利用和差换元 巧解数赛试题

利用和差换元巧解数赛试题４３２７３１湖北省广水四中黄立俊大家知道，对于任意两个实我Ｘ、ｒ总存在实数ａ、ｂ，使得ｘ＝ａ＋ｂ，ｙ＝ａ—ｂ，我们称这种变换为和差换元．特别地，着Ｘ＋ｙ—加时，可设ｘ一ａ＋ｔ，ｙ—ａ—ｔ（ｔ为参我）进行换元，这就是我们就知的平...     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）９５６设实数ｘ，ｙ，ｚ满足求３ｘ＋４ｙ＋５ｚ的范围．解设ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝ａ（１）２ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝ｂ（２）则．解由（１），（２）组成的方程组得：ｘ＝ｚ＋２ｂ－３ａ，ｙ＝２ａ－ｂ－２ｚ．则：３...     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

关于函数y=asin~tx bcos~tx的最值

关于函数ｙ＝ａｓｉｎｔｘ＋ｂｃｏｓｔｘ的最值黄俊明（贵州省黔东南州民族林校５５６０００）关于用初等方法求函数ｙ＝ａｓｉｎｔｘ＋ｂｃｏｓｔｘ（ａ，ｂ∈Ｒ＋，ｔ为常数，ｘ∈（０，π／２））的最值，文［１］给出了ｔ＝－１时的情形，并在《数学通讯》１９８８年...     

抽象函数关系给出的对称性与周期性

命题１设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ,且满足条件ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２成轴对称．证明设函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上任一点为Ｐ′（ｘ′,ｙ′）,它关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２的对称点为Ｐ（ｘ,ｙ）,则ｘ＝ａ＋ｂ－ｘ′...     

例说用比例性质解代数题

一、求值例１已知ｘｙ＋ｚ＝ａ,ｙｚ＋ｘ＝ｂ,ｚｘ＋ｙ＝ｃ,求ａ１＋ａ＋ｂ１＋ｂ＋ｃ１＋ｃ的值．解由已知可推出ｘ＋ｙ＋ｚ≠０,由合比定理有ｘｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ１＋ａ,ｙｘ＋ｙ＋ｚ＝ｂ１＋ｂ,ｚｘ＋ｙ＋ｚ＝ｃ１＋ｃ∴ａ１＋ａ＋ｂ１＋ｂ＋ｃ１＋ｃ＝１例２已知ｍ...     

证明三角形不等式的一种方法

证明三角形不等式的一种方法方明（四川省平昌二中６３５４００）众所周知，△ＡＢＣ的内切圆在三个切点处把三边ａ，ｂ，ｃ分成ａ＝ｙ＋ｚ，ｂ＝ｚ＋ｘ，ｃ＝ｘ＋ｙ，（）其中ｘ，ｙ，ｚ均为正数．应用代换（），可将三角形的边元不等式在条件ｂ＋ｃ＞ａ，ｃ＋ａ＞ｂ...     

二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理

蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性；不少中数专著或杂志至今还频繁讨论；本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式；引理：设两条不同的二次曲线Ｓ：Ｆ（ｘ，ｙ）＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０（１）Ｓ１：φ（ｘ，ｙ）＝ｂ１１ｘ２＋２ｂ１２ｘｙ＋ｂ２２ｙ２＋２ｂ１３ｘ＋２ｂ２３ｙ＋ｂ３３＝０（２）有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个公共点，其中无三点共线，则过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的任…     

一类无理函数值域问题的统一解法

不少文献研究了无理函数ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａｋ≠０）（）的值域问题（设ｂ２－４ａｃ≠０）．本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法．原函数式配方,得ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａ（ｘ＋ｂ２ａ）２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．作替换ｚ＝ｘ＋ｂ２ａ,则ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．若ａ＜０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋ－ａ　·ｂ２－４ａｃ４ａ２－ｚ２．若ａ＞０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａ　·ｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ２．因此,函数式的根号内可化为ｒ２－ｚ２…     

配方(上)

１　引言初中代数课里最早遇到的公式，就是两数和的平方和两数差的平方这两个公式，或者确切地说，就是两项和的平方与两项差的平方这两个公式，即（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２（１）（ａ－ｂ）２＝ａ２－２ａｂ＋ｂ２（２）首先要求学会，见到了（ａ＋ｂ）２这样的式子会把它展开成ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，见到了（ａ－ｂ）２这样的式子会展开成ａ２－２ａｂ＋ｂ２；例如，（２ｘ＋３）２＝（２ｘ）２＋２（２ｘ）３＋３２＝４ｘ２＋１２ｘ＋９，（３ｘ－５ｙ）２＝（３ｘ）２－２（３ｘ）（５ｙ）＋（５ｙ）２＝９ｘ２－３０ｘｙ＋２５…     

直线与圆锥曲线相切的充要条件

１直线与圆锥曲线相切的充要条件定理１°直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１相切的充要条件是：Ａ２ａ２＋Ｂ２ｂ２＝Ｃ２①其中Ａ、Ｂ不同时为零（下同），ａ＞０，Ｂ＞０（下同）２°直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝±１相切的充...     

