重心坐标公式在不等式证明中的应用

本文介绍用重心坐标公式在平均值不等式证明中的应用,以供有趣的读者参考。一、预备知识 1.重心坐标公式设在同一平面上有质量分别为m_1、m_2、…几个质点A_1(x_1,y_1)、A_2(x_2,y_2)、…、     

与单形重心有关的几个几何不等式

设A_0A_1…A_n为n维欧氏空间E~n中的一个单形S,其重心为G,A_iG交A_i的对面于G_i(G_i为(n-1)维单形A_0A_1…A_(i-1)A_(i 1)…A_n的重心),交S的外接超球面F于A_i~1(i=0,1,…,n)。记S的棱长分别为α_(ij)=(i,j=0,1,…,n,i≠j),其中线长为m_i=(i=0,1,…,n),我们将证明如下的     

巧用三角形的重心和外心重合性质解题

我们知道,设△ABC的顶点坐标分别是A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3),那么它的重心坐标是 x=1/3(x_1 x_2 x_3),y=1/3(y_1 y_2 y_3)而当△ABC的重心和外心重合在一起时,△AB     

某些对角方程在有限域上的解数

主要运用Gauss和以及Jacobi和的相关性质给出两类对角方程在有限域上的解数公式,分别是形如s∑(i=1) a_ix_i~(m_i)=c的对角方程,其中a_i,c∈F_q~2~*,(m_i,m_j)=1,m_i|(q+1),m_i为奇数或(q+1)/(m_i)为偶数,i=1,2,…,s,以及形如s∑(i=1) x_i~m=c的对角方程,其中c∈F_q~*,m|(q+1),m为奇数或(q+1)/m为偶数.     

一道习题的有效改进

<正>在一次中考模拟练习中我遇到这样一道有趣的试题:如图1,△ABC的内心在y轴上,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),直线AC的表达式为y=1/2x-1,则sin∠ACB的值为.2解析由于△ABC的内心在y轴上,OB平分∠ABC,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),可知∠ABC=90°,则直线AB表     

图形在平面直角坐标系中的位似变换

<正>图形在平面直角坐标系中的位似变换及变换前后对应点的坐标有何规律?请看下面两个例题:例1如图1,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(2,-2),B(1,1),C(6,2).以原点O为位似中心,在y轴右侧,画出△A_1B_1C_1,使△A_1B_1C_1与△ABC的位似比为2:1,并写出点C_1的坐标.     

多边形面积公式的两种证法

式中(x_i,y_i)是n边形的顶点A_i的坐标,i=1,2,…,n,n个顶点的顺序A_1,A_2,…,A_n在图上是按逆时针方向排列的。 有些解析几何读物(如[1])已就边数较少的多边形介绍了这个公式,但不给一般的证明。本文试就任意多边形(包括凸的和凹的)给出公式(1)的两种证法,供教学上参考。     

一道竞赛题的简解

题目(2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题第13题)如图,正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3,且点B,C,G在同一直线上,M是线段AE的中点,连结MF,则MF的长为.解析(坐标法)以BG所在直线为x轴,以BA所在直线为y轴,建立直角坐标系.则A(0,2),F(2,3),E(5,3),AE中点M{25,25},利用两点间的距离公式求得     

在解析几何教学中逐步渗透向量方法

新教材中向量在高一和高二 (下 )中有专门论述 ,在高二 (上 )解析几何中逐步渗透向量方法 ,既能复习旧知 ,又能衔接后面内容 ,可防止内容脱节 .所以在解析几何中适当地渗透向量方法就显得尤为重要和关键 .下面结合高二 (上 )教材谈几点认识 .1　在推导公式中使用向量方法点到直线距离公式推导历来是中学数学难点 ,主要是为什么构造直角三角形 ,使用面积法求解 (参见新课程人教版第二册 (上 ) ) ,这对初学者不易突破 .公式 :已知点P坐标 (x0 ,y0 ) ,直线l的方程是Ax +By +C =0 ,P到直线l的距离是d ,则d =|Ax0 +By0 +C|A2 +B2 .证　当B≠…     

应用物理知识解两类数学题

1　应用物体的重心公式求值　　物理学告诉我们 :1)　对于均匀分布的凸ｎ边形 ,若其ｎ个顶点坐标是 (ｘｋ,ｙｋ) (ｋ =1,2 ,… ,ｎ) ,则其重心Ｇ(ｘ ,ｙ) :ｘ =1ｎ ∑ｎｋ =1ｘｋ,　 ｙ =1ｎ ∑ｎｋ =1ｙｋ;2 )　如果在线段ＡＢ的端点处分别放置质量为ｍ1 ,ｍ2 的两个质点 ,则其重心Ｇ在线段ＡＢ上 ,且质量为ｍ1 ｍ2 ,根据杠杆原理可得ｍ1 ·ＡＧ =ｍ2·ＧＢ ,或ＡＧ∶ＧＢ =ｍ2 ∶ｍ1 ,即重心到两质点的距离与这两质点的质量成反比 ,反之也成立 .图 1　例 1图例 1　求值 :ｓｉｎ 25π ｓｉｎ 45π ｓｉｎ 65π ｓｉｎ 85π .分析　注意…     

