从一道数学竞赛题谈起

从一道数学竞赛题谈起４３００６２湖北大学研究生３１０室张承宇国外有这样一道数学竞赛题：在一个圆周上等距离地放着２ｋ个围棋子．现在从事如下操作：如果两个相邻的棋子颜色相同，我们就在它们之间放一个黑子，否则就放一个白子．如此放好２“个棋子之后，便将原先的...     

从一道数学竞赛题的妙解谈起

把由1开始的自然数依次写下去,直写到198位为止、12345678901112…那么这 198位个数用9除的余数是: (A)1,(B)6,(C)7,(D)非上述答案。这是1987年全国初中数学联赛的一道试题。本文给出一种不同于常规解法的巧妙解答。首先我们证明两个定理。定理1 设数列{a_n}的每一项都是非负整数,且a_1≠0,把由a_1开始的非负整数依次写下去,直写到第n项为止即为a_1a_2…a_n,那么正整数a_1a_2…a_n除以9的余数与S_n=a_1 a_2     

由一道竞赛题谈起

2007年全国高中数学联赛山东赛区预赛第13题出了这样一道题: 若平面上有点A(1,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的内心坐标( ) 此三角形为等腰直角三角形,解法上可以利用向量知识求两个角的平分线,再求交点;也可以利用到角公式求两个角的平分线,再求交点;或者利用角平分线定理及定比分点坐标公式获解.     

由一道竞赛题谈起

2007年全国高中数学联赛山东赛区预赛第13题出了这样一道题：若平面上有点A（1,1）,B（4,2）,C（2,3）,则△ABC的内心坐标为_______．     

用线性方程组解一类函数题——从一道数学竞赛题谈起

一九八三年省、市、自治区联合数学竞赛第一试有题: 已知函数f(x)=ax~2-c满足:-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5。那么,f(3)应满足:(A)7≤f(3)≤26;(B) -4≤f(3)≤15;(C) -1≤f(3)≤20;(D) -28/3≤f(3)≤25/3。答案是(C)。 (Ⅰ) 联想到这样一道题:设f(x)=x~2+ax+b,证明|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 (Ⅱ) 我们发现,(Ⅰ)、(Ⅱ)是同一类型题。解这类题的关键是如何从f(1)、f(2)、f(3)中消去参系数。题(I)中,由条件可得-4≤a-c≤-1 ①-1≤4a-c≤5②问题是要求出9a-c,即由a-c及4a-c重新组合得出9a-c的范围,为此,我们将a-c和4a-c分别乘以m、n,相加     

用线性方程组解一类函数题——从一道数学竞赛题谈起

一九八三年省、市自治区联合数学竞赛第一试有题;已知函数f(x)=ax~2-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么,f(3)应满足;(A)7≤f(3)≤26;(B)-4≤f(3)≤15;(C)-1≤f(3)≤20;(D)28/3≤f(3)≤35/3答案是(C) (Ⅰ)联想到这样一道题:设f(x)=x~2+ax+b,证明|f(1)|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 (Ⅱ) 我们发现(Ⅰ)、(Ⅱ)是同一类型题,解这类题的关键是如何从f(1)、f(2)、f(3)中消去参系数, 题(Ⅰ)中,由条件可得-4≤c-c≤-1 ①-1≤4a-c<5 ②问题是要求出9a-c。即由     

从数学竞赛一道试题谈起

一九八四年全国部分省市联合数学竞赛第二试有这样一道题目:设a_n为1~2 2~2 3~2 … n~2之末位数字,求证0.a_1a_2a_3a_4…为有理数。分析:要证0.a_1a_2a_3a_4…为有理数,则或者a_1,a_2,a_3…这些数字循环出现,或者从某a_k开始以后的所有a_n     

图论中的一个极值问题——从一道初中竞赛题谈起

1989年全国初中数学联赛的最后一道试题,是个很有意义的图论问题。它是图论中著名的Turán定理的最简单特例。1940年,匈牙利数学家Turán为了回答达样的问题:“n个顶点的图G不包含P个顶点的完全图K_p,则图G的最大边数是多少?”而提出了他的著名定理,从而开创了图论研究的一个新方向。经过四十多年来数学家们的努力,现已形成了图论的一个重     

从一道美国数学邀请赛试题谈起

2004年美国数学邀请赛第1卷第10题是一道几何概型的问题．对于几何概型,关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率．笔者采用了几种不同的方法求解,供大家参考．     

一道大学生数学竞赛题的推广

针对2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)第五题,本文利用介值性定理或者积分中值定理,将结论推广到一般情形,并给出证明.     

关于一道竞赛题的注记

由2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)第六题引出一个条件弱化的猜想,针对这一猜想给出一个反例.     

一道高等数学竞赛试题的推广

对2015年浙江省高等数学竞赛中的一个条件极值问题作出了推广.     

一道全国大学生数学竞赛题的推广

对一道大学生数学竞赛题分别从导数的阶数及变量的个数两方面做出推广.     

一道数学竞赛题的另解及推广

针对第67届美国大学生数学竞赛中一道求递推数列极限的试题,运用Stolz定理、Lagrange中值定理和夹逼准则给出一种新解法,并指出原题还可做进一-推广.     

一道数学竞赛题的其它解法与推广

对第八届全国大学生数学竞赛(非数学专业,决赛)的一道试题,又给出了两种其它证明方法.此外,对本试题也进行了推广与证明.     

一道竞赛题及其推广形式的另解

针对第67届（2006年）美国大学生数学竞赛题中的一道求最大值的问题及其推广形式,从泛函的视角,给出另一种解法．     

一道数学竞赛题的五种解法及一般形式

给出第十届江苏省大学生数学竞赛一道试题的五种解法并对试题作出推广.     

一道国际大学生数学竞赛题的注记

对一道国际大学生数学竞赛题做进一步讨论,从而得到更为一般的结果.