初二上期数学半期试题

一、判断题（每小题２分,共１０分）请在下列各题的括号内,正确的打“〖”,错误的打“∨”．１．ｘ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ａｘ＋ｂｘ＋ｃｘ是因式分解．（　）２．３ａ２－５ａｂ＋ａ＝ａ（３ａ－５ｂ）．（　）３．（ａ－ｂ）（ｘ－ｙ）－（ｂ－ａ）（ｘ＋ｙ）＝２ｘ（ａ－ｂ）．（　）４．三个角对应相等的两个三角形全等．（　）５．三角形任意一边上的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形．（　）二、填空题（每空３分,共３０分）１．２ｍ（ｘ－ｙ）＝（　　　　）（ｙ－ｘ）．２．ａ（ｍ－ｎ）２＝（　　　　）（ｎ－ｍ）２．３．…     

关于f(x)=(a~x 1)~(1/x)的单调性及应用

罗增儒先生在《高中数学竞赛辅导》一书中给出了如下一道问题：问题　设ｘ、ｙ是不相等的正实数，ｍ、ｎ是正整数，且ｎ＞ｍ，令ａ＝ｍｘｍ＋ｙｍ，ｂ＝ｎｘｎ＋ｙｎ，则ａ与ｂ的大小关系是（　　）．　（Ａ）ａ＞ｂ　　　　（Ｂ）ａ＜ｂ　（Ｃ）ａ＝ｂ（Ｄ）不能确定笔者发现，问题中的条件“ｍ、ｎ是正整数”，可放宽为“ｍ、ｎ是不为零的实数”．本文通过建立函数ｆ（ｘ）＝（ａｘ＋１）１ｘ，用初等方法研究其单调性，从而较方便地解决这个“问题”．为此，我们先给出如下一个预备问题：１　预备问题及证明预备问题　对于函数ｇ（ｘ）＝…     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０５１若实数ａ，ｂ，ｘ，ｙ满足ａｘ＋ｂｙ＝３，ａｘ２＋ｂｙ２＝７，ａｘ３＋ｂｙ３＝１６，ａｘ４＋ｂｙ４＝４２．求ａｘ５＋ｂｙ５的值．解由ａｘ２＋ｂｙ２＝７，（ａｘ２＋ｂｙ２）（ｘ＋ｙ）＝７...     

新题征展(4)

Ａ．题组新编１．（１）图１是四个对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ、ｙ＝ｌｏｇｂｘ、ｙ＝ｌｏｇｃｘ、ｙ＝ｌｏｇｄｘ的图象,则ａ、ｂ、ｃ、ｄ、０、１等六个实数之间的大小关系是　　．（２）设２＜ｍ＜ｎ＜３,则ｌｏｇｍ（ｍ－２）与ｌｏｇｎ（ｎ－２）的大小关系是　　．（３）设０＜ｍ＜ｎ＜１,则ｌｏｇｍ（ｍ＋１）与ｌｏｇｎ（ｎ＋１）的大小关系是　　．２．已知关于ｘ的二次不等式ｘ２－（ａ－２）ｘ＋３ａ＜０在区间（－２,１）内：（１）恒成立,则实数ａ的取值范围是　　;（２）无解,则实数ａ的取值范围是　　;（３）存在解,则…     

例谈用解析法证明几何问题

上接第２期）∵ｋＡＣ＝ｈｂ－ａ,∴高ＢＥ的方程为ｙ＝ａ－ｂｈ（ｘ＋ａ）,令ｘ＝ｂ得ｙ＝ａ２－ｂ２ｈ,∴Ｈ（ｂ,ａ２－ｂ２ｈ）．又过ＡＣ中点Ｆ（ａ＋ｂ２,ｈ２）作ＡＣ的中垂线与ＢＣ的中垂线ｙ轴相交于Ｔ,则中垂线ＴＦ的方程为：ｙ－ｈ２＝ａ－ｂｈ（ｘ－ａ＋...     

巧用直线和圆的位置关系解题

命题　设直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ,Ｂ不同时为零）,⊙Ｏ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝Ｒ２,则ｌ与⊙Ｏ有交点｜Ａａ＋Ｂｂ＋Ｃ｜Ａ２＋Ｂ２≤Ｒ．本文举例说明这一命题在解题中的巧用．一、用于求最值（或值域）例１　如果实数ｘ,ｙ满足等式（ｘ－２）２＋ｙ２＝３,求ｕ＝ｙｘ的最大值．（１９９０年高考试题）解　由ｕ＝ｙｘ得ｕｘ－ｙ＝０,点（ｘ,ｙ）在直线ｕｘ－ｙ＝０以及圆（ｘ－２）２＋ｙ２＝３上．∴２ｕ－０１＋ｕ２≤１－３≤ｕ≤３,∴ｕｍａｘ＝３．例２　求函数ｕ＝２ｘ－１＋５－２ｘ的最大值．解　点（…     

一元二次方程的根系关系

一、启发提问一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式的推导过程中知道实数根的个数是由方程的系数ａ、ｂ、ｃ（△＝ｂ２－４ａｃ）决定时,当△≥０,方程有两个实数根：ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ,ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ,比较ｘ１和ｘ２式中的结构,你发现了什么？１．分母相同,为２ａ２．分子－ｂ－ｂ２＋４ａｃ与－ｂ＋ｂ２－４ａｃ是互为共轭根式,３．计算：ｘ１＋ｘ２＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ＋－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ＝,ｘ１·ｘ２＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ·－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ＝．二、读书自学…     

“恒等”的疑惑

原题若实数ａ、ｂ、ｘ、ｙ满足ａｘ＋ｂｙ＝３,ａｘ２＋ｂｙ２＝７,ａｘ３＋ｂｙ３＝１６,ａｘ４＋ｂｙ４＝４２,求ａｘ５＋ｂｙ５的值．此题是刘汉文先生主编的《初中数学竞赛同步辅导》第二分册中的一道习题,原是美国数学邀请赛（１９８９年）试题．笔者在辅导初二...     

三角函数几类最值求法

三角函数的最值问题作为一种基本题型较好的体现了三角知识的综合运用．近几年高考中,也经常出现此类问题．现将这类问题归纳成如下几种主要形式,供参考．１ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ型此类函数可化为ｙ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（ｘ＋φ）,其中ｔｇφ＝ｂａ,φ所在象限即...