The axial displacement of a disc inclusion embedded in a penny-shaped crack

The present paper examines the axisymmetric problem of the axial translation of a rigid circular disc inclusion of finite thickness which is wedged in smooth contact in a penny-shaped crack. Results for the axial stiffness of the embedded inclusion and the stress intensity factor at the boundary of the penny shaped crack are evaluated in exact closed form.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit untersucht das axisymmetrische Problem der axialen Verschiebung einer starren eingebetteten Kreisscheibe mit bestimmter Dicke, die in einer reibungslosen pfennigförmigen Spalte eingekeilt ist. Ergebnisse für die axiale Steifigkeit der eingebetteten Scheibe und der Druckintensitätsfaktor am Rande der pfennigförmigen Spalte sind als eine genaue geschlossene Lösung angegeben.

     

On the interaction between an elastically embedded rigid inhomogeneity and a laterally placed concentrated force

In this paper we examine the problem of the interaction between a rigid circular disc inclusion embedded in bonded contact with an isotropic elastic infinite space and a concentrated force which acts at an exterior point on the plane of the inclusion. The results for the displacement and rotation of the disc inclusion induced by the laterally placed load are evaluated in exact closed form. Furthermore, it is shown that these results may also be recovered by appeal to Betti's reciprocal theorem in which the auxiliary problem corresponds to the directly loaded inclusion.

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Zusammenfassung Es wird das folgende Problem untersucht: Eine starre runde Scheibe ist in festem Kontakt in einem unbegrenzten isotopen elastischen Raum eingeschlossen; eine konzentrierte Kraft greift an einem äußeren Punkt an in der Ebene der Scheibe. Die Verschiebung und die Drehung der Scheibe (für seitlich verschobene Belastung) werden in geschlossener Form angegeben. Weiterhin wird gezeigt, daß die Resultate auch mit Hilfe von Betti's Reziprozitäts-Theorem erhalten werden können, wobei das Hilfsproblem dem direkt belasteten Fall entspricht.

     

Boundary layer growth on a circular cylinder in a semi-infinite fluid

In this paper we study the problem of the boundary layer growth on a circular cylinder in a planar stagnation flow by the method of inner and outer expansions at small times and for finite but large Reynolds numbers. The emphasis is on the influence of the plane wall on the boundary layer detachment from the cylinder and the interaction between the cylinder and the flow. Certain correlations between some of the basic parameters are shown graphically.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das Anwachsen der Grenzschicht um einen kreisrunden Zylinder in einer ebenen Staupunktströmung behandelt. Verwendet wird die Methode der inneren und äußeren Entwicklung für große Reynoldssche Zahlen und kurze Zeiten. Betont wird der Einfluß einer ebenen Grenzplatte auf die Ablösung der Grenzschicht, und der gegenseitige Einfluß von Zylinder und Strömung. Gewisse Abhängigkeiten zwischen den Hauptparametern des Problems wurden auch graphisch dargestellt.

     

Preemptive scheduling with staircase and piecewise linear resource availability

Some variations are presented for the preemptive scheduling problem on unrelated processors, one shows how nonrenewable resources with a time-varying supply may be taken into account in an extension of the two-phase method; phase 1 consists in solving an LP problem and phase 2 is the construction of the schedule; such a construction reduces to the determination of integral vectors in polyhedra defined by totally unimodular matrices. In special cases, this is simply a compatible flow problem.

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Zusammenfassung Es werden Variationen für Reihenfolgeprobleme mit Unterbrechungen betrachtet bei denen die Aufgaben mit unterschiedlicher Bearbeitungszeit auf den einzelnen Maschinen gelöst werden können. Insbesondere wird ein Problem mit nichterneuerbaren Resourcen und zeitabhängigen Nachfragen behandelt und es wird gezeigt, daß dieses Problem durch eine Erweiterung der 2-Phasenmethode gelöst werden kann. In Phase 1 wird ein LP gelöst, während in Phase 2 ein zugehöriger Schedule konstruiert wird. Diese Konstruktion erfolgt durch die Bestimmung ganzzahliger Vektoren, die Ecken eines Polyeders entsprechen, der durch eine vollständig unimodulare Matrix definiert wird. In Spezialfällen reduziert sich dies auf Flußprobleme.