“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公     

两点浅见

华罗庚等曾在数学学报第11卷(1961)发表了《数学方法在麦收中的应用》一文(以后简称[1])。笔者对此文有两点浅见,现述于此以与华罗庚先生和广大读者商榷。 1.[1]中研究了这样一个问题:设平面上有n个不同点A_1,A_2,…,A_n和n个正常数m_1,m_2,…,m_n,要在平面上求一点使函数 F(P)=sum form to i=1 to n (m_i|PA_i|)取最小值。(此问题已为林诒勋先生在1960年完全解决,见[3].)[1]对此问题提出的解法如下:     

高中数学综合训练六 直线与圆锥曲线

1 已知两点P_1(-2, -2)、P_2(2,0),(1)在直线p_1p_2上找一点p,使|pp_1|为|p_1p_2|的1/4(2)在p_1p_2的延长线上找一点Q,使得有|P_2Q|:|p_1Q|=1:2 2 已知平行四边形ABCD中,三顶点坐标分别是(-2,-1)、(0,2)、(2,-1),求第四顶点坐标。 3 已知直角三角形ABC,斜边BC两端点坐标为B(m,a)、C(m,b),求此三角重心的轨迹。 4 试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹方程,并作出轨迹图形。     

三棱柱中折线的最值问题

<正>问题呈现如图1,在直三棱柱ABC-A_1B_1C_1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC_1=2(1/2),P是BC_1上一点,则CP+PA_1的最小值是____.讨论经历易知,若A_1、P、C三点在一条直线上时,A_1P+CP最短.连接A_1B,即可将平面A_1C_1B_1沿BC_1翻折,使之与平面BCC_1在同一平面(如图2)。     

设而不解,直奔问题终点

求曲线的交点坐标是解析几何中一类广泛而繁琐的问题。但曲线的交点坐标在题目中常常只作为其他量的铺垫——过渡点,此时往往可通过“设而不解”的手法,绕过“求交点”这一迂道,直奔问题的终点。例1 推导点到直线的距离公式。求点P(x_0,y_0)到直线l:AX+By+C=O(A~2+B~2≠0)的距离d。(课本P49) 本题最自然的思路是:先求出点P在直线l上的射影点Q的坐标,再用距离公式d=|pQ|但求点Q的坐     

“直线的斜率”教学设计及教后反思

一、教材内容的理解与学习目标的制定(一)教材的地位和作用分析平面解析几何是高中数学课程中的重要内容之一,它体现了代数法在刻画平面曲线中的应用,反映了数形结合的重要思想.直线的斜率和倾斜角是高中解析几何的起始课,起着承上启下的作用.本节课涉及到一个概念和一个公式.一个概念是直线的斜率,它是从"数"的角度刻画直线的倾斜程度.一个公式是直线的斜率公式,它显示了直线上点的坐标和直线斜率之间的关系.任意给出直线上不同两点的坐标,直线就被唯一确定,则它的斜率也就确定了,这说明两点坐标     

关于直线y=x对称的探究

<正>一、实验与探究图1由图1,观察易知A(2,0)关于直线l的对称点A′的坐标为(0,2),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:评析在方格子为背景的坐标系中,不难找到:B′(3,5)、C′(5,-2).二、归纳与发现结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线的l对称点P′的坐标为;评析通过实验、观察、归纳得出P′的坐标为(b,a),经历从特殊到一般的合情推理过程,这是发现数学知识的重要途径.三、证明与类比结论1平面坐标系内任一点P(a,b)关于直线y=x对称点P′的坐标为(b,a).     

平面区域中一个优美结论的妙用

大家知道,在平面区域中,点在直线划分的区域遵循“同侧同号,异侧异号”的原则,根据这一原则,我们会得到一个优美的结论:命题点P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线l:Ax By C=0(A2 B2≠0)的两侧(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0.利用上述命题既简捷明快,又颇有新意.例1(1)若直线l:ax y 2=0与连接点A(-2,3)和B(3,2)的线段有公共点,求a的取值范围;(2)将(1)中的点A的坐标改为(a-2,3),点B的坐标改为(1,2a),其余条件不变,又如何求a的范围?解(1)由题意可知,A,B两点必在直线l的两侧或其中一点在直线上,故有(-2a 3 2)(3a 2 2)≤0,解得a≤-43或a≥52,故a的取值范…     

离心率为2的双曲线的性质

1.问题的提出在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷,其中解答题17题是这样的:如图(图略),设A(-2,0),B(2,0),直线l:x=1,点C在直线l上,动点P在直线BC上,且满足AP·AC=0.(Ⅰ)若点C的纵坐标为1,求P的坐标;(Ⅱ)求点P的轨迹方程.没花多少时间笔者就顺利地求得结果:(Ⅰ)P的坐标为(-4,6);(Ⅱ)点P的轨迹方程为x42-1y22=1.在解题后的反思中笔者发现了一个“问题”:题中条件A(-2,0),B(2,0)恰是P的轨迹的左、右顶点,而直线l:x=1是P的轨迹的右准线,并且P的轨迹的离心率为2,这是巧合还是必然?于是笔者经过研究得到了离心率为…     

问题征解

一、本期问题征解 1.在⊿ABC中,AD是BC边上的高(长为h),BC边长为a.将BC边n等分,得分点B_1,B_2,…,B_(n-1),在高AD上依次截取AD的中点A_1,A_1D的中点A_2,A_2D的中点A_3,…