中学解析几何課中有关参数方程教学的几个問題

大家知道,在平面上引入直角坐标系以后,一般的曲线可以用普通方程 F(x,y)=0 (1)或参数方程来表示。参数方程起源于物理学上的应用,特别是在力学里,经常用参数方程表示质点的运动方程,其中参数t表示质点运动的时间。一个具体力学问题,如果一经作成质点的运动方程,则力学问题就可化为数学问题求解。为了进一步研究一般曲线,我们把参数t表示时间的具体意义抽象掉,于是参数方程(2)就可以看作是一般曲线的方程。因此对曲线参数方程的概念以及有关曲线与它的参数方程如何互相为用的问题,就很有研究的必要了。现在仅就现行中学平面解析几何课本参数方程一章中的主要概念与方法,提出一些个人看法,其中也涉及某些具体问题的处理,与同志们共同研究。内容包括:(一) 曲线参数方程的定义;(二)曲线的参数方程与普通方程的互化;(三) 由参数方程画图;(四) 利用参数建立轨迹方程。     

有关同时学习数学課程中某些題目的問題

在数学教学方法中,有一种是以下列原則为出发点的:“……向儿童介紹不同的新概念,不要同时讲解,而要在不同时間,分別地讲解”。这个原則初看起来似乎很对,并且也是許多人所贊同的。但是,如果这些新概念之間有着密切的联系(例如,类似的或者互逆的),那么同时引进这些概念,     

中学几何作图中的几个問題

关于中学几何中作图題部分的教学目的与材料間題是目前教学中一个討論的、还未得到完全統一認識的問題。在本期內,我們选登了别列标尔金和瑪斯諾娃两位同志的关于中学几何作图方面的两篇文章,供有关同志們参考,希望能在本刊上撰文,对这个問題作进一步的討論。     

中学三角教学中的两个問題

一、三角学中的恒等变換 我們知道,加法定理以及由加法定理推出的各种公式(指簡化公式,倍角半角公式,积化和差、和差化积公式等等)与基本三角恆等式是三角恆等变換的基础。这些恆等变換就其作法来說不尽相同,因而很难給出一般的法则,也很难預知各种能以簡化的因素。要作到合理变换,除必須依靠不断实践和树立頑强学习精神外,还必須相应地掌握一些解題的技能和技巧。下面就用倍角的正弦和余弦的代数和表示正弦和余弦的方冪公式(或簡称‘降冪公式’)以及积化和差等問題談談自己的一些体会: 1.关于用倍角的正弦     

三角函数綫教学的几个問題

一、三角函数綫在三角教学中的地位与作用中学三角的基本任务有三:第一、研究三角函数及其性质;第二、研究三角形解法;第三、讲授三角在其它学科上的实际应用。其中,三角函数及其性质的研究,是三角学的基础知識,是三角学的中心。高中三角的前三章,对完成这一任务,有突出重要的地位。在这部分内容中,单位圆和三角函数綫的地位与作用又很突出。主要表現在以下三个方面: 1.是巩固与加深三角函数概念的重要手段。三角函数定义,是研究三角函数的基础。单位圆及三角函数綫,利用几何形象,把三角函数概念直观地表現了出来,既有助于定义的理解与巩固,又为利用几何方法研究三角函数創造了条件。 2.是研究三角函数性貭及其关系的有力工具。三角函数基本性貭及其相互关系的研究,如三角函数定义域、三角函数周期性、增減性、奇偶性、有界性、基本关系式、誘导公式等等,多是借助于单位圓与三角函数綫进行研究的,通过把三角函数用綫段表示,将三角     

也談中学初等几何課的設置問題

本刊1964年第11期发表了莫绍揆同志关于中学初等几何课设置问题的文章,提出了当前中学初等几何课存在的问题、产生问题的原因及解决问题的建议。莫同志对中学数学教学是热情关切的,提出的问题一部分也是中肯的。但总的说来,莫同志在文中对问题的分析以及由此作出的结论还是值得商榷的。目前中学初等几何课的确部分地存在着“先难后易”等缺点,既不能很好地完成训练学生空间概念方面的任务,又不能很好地完成训练学生逻辑推理能力的     

从几个問題来看現行的中小学数学課本

党的八大二次会議提出了社会主义的总路綫,其中提到“在继续完成經济战綫,政治战綫和思想战綫上的社会主义革命的同时,逐步实現技术革命和文化革命。”現在全国的文化教育事業,已經在逐步改革,已經在研究全国的,或适应于地方的新的教学計划。数学科的教学时数和教学內容,也將有所改变,因此势必將牽涉到数学教材的改革。同时耍解决数学教     