     

Applications of variational principles in finite elasticity

Summary For some equilibrium states of a finitely deformed elastic body, variational principles can be used to provide bounds on overall quantities of physical interest. The principles are applied to the problem of the allaround finite extension of a plane sheet with a circular hole, and accurate estimates for the stress resultant at the outer edge are obtained for various extensions. The finite extension and torsion of an elastic cylinder is considered and bounds on the strain energy per unit length are obtained for an elliptical cylinder of neo-Hookean material with axes in the ratios of 2:1 and 4:1. The bounds lead to reliable estimates for the twisting moment and axial force.

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Zusammenfassung Für gewisse Gleichgewichtszustände eines endlich deformierten elastischen Körpers können Variationsprinzipien verwendet werden, um Schranken für globale Grössen von physikalischem Interesse zu erhalten. Die Prinzipien werden auf das Problem der allseitigen endlichen Extension einer ebenen Scheibe mit kreisförmigem Loch angewendet, und es werden für verschiedene Extensionen gute Abschätzungen der Resultierenden am Aussenrand gewonnen. Ferner wird die endliche Zug- und Torsionsverformung eines elastischen Zylinders betrachtet, und es werden Schranken für die Verformungsenergie je Längeneinheit für einen elliptischen Zylinder aus Neo-Hookeschem Material für die Achsenverhältnisse 2:1 und 4:1 erhalten. Die Schranken liefern zuverlässige Schätzungen für das Torsionsmoment und die Axialkraft.

     

On the formation of vortex rings: Rolling-up and production of circulation

The temporal development of the rolling-up process of vortex rings produced in water at a circular nozzle is investigated by flow visualization. The results are compared with similarity laws for the rolling-up of vortex sheets in plane flow. The unsteady flow field in the nozzle-exit plane is measured by laser anemometry. The vorticity distribution in the boundary layers at the inner and outer nozzle wall and the vorticity flux through the exit plane are derived from the measurements. The flow conditions measured at the nozzle are used to explain the production of the ring-vortex circulation (measured three nozzle-diameters downstream) in relation to the generation conditions.

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Zusammenfassung Durch Strömungs-Sichtbarmachung wird für Ringwirbel, die an einer kreisförmigen Rohrmündung in Wasser erzeugt werden, der zeitliche Verlauf des Aufrollvorgangs untersucht und mit Ähnlichkeitsgesetzen für die Aufrollung von ebenen Wirbelschichten verglichen. Aus Messungen des instationären Strömungsfeldes im Mündungsquerschnitt mit einem Laser-Anemometer wird die Wirbelstärke-Verteilung in den Grenzschichten an der inneren und äußeren Rohrwand sowie der Wirbelfluß durch den Mündungsquerschnitt bestimmt. Dadurch wird die Entstehung der Zirkulation, die im fertig ausgebildeten Ringwirbel drei Rohrdurchmesser stromabwärts gemessen wird, in Abhängigkeit von den Erzeugungsbedingungen verständlich.

     

Further considerations of resonant oscillations in open tubes

Summary The problem investigated is that of a gas column contained in a tube which is open at one end and closed at the other by a periodically oscillating piston. A previous investigation by the present author showed that the effects of nonlinear amplitude dispersion may play a crucial role for this problem. In the course of this previous investigation a difference equation was derived which accounts for the effects of nonlinear distortion of the solutions. The present investigation shows that with the help of a suitable transformation this difference equation can be simplified considerably. Indeed, the proposed transformation makes the analysis which accounts for amplitude dispersion as simple as an analysis using small-amplitude expansions which does not account for amplitude dispersion. Furthermore, for certain boundary conditions at the open end, solutions can be found analytically.

