一道2022年全国高中数学联赛平面几何题的证法研究

从代数运算与几何综合推理两个视角研究2022年全国高中数学联赛A卷平面几何试题的证法.     

一道不等式题的证法探讨

数列不等式的证明是高考数学的难点．由于其方法灵活多变,让许多学生觉得没有规律,无从着手,神奇难学．本文对一道常见不等式的证明方法进行探讨,以求提高学生的解题能力．     

一道平几题的证法及其应用

在数学参考书中,有这样一道脍炙人口的题目:已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、bc,且∠B=2∠A,求证b~2=a~2+ac。此题不仅证法多样、别致,而且用它作为性质还可十分简捷地解决一类三角形的问题,下面就谈此题的证法和应用。     

用解析法解答一道加试平面几何题

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题第一题是一道平面几何题 ,参考答案给出的是纯几何法 ,作辅助线的技巧较高 .图 1题目　如图 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ ,求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解　以Ａ点为原点 ,线段ＡＢ所在直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,∴　Ａ点坐标为 (0 ,0 ) ,∵　∠Ａ =6 0° ,∴设Ｂ、Ｃ的坐标分别为 (ｂ,0 ) ,(ｃ,3ｃ) ,∵　 |ＡＢ| >|ＡＣ| ,　∠Ａ =6 0° ,∴　∠Ｂ <6 0° =∠Ａ ,∴　ｃ <ｂ2 ,∴　线…     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

从一道平面几何题联想开去

<正>在单元测试中有这样一道题目:如图1,在矩形ABCD中,P点是矩形内一点,已知AP=10cm,BP=5cm,CP=11cm,求DP的长度.解析如图2,过P点分别作PE⊥DC,PF⊥AD,PG⊥AB,PH⊥BC,垂足分别为E、F、G、H.设PE=a,PF=b,PG=c,PH=d.     

一道平面几何题的简证

题目~[1]如图,菱形ABCD,∠DAB=60°,E是AD上一点,CE交BA延长线于F,DF交BE延长线于M,求证:∠BMD=60°.证明连结DB,显然△CBF∽△EDC,于是BC/DE=BF/DC,注意到DC=BC=DB,有DB/DE=BF/DB,     

一道平面几何题的演变轨迹

在本文中,笔者将从一道常见的平面几何问题出发,展示其演变的轨迹,为大家提供一种探索数学问题发展的思维方法.     

对一道初中联赛平面几何题的研究

<正>1992年第九届全国初中联合竞赛试题第二试的第2小题是:题目1如图1,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点,且∠BAC=∠BED=2∠CED,求证:BD=2CD.这是一道较难的平面几何题,究其原因在于所给的条件不是很容易联系在一起,组委会所提供的证明方法借助于△ABC的外接圆.在对这个题目的证法研究中,我们意外地发现BD=2CD等价的结论:BE=2AE.     

一道2020年马其顿数学赛题的证法探究

<正>1题目再现(2020年马其顿数学奥林匹克竞赛试题2题)正实数x,y,z满足xy+yz+zx=27,求证:■,并求取等条件.2基础知识三角函数恒等变换有如下一题:已知锐角α,β,γ满足α+β+γ=■,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1;反之亦然.     

一道竞赛题的证法探究

<正>沈文选教授主编的《初中数学竞赛中的几何问题》第17章习题中有这样一道题目:两个正三角形ABC,ADE有公共顶点A,点F,G,H分别是AD,BE,AC的中点,则△FGH是正三角形.在探索本题的证明时,由倍长中线的基本方法出发,意外发现容易构造△FGH的位似图形,图形中的线条关系明显清晰,题目顺利得证,真可谓山重水复疑无路,柳暗花明又一村.     

一道竞赛题的证法集锦

一九八六年全国初中数学竞赛题第三题: “设P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点(如图)。当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试证明你的结论”。这是一道源于教材、高于教材、难度适中、证法灵活、既考基础、又考能力的不可多得的好题;也是一道较好的综合训练的范例。本刊编辑部仅在十天之内就先后收到不少本题证法的来稿。现根据湖北洪湖县侯书清、湖南常德地区刘茂林、安徽宿州陈新昌、辽宁锦州张士贞、贵州普安石又栋、广西百色地区叶添蕃、湖北钟祥县贾双喜等同志的来稿综合成如下12种证法,供同行参考。首先不难猜想其为等腰三角形(此题实际上是由《几何》第一册P_(119)习题10演变而来),再看其证明:     

一道平面几何题在圆锥曲线中的探究

1一道平面几何题的演变在梯形ABCD中,AB∥CD,E为BC上一点,且AB=BE,CE=CD.求证:以AD为直径的圆过点E.此题证明简单,兹不赘述.通过此题我们发现,由条件AB=BE,CE=CD可联想到抛物线的定义,这就提示我们可以将结论转化为抛物线的性质.     

对一道高考平面几何题演变过程的研究

<正>探究"动态几何图形在变化中的不变性"是平面几何研究中的重点问题,通过对这类问题的研究,不仅有助于学生更深地理解平面几何图形的本质,发现演变规律,更有利于学生掌握探索数学问题发展的思维方法.下面就结合对一道高考平面几何题演变研究的全过程,与读者一起分享这种思维方法.一、原高考题的证明及说明     

极坐标法证平面几何题

极坐标法证平面几何题４３６５００黄梅实验中学何省三平面几何题的证明方法颇多，除自身的几何证法外，还可采用三角法、复数法、解析法等多种证法．选择证法时要因题而异，具体情况具体分析．本文介绍解析法中的极坐标法，既可巩固极坐标有关知识，又可以用强思维训练．...     

一道习题的证法与引伸

培养学生的数学能力,已成为当今数学教学的主要任务。因而,数学第二课堂活动已为数学教育界所重视。但第二课堂怎样开展,从现在有关刊物上所介绍的方法有“写小论文”、进行各种形式的竞赛和相应的专题讲座等。这些方法固然能起到提高学生数学能力的作用,然而、是不是对大多数的学生都适用?     

一道竞赛题的证法再探

对如下一道竞赛题：已知a,b,c≥O,且a＋b＋c=1,求证：√a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3     

一道二项式证明题的证法研究与改造

在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1     

一道数学竞赛题的证法新探

<正>~~     

2020年全国高中数学联赛加试(A卷)平面几何题的证法赏析

2020年全国高中数学联赛加试(A卷)的平面几何题图形结构简单,条件简洁,内涵丰富,本文赏析这道试题的多种证明方法.