利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

三棱锥体积在解题中的应用

三棱锥是一种特殊的棱锥;它的每一个顶点都可为棱锥的顶点,它的每一个面均可为棱锥的底面,而体积总是不变的。利用这一特点,可以把求多面体的体积和多边形的面积分别转化为求三棱锥的体积和三校锥的底面积;把求点到平面的距离、直线和平面的距离以及两条异面直线的距离转化为求三棱锥的高等等。一求多面体的体积多面体的体积,可以转化成若干个三棱锥的体积和,由于三棱锥的底面具有轮换性,可适当选取三棱锥的底面,较容易地求出三棱锥的体积,进而求出多面体的体积。     

截面在解题中的妙用

有些立几问题 ,看似与截面无关 ,但若能恰当地作出截面 ,借用截面可使复杂问题得到简化、隐含条件得到显化 .以下举例说明 .1　妙用截面　实现体积转化1 997、1 999两届高考试题中都出现求多面体内部几何体的体积 ,大多数学生感到比较困难 .可巧作截面 ,借用截面实现体积转化 ,化为有一面在多面体表面的几何体体积 ,以达简化的目标 .例 1　如图 ,已知正四棱柱ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 ,点Ｅ在棱Ｄ1 Ｄ上 ,截面ＥＡＣ ∥Ｄ1 Ｂ ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为 45°,ＡＢ =ａ ,求三棱锥Ｂ1 -ＥＡＣ的体积 .( 1 999年全国高考题 )分析 …     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

例说正四面体的伴随正方体

<正>1.正四面体伴随正方体的由来人教版高二(下)教材第52页有这样一道习题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几.     

立体几何常见图形变式解题例谈

《立体几何》P1 1 2上说“生产和生活中的物体、形状虽然复杂 ,但是很多可以看作是由柱体、台体、球体、球缺等组合 (如铆钉 )或者切割 (如螺帽 )而成的”.这就是割补法的思想方法 .本文谈谈在几何体的割补分解中经常用到的几种常见的、基本的几何图形的变式 .1　平面展开利用几何体平面展开前后的对比 ,觅寻图中“变”与“不变”的位置关系 ,可以巧妙地解决一些问题 .“以直代曲”是将图形平展变式的结果 ,它是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法 .例 1　设正三棱锥 A— BCD的底面边长为 a,体积为 1 11 2 a3,过顶点 B作与侧棱 AC、AD都相交的截面 BEF,求此截面周长范围 .简析　如图 1中 (甲 ) ,设顶点 A在底面BCD的射影为 O,AO =h,　 13.12 a .asin 6 0&;#176;.h =1 11 2 a3 　 h =333a,　　 BO =33a,(甲 )　　　　　　　　　 (乙 )图 1为了求△ BEF的周长 ,如直接求三边的长 ,困难可想而知 .如将三边之和整体考虑 ,可将三棱锥沿 AB剪开平展成图 1 (乙 ) .则可用图 (乙 )中的直线段 B...     

外接球球心的确定

在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1　例1图例1　已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26…     

问题引领拾级而上——数学全国Ⅰ卷理(文)20题的教学设计

例题(全国Ⅰ卷20题)如图1,四棱锥S-AB-CD中.SD⊥底面ABCD,AB//DC.AD⊥LDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC. (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小. 教师:请将条件中的数量、位置关系在图中标出.     

求棱锥体积的万能钥匙——图形变换

图形变换是一种重要的解题思想.在求解立体几何问题时,灵活地实施平移、对称、旋转、翻折、分割、补形、伸缩等图形变换,将不熟悉的(或不易计算的)图形变化为熟悉的(易于计算的)图形,将空间图形变为平面图形,从而创设生动的思维情境,优化解题途径.下面以一道1999年高考试题为例说明实施图形变换解题的若干技巧.例　如图,已知正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1,点Ｅ图1　例题图在棱Ｄ1Ｄ上,截面ＥＡＣ∥Ｄ1Ｂ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,ＡＢ=ａ.①求截面ＥＡＣ的面积;②求异面直线Ａ1Ｂ1与ＡＣ之间距离;③求三棱锥Ｂ1-ＥＡＣ的体…     

应用侧面展开图寻求最短路径

<正>寻求多面体和旋转体上两点之间的最短路径,可以充分利用其侧面展开图,将立体问题平面化,现略举几例.例1如图1,已知正四面体A―BCD,其棱长为1,P、Q分别为AB、CD上的两点,且AP=CQ=λ(0<λ<1),求在四面体侧面上从P到Q的最短距离.解由对称性可知,在侧面上P到Q只须考虑以下两种情况:(1)经过棱AC上一点到达Q;     