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Zusammenfassung Betrachtet wird eine Gassäule in einem Rohr, welches an einem Ende durch einen periodisch schwingenden Kolben abgeschlossen und am anderen Ende offen ist. Eine frühere Untersuchung des Autors hat gezeigt, daß die Effekte der nichtlinearen Amplitudendispersion für das vorliegenden Problem eine wesentliche Rolle spielen können. Im Rahmen dieser früheren Untersuchung wurde eine Differenzengleichung hergeleitet, in welcher die Effekte der nichtlinearen Verzerrung von Lösungen berücksichtigt sind. Die vorliegende Untersuchung zeigt, daß diese Differenzengleichung mit einer geeigneten Transformation beträchtlich vereinfacht werden kann. Die vorliegende Transformation vereinfacht die Lösung des Problems in einem solchen Ausmaß, daß eine Untersuchung, welche die Amplitudendispersion berücksichtigt, (im Vergleich zu einer Behandlung des Problems mit Entwicklungen nach kleinen Amplituden) keine zusätzlichen Schwierigkeiten mit sich bringt. Außerdem können für bestimmte Randbedingungen am offenen Ende Lösungen auf analytischem Weg gefunden werden.

     

The finite deformation of a pressurized circular tube for a class of compressible materials

This investigation is concerned with the problem of a hollow circular cylinder subjected to uniform internal and external pressure within the equilibrium theory of finite elasticity. The tube is composed of homogeneous, isotropic,compressible materials of special type, namely harmonic materials. Explicit closed-form solutions for the deformation and stress fields are obtained. The true stress distribution, expressed as a function of the undeformed coordinates, is shown to be essentially independent of material properties. The two cases of internal pressure only, and external pressure only, are examined in detail. In the former case, there is a critical value of the applied pressure at which the maximum hoop stress in the tube, occurring at the inner surface, becomes unbounded. Results appropriate for thin shells are also obtained. For the case of external pressure only, a critical value of the applied pressure exists for which closing of the cavity is predicted. For nearly solid cylinders, or equivalently, for a cavity in an unbounded medium, explicit results are provided for the corresponding stress concentration factor.Furthermore the stability of the preceding equilibrium states is investigated by employing a standard linearized perturbation scheme. It is found that an internally pressurized tube is always stable in the range of interest whereas an externally pressurized tube buckles prior to cavity closure.

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Zusammenfassung Die Untersuchung befaßt sich im Rahmen der Gleichgewichtstheorie fmiter Elastizität mit dem Problem eines Hohlzylinders, der einem gleichförmigen inneren und äußeren Druck ausgesetzt ist. Das Rohr besteht aus homogenen, isotropen,kompressiblen Materialien eines speziellen Typs, nämlich harmonischen Materialien. Explizite Lösungen in geschlossener Form werden für Verformung und Spannungsfelder erhalten. Es wird gezeigt, daß die Verteilung der wahren Spannung in Abhängigkeit von den unverformten Koordinaten im wesentlichen unabhängig von den Materialeigenschaften ist. Die beiden Fälle, nur innerer Druck und nur äußerer Druck, werden detailliert behandelt. Im ersten Fall gibt es einen kritischen Druck, bei dem die maximale Tangentialspannung im Rohr, und zwar an der inneren Oberfläche, über alle Grenzen wächst. Es werden außerdem Ergebnisse erhalten, die für dünne Schalen zutreffen. Im Fall eines ausschließlich äußeren Drucks existiert ein kritischer Druckwert, bei dem ein Schließen des Hohlraums vorhergesagt wird. Für annähernd massive Zylinder, oder damit gleichbedeutend, für einen Hohlraum in einem unendlichen Medium, werden explizite Ergebnisse für den entsprechenden Spannungskonzentrationsfaktor vorgelegt.Darüberhinaus wird die Stabilität vorausgehender Gleichgewichtszustände durch Anwendung eines üblichen linearisierten Störungsschemas untersucht. Es wird gefunden, daß das Rohr unter Innendruck im interessierenden Bereich immer stabil ist, während ein Rohr unter Außendruck einknickt, bevor sich der Hohlraum schließt.