关于复习課中的例題选择問題

为了使学生获得系統而牢固的知識,需要經常进行复习。复习課較难組織。这是由于要通过复习課把学生所获得的知識系統化,深刻化,不仅要把学生所学过的知識重新由記忆中呈現出来,同时还要闡明所学問題的某些新的方面,在重新理解旧知識的基础上,扩大、加深和修正某些概念,补足在知識或技能上某些缺陷,最后使学生获得系統、完整而牢固的知識,显然在有限时間內完成这个任务是有困难的。这就提出了这样一个問題,就是怎样在有限时間內,发揮复习課的最大效能。根据笔者在教学实践中的体会,我认为在复习課中有計划的选择适当的問題和例題,是解决上述問題的极为重要的一环。 現在把我在这方面的一些作法和看法写在下面: 一、选择典型性題目,变化題目的条件,分析比較,使学生掌握解这种問題的一般規律。比如在复习多面体这个单元时,选择了下面的一个例題,“已知正四棱台上下底面的边长分别为a和b,側面和底面所成的角是60°,求它的高、斜高、側面积、全面积和体     

当前中学数学課程中存在的問題

随着祖国社会主义建設的连续大跃进,第二个五年計划提前三年完成了。科学文化事业也正向着高精尖发展。不久的将来,我国将实現全盘电气化、自动化,原子能也将作为动力。現代数学理論如非线性常微分方程、偏微分方程、复变函数理論和概率理論等也已广泛地被科用。然而,現行中学数学教育是不能适应这种要求的,因为它的內容是十六、十七世紀以前的东西。总路綫要求我們多快好省地培养又紅又专的建设人材,显然,如果继续按旧系統来进行培养,是远远不能适应現代化生产和科学技术发展的需要的。这与总路线精神是不相符合的,是与广大工农羣众迫切需要掌握現代化生产所必須具有的基本工具——数学——的愿望相违背的。因此,数学必須来个彻底的、根本性的改革。大破以前的旧系統,重新建立起符合社会主义建设需要的、符合現代化生产和尖端科学技术发展的嶄新的完整的中学数学教材系统。     

談談数学課內練习的問題

在数学教学中,使学生加强练习,目前已为各方面所注意了。但是对怎样加强练习,看来认識还不統一。譬如,由于采用了不恰当的多练方法,过多地加重了課外练习的数量和强度,以致使学生的学习負担显著增加。这样不但不能达到提高教学质量的目的,相反地可能还会降低质量,下面就立体几何談談笔者对于加强练习問題的一些做法与体会,不当之处請同志們指教。练习应当包含两方面:一是課外练习,一是課內练习。而課內练习往往容易被人忽視,也是做起来比較困难的一环,但它却是练习中必不可少的环节,这是因为: 第一,它是加深理解和巩固所学基本知識与灵活运用基本知識的重要环节,是防止遺忘的良好办法,我們大家都有这样的体会,那就是即使教师教得很好,也还下能保証学生能全部掌握所学的內容,尤其是对     

中学平面解析几何課中“直綫”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“直线”这部分的具体内容主要包含“直綫的傾斜角和斜率”、“直綫方程的一般形式”、“直綫方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式”、“点与直线的位置关系”、“直綫与直綫的位置关系”等五部分。其中直綫的傾斜角和斜率这一部分,有些課本是放在第一章直角坐标系中讲的。在这五部分的教材中,一般常是这样編排的: 1.直綫的傾斜角和斜率; 2.直綫方程的点斜式、斜截式,两点式、截距式; 3.直綫方程的一般形式;     

“三角函数周期性”教学中的几个問題

本文对“三角函数周期性”这一节教材在实际意义上,在研究問題方法上,在教学思想方法上,在对教材处理上作一番探討。因限于作者的水平,錯誤难免,希望得到同志們的批評和指正。問題的提出为什么要对“三角函数周期性”这一节教材进行教学上的探討呢?我現在陈述如下: 第一,我們在0°—360°的三角函数的基础上,根据函数的一般概念,定义了任意角α的六种对应关系,并且专門給了这些对应关系的命名,它們分別称为任意角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数,統称为三角函数。这种定义任意角α的六种对应关系的科学性乃是由科学的欧几里得几何和严格的实数理論給予保証。     

