsänderungen diskutiert.

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Steady state and dynamic behavior of heat pipes

Heat pipes are construction elements with an extremely high heat transport capability. The physical principles and mathematical methods for describing the steady state and the dynamic behavior of heat pipes are presented. The steady state performance is described by a pressure balance for the heat pipe. The dynamic behavior with fully developed vapor flow in the heat pipe is described with sufficient accuracy by a heat balance.Some of the many examples of heat pipe applications will be presented. The dynamic behavior for different variations of the heat input will be discussed and special regard is given to the performance limitations.

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Die Verfasser danken Herrn Dipl.-Phys. M.Schindler für wichtige Hinweise und klärende Diskussionen.     

Determination of stress intensity factors by the dynamic method of caustics for optically isotropic materials

Summary The method of caustics is an optical method for experimental determination of stress intensity factors at crack tips. The paper generalizes the method of caustics to dynamic situations and the dynamic stress intensity factor at the tip of a running crack in an optically isotropic material is determined. Higher order terms of the Westergaard type stress functions are included and their effect on the shape and extension of the highly constrained zone surrounding a crack tip is discussed. Analytical equations for the caustic are presented. For the singular solution it is found that dynamic K-values associated with larger shadow spots are lower than their static counterparts. Higher order terms induce a generalized evaluation formula for the stress intensity factor where powers of the order n + 5/2 (n = 0, ...) of the caustic diameter are present. The effect of superposition of dynamic and higher order term corrections on the K-value is discussed. The dynamic correction implies that the K(c)-characteristic (c ... crack velocity) is to be modified towards lower values of K. This correction is negligible for small and moderate crack velocities justifying the use of static equations for practical purposes. The K-values for crack branching, however, turn out to be smaller than assumed hitherto, a fact which is of particular interest in connection with SEN-type fracture test specimens.

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Übersicht Die schattenoptische Methode — auch Methode der Kaustik genannt — ist ein wichtiges Verfahren zur experimentellen Bestimmung des Spannungsintensitätsfaktors K an einer Rißspitze. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert die schattenoptische Methode auf dynamische Rißausbreitungsvorgänge in optisch isotropen Materialien. Die Bestimmung des dynamischen Spannungsintensitätsfaktors an der Rißspitze schnellaufender Risse aus der Geometrie des Schattenflecks wird aufgezeigt und eine dynamische Korrekturfunktion angegeben.Glieder höherer Ordnung in den Westergaardschen Spannungsfunktionen werden beibehalten und deren Einfluß auf die Gestalt und Ausdehnung der Zone großer Verzerrungen um die Rißspitze sowie die Form und Größe der Kaustik werden untersucht. Bei Berücksichtigung des alleinigen singulären Anteiles des Spannungsfeldes um die Rißspitze zeigen die Rechnungen, daß die mit laufenden Rissen verbundenen K-Werte kleiner als die entsprechenden statischen sind, der Unterschied für praktische Zwecke jedoch erst bei Rißgeschwindigkeiten in der Umgebung der Verzweigungsgeschwindigkeit berücksichtigt werden muß.Die Glieder höherer Ordnung beeinflussen die Struktur der Beziehung zwischen Spannungsintensitätsfaktor und Kaustikdurchmesser. Die Auswerteformel, die im (statischen und dynamischen) singulären Fall eine D ^5/2- Abhängigkeit des Spannungsintensitätsfaktors vom Kaustikdurchmesser zeigt, weist bei Berücksichtigung höherer Terme Abhängigkeiten der höheren Ordnungen n + 5/2(n = 1, ...). auf. Die Korrekturfaktoren für die K-Werte, die im singulären Fall nur von der Rißgeschwindigkeit abhängig sind, werden explizite Funktionen des Kaustikdurchmessers. Das Zusammenwirken von dynamischen Effekten und Einflüssen zufolge des nichtsingulären Spannungsfeldanteiles kann bei bestimmten Arten der Probenbelastung und Probengeometrie zu einer erheblichen Korrektur des K-Wertes führen.Im experimentell gewonnenen Schaubild, das die Rißgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Spannungsintensitätsfaktors darstellt, verursacht die dynamische Korrektur eine Verschiebung der Kurve zu etwas niedrigeren K-Werten. Dies bedeutet, daß der K-Wert bei der Rißverzweigung kleiner ist als bisher angenommen; eine Tatsache, die besonders in Verbindung mit der SEN-Bruchprobe von Interesse ist.