     

Untersuchungen zur Bestimmung der optimalen Organisation von Instandhaltungsarbeiten an Fertigungsmaschinen bei Werkstättenfertigung anhand eines Simulationsmodells

Zusammenfassung Im folgenden wird ein Modell der integrierten Instandhaltungsablaufplanung gezeigt, bei welchem durch sehr praxisnahe Annahmen eine analytische Lösung nicht möglich war, so daß das Problem simuliert werden mußte. Wegen der hohen Rechendauer des Modells wurden nur zwei Beispiele durchgerechnet. Anhand einer größeren Werkstätte wurde die Funktionstüchtigkeit des Algolprogrammes gezeigt. Untersuchungen an einem Modellbeispiel zeigten, daß durch vorbeugende Maßnahmen und durch die Anwendung von Prioritätsregeln die Instandhaltungsplanung wesentlich verbessert werden kann und daß eine solche Verbesserung nur bei integrierter Planung mit Sicherheit eintritt.

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Summary This essay shows a model considering both—maintenance policies and dispatching maintenance jobs. Practical assumptions prevent an analytical solution. Therefore a simulation model was developed. Because of high computer's processing time only two examples were considered, of which the first shows the effectiveness of the Algol-program at practical shop-sizes. Some researches with a model-like example show better results by use of preventive maintenance and priority rules with certainty only if an integrated planning is assumed.

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Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Wirtschaftswissenschaften (Dr. rer. pol.) genehmigten Dissertation.

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Vorgel. v.:J. Heinhold.     

Über unendliche algebraische Zahlkörper

Ohne ZusammenfassungErich Stiemke, geboren am 12. April 1892. fiel am 10. September 1915 auf dem östlichen Kriegsschauplatz. Auf Grund der vorliegenden Arbeit wurde er im Juli 1914 von der philosophischen Fakultät der Berliner Universität zum Doktorexamen zugelassen. Aus äußeren Gründen kommt die Arbeit erst jetzt (in unveränderter Fassung) zum Abdruck.Aller Rechnung fern, nur an den Begriffen selbst sich orientierend. mit wunderbarem Blick für das Wesentliche der Dinge — so hat dieser Zweiundzwanzigjährige eine Arbeit geschaffen, die durch die seitherige Entwicklung an keiner Stelle überholt ist. Diese neuere Entwicklung der Idealtheorie geht zu möglichst allgemeiner Struktur der Zerlegungssätze über. unter Beibehaltung wesentlicher Endlichkeitsbedingungen in Form von Kettensätzen; während hier die Endlichkeitsbedingungen möglichst gelockert werden, die Struktur der Zerlegung weitgehend beibehalten wird. Die Ver bindung beider Gesichtspunkte wird der Idenltheorie neue Gebiete erschließen.     

Energy methods for a parabolic-hyperbolic interface problem arising in electromagnetism

We consider a two-dimensional problem arising from the interaction of electromagnetic waves traveling in air with a metallic body. This problem leads to a parabolic equation inside the body and a hyperbolic equation outside; the two equations interact through jump relations across the boundary of the body. We prove the existence of solutions using energy estimates in conjunction with a Galerkin argument. We also remark on how to obtain similar results in the three-dimensional case.

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Zusammenfassung Wir betrachten ein zweidimensionales Problem, welches bei der Wechselwirkung einer sich in Luft ausbreitenden elektromagnetischen Welle mit einem metallischen Objekt auftritt. Dieses Problem führt auf eine parabolische Gleichung innerhalb des Objekts und eine hyperbolische Gleichung außerhalb; die beiden Gleichungen sind durch Sprungbedingungen an der Grenzfläche gekoppelt. Wir zeigen die Existenz von Lösungen mittels Energieabschätzungen in Verbindung mit einem Galerkin-Argument. Es wird auch angedeutet, wie man ähnliche Resultate im dreidimensionalen Falle erhält.

     

An interior point method for nonlinear programming

Summary In this paper an interior point method is presented for nonlinear programming problems with inequality constraints. On defining a modified distance function the original problem is solved sequentially by using a method of feasible directions. At each iteration a usable feasible direction can be determined explicitly. Under certain assumptions it can be shown that every accumulation point of the sequence of points constructed by the proposed algorithm satisfies the Kuhn-Tucker conditions.