一个多面体体积公式及应用

一、拟楔形体积公式 1．定义如图1,底面ABCD是平行四边形,EF//AB,若EF=AB,则称该多面体为楔形,若EF≠AB,则称该多面体为拟楔形．     

台体体积公式V=1／6h（S上＋4S中＋S下）的应用

台体体积公式 :V =16 h(S上 + 4S中 +S下) ,其中S上 为上底面的面积 ,S下 为图形的下底面的面积 ,S中 为图形平行于上、下底面且到上、下底面的距离相等的截面的面积 .这个公式有很多应用 ,它不仅可以用于计算我们熟悉的图形的体积 ,也可以用于计算一些条件特殊的立体图形的体积 .1　常见几何体中公式的应用1)棱 (圆 )柱 (已知底面积和高 ) :因为S上 =S中=S下 =S ,所以V =16 h(S上 + 4S中 +S下) =Sh .2 )棱 (圆 )锥 (已知底面积和高 ) :根据中截面和底面相似 ,且相似比为 1∶4 ,易知 :S上 =0 ,S中 =14S ,S下 =S ,代入V =16 h(S上 …     

立体图形体积的计算方法与技巧

立体图形体积的计算方法与技巧４１３２００湖南省南县一中向庆余计算几何体的体积，除直接代入公式计算外，还经常应用以下一些方法和技巧．１剖分几何体将不规则的几何体或不便求积的几何体剖分成几个规则的几何体，分别求体积．例１图１中的多面体的底面是边长为ａ的正...     

一个无棱二面角问题的多角度思考

题目(2001年全国高考数学理科第17题)如图1,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2. (Ⅰ)求四棱锥S-ABCD的体积; (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值. 第(Ⅰ)题容易用体积公式直接求解.而第     

多面体的截面

用一个平面去截一个多面体 ,平面与多面体的交线是一个封闭的平面多边形 ,这个多边形就是多面体的截面 .下面我们通过例题来讲解与多面体的截面有关的一些问题 .1　截面图形的确定与截面面积计算截面问题首先是截面图形形状的确定 ,这一般可以用平面的基本性质和确定平面的条件来解决 ;其次是在此基础上 ,求出该截面的面积 .图 1　例 1题图例 1　如图 1,ＡＢＣＤ -Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是棱长为 1的正方体 ,ＢＭ =12 ＭＢ′ ,Ｄ′Ｎ =12 ＮＣ′ .1)指出ＭＮ的中垂线在已知正方体上截得的截面是一个什么样的图形 ,并加以说明 .2 )求出这截面在正…     

在立体几何中补充拟柱体积公式的一些做法

在計算鋼錠的重量、土方、建筑物的容积和体积时,往往遇到形状如图1所示的(1)鋼錠,(2)土方,(3)屋頂。这些形状的体积,都不是运用一般多面体体积公式所能快速計算出来的,即使計算出来,手續也非常繁琐。因此我們在立体几何讲完棱柱、棱锥、棱台体积之后,补充了拟柱体积公式,即V_(拟锥)=h/6(Q Q_1 4Q_2),这里表拟柱的高,Q,Q_1,Q_2表拟柱上下底面和中截面的面积。为了减少証明公式过程中的困难,在前一节課布置一个作业题,要求同学証明“棱錐底面为梯形,它的体积等于过棱锥頂点和梯形中綫所作截面的     

一道立体几何高考题的全方位探究

图1题目如图1所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2槡2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

对一道2020年高考立体几何题的变式探究

2020年高考全国Ⅰ卷理科第18题是:如图1,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO±一点,PO=√6/6DO.(Ⅰ)证明:PA⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角BrPC-E的余弦值.     

对2004年一道高考题的探究

20 0 4年上海高考理科第 2 1题是这样的 :如图 ,P -ABC是底边长为 1的正三棱锥 ,D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点 ,截面DEF∥底面ABC ,且棱台DEF -ABC与棱锥P -ABC的棱长和相等 .(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和 )(1 )证明 :P -ABC为正四面体 ;(2 )若PD =12 PA ,求二面角D -BC -A的大小 ;(结果用反三角函数值表示 )(3)设棱台DEF -ABC的体积为V ,是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体 ,使得它与棱台DEF -ABC有相同的棱长和 ?若存在 ,请具体构造出这样的一个平行六面体 ,并给出证明 ;若不存在 ,请说明理由 …