     

Dynamic coefficient of an elastically supported,pre-stressed beam

Summary An analysis is made of the problem of vibrations of a beam with an axial force resting on eltstic foundation, when the beam is uniform and of finite length and is subjected to an impulsive load. The solution is presented within the framework of a beam theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. An example is provided where the dynamic coefficient for the bending moment is calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the axial force in the beam and the stiffness of the foundation have considerable effect upon the dynamical behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines auf elastischer Grundlage liegenden Balkens, der durch eine Axialkraft beansprucht ist, werden für den Fall analysiert, daß der Balken gleichförmig und von endlicher Länge ist, und daß eine Schlagbelastung an dem Balken angreift. Die Lösung wird innerhalb der Balkentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. In einem Beispiel wird der Schwing-beiwert für das Biegemoment ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, da\ die Axialkraft und die Steifigkeit der elastischen Grundlage auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragent of Professor H, Saito of Tohoku University.     

Multi-mode nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated imperfect angle-ply cylindrical panel with free straight edges

Summary A multi-mode solution to nonlinear vibration and postbuckling of the titled problem is presented for two straight edges free from forces and bending moments and the other edges subjected to identical variation of rotational stiffness and normal boundary forces. The dynamic Marguerre-type nonlinear equations are adopted. The transverse deflection and stress function are expanded into two series with timedependent coefficients. The Galerkin procedure furnishes an infinite system of ordinary differential equations for these time functions. The method of harmonic balance is used for a solution of a finite number of these equations. The postbuckling behavior is treated as a special case. Numerical results in nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated angle-ply panel are presented graphically for different panel parameters and also compared with available data.

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Nichtlineare Schwingung und Nachbeulen einer antisymmetrisch geschichteten, imperfekten zylindrischen Schale mit freien geraden Rändern

Übersicht Für das im Titel genannte Problem wird bei Normalkraftbelastung und Verdrehsteifigkeit der kreisbogenförmigen Ränder eine Lösung der dynamischen, nichtlinearen Marguerre-Gleichungen in Form verallgemeinerter Fourier-Reihen für die Durchbiegung und Spannungsfunktion mit zeitabhängigen Koeffizienten vorgestellt. Das Galerkin-Verfahren liefert ein System unendlich vieler gewöhnlicher Differentialgleichungen für diese Zeitfunktionen. Zur Lösung einer endlichen Zahl der Gleichungen wird die Methode der harmonischen Balance benutzt. Für verschiedene Schalenparameter werden numerische Resultate zur Schwingung und zum Nachbeulen in graphischer Form dargestellt und mit fremden Ergebnissen verglichen.

     

An analytically derived lumped-impedance model for the dynamic behaviour of a watertower

Summary An analytical model is derived for the dynamic behaviour of a liquidcontaining structure such as a watertower. The watertower is composed of a liquidcontaining tank supported by a slender column.In the frequencyband of interest continuous models for the liquid and the support are analytically simplified to lumped-impedance systems using convergence and frequency considerations. Coupling both subsystems, taking into account the tankparameters, leads to a ninth order model describing the translational as well as rotational harmonic response of the tower. Measurements on a scale model confirm the theoretical model.

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Ein analytisch abgeleitetes lumped-impedance-Modell für das dynamische Verhalten eines Wasserturms

übersicht Ein analytisches Modell für das dynamische Verhalten einer mit Flüssigkeit gefüllten Konstruktion, wie zum Beispiel eines Wasserturms, wird abgeleitet. Der Turm besteht aus einem mit Flüssigkeit gefüllten Tank, der von einer schlanken Säule unterstützt wird.Im interessierten Frequenzband werden stetige Modelle für die Flüssigkeit und die Unterstützung mit Hilfe von Konvergenz- und Frequenzbetrachtungen analytisch zu lumped-impedance-Systemen vereinfacht. Rücksicht nehmend auf die Tankparameter, führt die Kopplung beider Subsysteme zu einem Modell neunter Ordnung, das die harmonische Bewegung des Turms sowohl im Hinblick auf Translation wie Rotation beschreibt. Messungen an einem verkleinerten Modell bestätigen die theoretischen Ergebnisse.