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Zusammenfassung Im vorliegenden Beitrag wird eine Innere-Punkt-Methode zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme mit Ungleichungsrestriktionen vorgestellt. Mit dem Begriff der modifizierten Distanzfunktion und mit Hilfe einer Methode der zulässigen Richtungen wird das ursprüngliche Problem sequentiell gelöst. Bei jeder Iteration kann eine brauchbare zulässige Richtung explizit angegeben werden. Unter geeigneten Voraussetzungen wird gezeigt, daß jeder Häufungspunkt der Folgenpunkte, die durch den dargestellten Algorithmus konstruiert werden, die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt.

     

Comments on extended pressure-strain correlation models

The importance of including additional terms for rapid distortion and return to isotropy in the modeling of the pressure-strain correlation in turbulent shear flows under the influence of external body forces is examined. Simplications of the Reynolds-stress equations are made by invoking the two-dimensional boundary layer approximations and assuming that production of turbulence energy balances viscous dissipation. Results indicate that for small external body forces a Monin-Oboukhov formula for the mixing-length is again obtained. However, the effects of the additional rapid distortion and return to isotropy terms on the formula are negligible when compared with the use of the simple return to isotropy term proposed by Rotta. In view of this, significant improvement on mixing-length closure models could not be obtained by refining the simple Rotta model for the pressure-strain correlation.

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Zusammenfassung Die Wichtigkeit des Einschlusses zusätzlicher Ausdrücke zur Berücksichtigung schneller Formänderung und Rückkehr in den isotropischen Zustand beim Aufstellen des mathematischen Druck-Formänderungskorrelationsmodelles in turbulenten Strömungen mit Scherspannung unter Einfluß äußerer Körperkräfte wird untersucht. Vereinfachungen der Reynolds-Spannung unter werden durch die Anwendung der zweidimensionalen Grenzschichtnäherungen und auch durch die Annahme, daß die Erzeugung turbulenter Energie die viskose Dissipation ausgleicht, erreicht. Ergebnisse haben gezeigt, daß man für kleine äußere Körperkräfte wieder eine Monin-Oboukhov-Gleichung für die Mischstreckenlänge erhält. Der Einfluß der zusätzlichen schnellen Formänderung und der Rückkehr in den isotropen Zustand auf die Gleichung ist jedoch vernachlässigbar, wenn man ihn mit dem von Rotta vorgeschlagenen Ausdruck zur Berücksichtigung der Rückkehr in den isotropen Zustand vergleicht. Aus diesem Grunde war es nicht möglich, eine bedeutende Verbesserung von Modellen für Mischstreckenlängen durch Verfeinerung des einfachen Rotta-Modelles für die Druck-Formänderungskorrelation zu erreichen.

     

Numerical solution of a singular integral equation appearing in magnetohydrodynamics

The numerical solution for the velocity and induced magnetic field has been obtained for the MHD flow through a rectangular pipe with perfectly conducting electrodes. The problem reduces to the solution of a singular integral equation which has been solved numerically. It is found that as the Hartmann number is increased the velocity profile shows a flattening tendency and the flux through a section is reduced. Also as compared with the case of nonconducting walls the flux is found to be smaller. Graphs and tables are given for the solution of the integral equation and the velocity and induced magnetic field.

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Zusammenfassung Für den MHD Fluß durch ein rechteckiges Rohr mit gut leitenden Elektroden wurde die numerische Lösung für die Geschwindigkeit und das induzierte Feld ermittelt. Das Problem ließ sich auf eine singuläre Integralgleichung zurückführen, die numerisch gelöst wurde. Es hat sich herausgestellt, daß wenn die Hartmann-Zahl größer wird, das Geschwindigkeitsprofil eine Tendenz zur Abflachung zeigt und der Fluß durch den Querschnitt zurückgeht. Im Vergleich mit dem Einsatz von nicht leitenden Wänden wurde ebenfalls ein geringerer Fluß festgestellt. Für die Lösung der Integralgleichung, die Geschwindigkeit und das magnetische induzierte Feld sind graphische Darstellungen und Tabellen angegeben.