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This paper was prepared for presentation at the 16th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Lyngby, August 19–25, 1984     

Dynamisches Verhalten von Elastomeren bei großen Dehnungen überlagerten kleinen Schwingungen

Zusammenfassung Die dynamischen Eigenschaften eines Styrol-Butadien-Copolymers und eines Naturkautschuks sind als Funktion einer statischen Vorverstreckung gemessen worden. Die dynamische Viskosität dieser Polymeren ändert sich nicht bis zu einer statischen Verstreckung von ca. 1,7, und die dynamische Spannungsamplitude ist der Steigung der statischen Spannungs-Dehnungs-Kurve proportional. Der Tangens des Verlustwinkels hängt nicht nur von der dynamischen Viskosität, sondern auch von der dynamischen Spannungsamplitude ab. Er ist deswegen nicht unbedingt von einer statischen Verstreckung unabhängig, wenn auch konstant ist.

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Summary The dynamic properties of a styrene-butadiene copolymer and of a natural rubber vulcanizate have been measured as a function of a static strain. The dynamic viscosity of these polymers is constant up to a deformation ratio of approximately 1.7 and the dynamic stress amplitude is proportional to the slope of the static stress strain curve. The tangent of the loss angle does not depend on the dynamic viscosity alone but is also determined by the dynamic stress amplitude. It is, therefore, not necessarily independent of a static deformation, even though may be constant.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen Berlin, 11.–12. Mai 1970.Teilweise unterstützt von einem Forschungsauftrag (GK-1770) des National Science Foundation, Washington, DC. (U.S.A.).Der Autor dankt Prof.A. G. Thomas, Natural Rubber Producers Research Organization, Welwyn Garden City, Herts., England, z. Zt. Visiting Prof., Univ. of Akron, für fruchtbare Diskussionen und Mr.E. Plale für die Durchführung der Versuche.     

A new wheel/rail contact model for independent wheels

Summary The classical multibody approach in railway vehicle dynamics considers as rolling element a rigid wheelset, for which the geometrical problem associated with the wheel/rail contact and the formulation of the dynamic equations are well known at the present time. New designs of non-conventional bogies led us to develop a new model for independent wheels in which each wheel/rail contact must be treated separately due to the absence of an axle between left and right wheels. This model constitutes an additional feature of the multibody approach for this type of application. The classical multibody formalism is first briefly reviewed and the wheel/rail contact model is then developed in the case of a straight track. The way the model has been extended to curved track is also explained. Finally, numerical results related to classical and non-conventional bogies will be presented before concluding.

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Neues Modell des Rad-Gleiskontaktes für unabhängige Räder

Übersicht Die klassische Mehrkörper-Annäherung in der Dynamik der Eisenbahnfahrzeuge betrachtet als Rollelement das steife Achse-Räder-System, dessen geometrisches Problem des Kontaktes zwischen Rad und Gleis sowie dessen Formulierung der dynamischen Gleichungen heutzutage allbekannt sind. Neue Konzepte von unkonventionellen Drehgestellen führte die Autoren zur Entwicklung eines neuen Modells für unabhängige Räder, in welchem aufgrund des Fehlens einer gemeinsamen Achse zwischen linkem und rechtem Rad jeder Rad-Gleis-Kontakt getrennt betrachtet werden soll. Dieses Modell bildet einen zusätzlichen Gesichtspunkt der Mehrkörper-Methode für die Lösung solcher Probleme. Nach kurzer Betrachtung des klassischen Mehrkörper-Formalismus wird ein Modell des Rad-Gleis-Kontaktes für eine gerade Strecke entwickelt. Weiter folgt die Ausweitung des Modells auf ein gekrümmtes Gleis und schließlich werden die numerischen Ergebnisse für klassische und nicht-konventionelle Drehgestelle vorgelegt.