     

A simple model for the fast transverse discharges used in pumping high-pressure gas lasers

Zusammenfassung Für die Anregung von Hochdruck-Gaslasern werden schnelle transversale Entladungen benutzt, die eine Art quasi-stabiler Glimmentladungen darstellen. Wir schlagen ein sehr vereinfachtes Modell vor, das solche Entladungen auf Grund einer Leistungsbilanz erklärt. Die durch das angelegte elektrische Feld an das Elektronengas gelieferte Leistung muß der durch Stöße mit den Gasmolekülen verlorenen Leistung der Elektronen gleich sein. An Hand einer numerischen Berechnung zeigen wir, daß dieses Modell eine akzeptable erste Näherung darstellt, daß es aber nicht zulässig ist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Elektronenenergie anzunehmen. Der wahrscheinliche Grund dieser Glimmphase wird auch kurz besprochen, und wir können damit zeigen, warum es äußerst wichtig ist, daß die Anstiegszeit der angelegten Spannung auf einem Minimum gehalten wird.

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This work is part of a joint program between Brown, Boveri & Cie. AG and the Swiss Federal Institute of Technology.     

Transient response of inhomogeneous thermoelastic media to a dynamic input

A problem involving a half-space or an infinite space with a cylindrical or spherical cavity subjected to a uniform dynamic input on its surface is studied. The material is elastic and has an inhomogeneity in the direction perpendicular to the boundary surface for the half-space problem and an inhomogeneity in the radial direction for the problem with a cylindrical or spherical cavity. The numerical results, obtained when the dynamic input is a step pressure, indicate that the wave profiles are influenced by two kinds of dispersions: one caused by thermal effects and the other by inhomogeneity. The influence of thermal dispersion is observed more pronouncedly along the initial portion of wave profiles. Compared to the homogeneous case the inhomogeneities in which Lamé's constants increase and decrease with the distance measured from the boundary have respectively amplifying and attenuating effects on both the axial stress and velocity.

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Zusammenfassung Das Problem der gleichmässigen dynamischen Belastung an den Grenzen eines halbunendlichen Körpers oder eines unendlichen Körpers mit einem zylindrischen oder sphärischen Halbraum wurde untersucht.Der Körper ist elastisch und enthält Inhomogenitäten, im halbunendlichen Körper in der Richtung senkrecht zur Grenzebene und im unendlichen Körper mit Hohlräumen in radialer Richtung. Die numerischen Ergebnisse, die für eine Belastung nach einer Schritt-Funktion erzielt wurden, zeigen dass die Profile der Ausbreitungswellen von zwei Streuungen beeinflusst sind: die erste ist eine Folge der thermischen Effekte, die zweite eine solche der Inhomogenitäten. Der Effekt der thermischen Zerstreuung ist im anfänglichen Bereich der Profile stärker. Im Vergleich zum homogenen Fall hat die Zu-beziehungsweise die Abnahme der Lamé'schen Konstanten mit dem Abstand von der Grenze erhöhenden beziehungsweise vermindernden Einfluss sowohl auf die axiale Spannung als auch auf die Geschwindigkeit.

     

A special transformation of the differential equations describing blown arcs

Zusammenfassung Zur Untersuchung der Wechselwirkung von Lichtbögen mit Gasströmungen wird eine Transformation der Differentialgleichungen vorgeschlagen. Und zwar wird anstelle einer Ortsvariablen die Temperatur als unabhängige Variable gewählt.Die Nichtlinearitäten der Ausgangsgleichungen, die durch die Temperaturabhängigkeit der Transportfunktionen bedingt sind, werden dadurch behoben. Ferner ergeben sich Vorteile bei der Untersuchung des Stabilitätsverhaltens von Lichtbögen und vor allem bei numerischen Lösungen der Gleichungen.Für letzteres werden zwei typische Beispiele angegeben. Für einen axial sehr stark angeblasenen Bogen in einer Lavaldüse wird ein Lösungsbeispiel behandelt. Ferner wird das bekannte Problem des abklingenden zylindersymmetrischen Bogens diskutiert.     

Optimal selection from a gamma distribution with unknown parameter

This paper considers the adaptive version of the optimal stopping problem where values attached to successive alternatives are generated from a gamma distribution with unknown parameter. The form of the optimal policy turns out to be simple: pass over the first several alternatives and thereafter accept the first alternative whose value exceeds the critical value that is a function of previous observations.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird ein Stoppexperiment behandelt, bei dem die Beobachtungen stochastisch unabhängig und gamma-verteilt sind mit unbekanntem Skalen-Parameter.Es wird das Problem des optimalen Stoppens gelöst, das durch die Betrachtung von konjugierten a priori Verteilungen entsteht. Die optimale Stoppregel ist dabei von folgender einfacher Gestalt: Man macht zunächst eine vorgegebene Anzahl von Beobachtungen und stoppt danach, sobald der Beobachtungswert eine kritische Grenze überschreitet, die sich aus den vorher erhaltenen Werten berechnen läßt.

     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

Gravitational spreading of heavy gas clouds instantaneously released

The gravitational spreading of heavy gas clouds, instantaneously released, is analyzed on the basis of the thin layer equations. These equations have been obtained from the full equations of motion using plausible assumptions with regard to the vertical profiles of velocity and density. The present analysis is limited to the isothermal case without heat transfer, but it can be generalized to include the thermal problem associated with LNG and LPG spills.Solutions to the governing unsteady equations are obtained through similarity transformations based on the assumption that the leading edge constitutes an intrusion front moving at a speed proportional to an unknown power of time. Solutions are presented both for the case of an undiluted cloud slumping to the ground and for cases with entrainment. Various mixing models are considered involving entrainment either at the top or at the front. A possible coupling between these models is also discussed. Exact solutions are obtained for seemingly plausible entrainment models and rates, but these do not always lead to physically realistic results. The solutions obtained include both the initial slumping mode and the growing mode associated with entrainment, and for large times the latter becomes dominant. In the limit of a highly diluted cloud for which the Boussinesq approximation is valid, the present solutions become identical with those recently published by Rosenzweig.

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Zusammenfassung Die Ausbreitung plötzlich ausgelöster schwerer Gaswolken wird wie eine dünne Schicht analysiert. Diese Gleichungen werden von den vollen Bewegungsgleichungen mittels plausibler Annahmen über die vertikale Geschwindigkeits- und Dichteverteilung gefunden. Die vorliegende Analyse ist auf den isothermen Fall ohne Wärmeaustausch beschränkt, aber kann für das thermische Problem (beim Ausfluß von LNG und LPG) verallgemeinert werden.Die Lösungen für diese nicht-stationären Gleichungen werden mittels Ähnlichkeitstransformationen gefunden, welche sich auf die Annahme stützen, daß die Vorderkante der Front eine Geschwindigkeit hat, die proportional zu einer unbekannten Zeitpotenz ist. Lösungen sind für den Fall einer fallenden unverdünnten Wolke und für den Fall mit Eindrängungen entweder an der Oberfläche oder an der Front beschrieben. Eine mögliche Kopplung zwischen diesen Modellen wird auch diskutiert. Exakte Lösungen werden durch plausible Eindrängungsmodelle gefunden, welche aber nicht immer zu physikalisch realistischen Resultaten führen. Die gefundenen Lösungen beziehen sich auf den Typ mit Anfangsbedingung ohne Eindrängung, in dem die Höhe immer reduziert wird, und auch auf die Typen mit Eindrängung und wachsenden Höhen. Für große Zeiten ist der letztgenannte Typ dominant. Bei der Grenze einer sehr großen, verdünnten Wolke wo die Boussinesq-Approximation gilt, wird die gegebene Lösung identisch mit der neuerlich publizierten Lösung von Rosenzweig.