圓錐截线教学中的几个問題

(一) 本单元教学在平面解析几何的教学中的地位和作用根据中学数学教学的总要求,以及该学科的教学要求,不难看出:直线和圆锥截线是该学科教学的重点。然而两相比较,圆锥截线的教学则又是重点中的重点。理由如下: 1.圆锥截线的教学,是使学生对于直角坐标系中曲线和方程的相互关系的认识,达到全面、深刻的极重要(也是最后)的阶段。曲线和方程的相互关系是指:曲线方程的概念,已知曲线求它的方程,已知曲线的方程求作曲线。这些知识虽然在第一章内作了较系统的阐述,然而由于学生是初次学习,很难使他们一下子就牢固地掌握住这些知识的实质;在第二章直线中,这些知识又得到了进一步的印证,但是由于所处理的曲线十分简单,因此还不能使学生对这些知识得到全面、深刻的认识。而圆锥截线则能充分地体现出这些知识的精神实质。譬如,由曲线求它的方程的关键问题之一,是能根据曲线的特征,妥善地选择坐标系。这一点,是决定解析法是否简便的关键。对于圆锥截线的讨论,     

谈談中学几何課中計算問题的教学

在最近一个时期內,很多数学工作者,特别是从事中学数学教育工作的同志們,都在热烈地討論中学几何課的設課目的和任务,以及有关教学方法問題;并且討論的范围除了已經涉及到內容安排的問題外,也进一步涉及到了中学几何教学中发展学生邏輯思維能力的問題。显然,这是非常必要的,因为只有通过这样的討論、研究,才能更好地改进中学几何教学。但是就笔者所知,有关中学几何課中的作图和計算方面的問題,尤其是有关計算問題的教学目的和要求以及如何进行教学等,似乎討論的还不多,因此笔者愿从这个方面——中学几何課中的計算问题(以下略称几何計算)发表一些个人的看法,提供同志們参考,并希望有助于問题的討論。     

在高中一年級讲三角課时遇到的几个問題的商榷

(一) 在中学里,为了便于指导学生閱讀課本,培养他們独立工作能力,应当依照現行課本的教材順序进行教学。不过目前数学各种教材正处在逐步下放阶段,彼此銜接方面有些还不够紧密,而高中一年级的代数与三角两門課间脫节現象更为显著。在高一三角課中,首先讲三角函数定义时,要依賴于相似形的性貭与函数的概念作为基础。但是在代数里还沒讲到函数,没有函数概念的初步知識而进行研究三角函数作为一种具体的函数性貭时,对于这門知識的理解与运用来說,都将使学习受到一定程度的困难与缺陷。所以应当使学生了解函数的概念后再进一步讲三角函数的定义是完全有必要的。这样,就必然需要对現行課本中的部分教材,从順序安排方面作适当处理,才能适应于教学。怎样安排更好?个人意見是这样: 第一,开始讲三角新課前,先把函数的概念讲一些基本知識,包括常量、变量、对应关系及函数的符号与表达式等,为讲三角函数定义作好准备。如果采取这种方法,应注意下列两点: 1.讲函数的概念,不宜占用过多的課时,內容也不宜过广。主要以能够适应讲三角新課时的需要为准; 2.与代数里所讲函数概念的教材內容要一致,課     

关于中学几何教学中的几个問题

(一) 最近我們有机会訪問了北京的几个中学,了解了一些数学教学的情况,接触到了一些問題,感到在中学几何教学的实践过程中,以及教师对几何教学的看法上有下列的一些情况:一是认为十二年制的几何教材是脫离实际的,因而需要加强几何材料与实际的联系。为此,注意了几何概念的实际引入,并且加强它的实际应用的內容,但是在实践过程中个別教师却或参或少地忽视了理論,忽祝了把实际問題上升为科学的概念的必要性,忽視了邏輯推理的重要性,忽視了几何教学在培养学生的邏輯思维能力方面的作用;二是知道提高几何的理論水平是重要的。但是在教学中不敢要求学生,怕在理論上、推理上严格要求学生就是維护“旧框框”;三是认为理論与实际的結合是重要的,在教学中也敢于要求学生,但不太明确应該要求到什么程度。总之,在最近期间教师们还是比較注意了加强理論与实际的結合,但是在对理論与推理的要求方面却反映了不要、不敢、不明确的三种情况。这些問題的討論涉     

新編平面解析几何中几个天文問題簡介

高級中学課本平面解析几何(人民教育出版社出版,1963年第一版)中适当地介紹了解析几何在各方面的应用。本文仅就涉及到天文方面的某些問題,稍作說明,供正在鉆研这一課本的同志們参考。 1.地球是一个椭球体。課本在总复习題的第17題中提出地球的子午綫是一个椭圆,压縮率α=1/300。这个問題是这样的:我們設想把占地球表面3/4的海平面延伸和穿过大陆,就得到所謂“大地水准面”。这个大地水准面“第一次近似”于一个圓球面,在这个圓球面上通过南北两极的大圓称为子午綫。当月蝕現象发生时,就能看到地球在月亮上的影子始終为圓弧形,这就証明了只有地球近似于圓球形物体,其影子才能为圓弧形。基于这一了解,紀元前三世紀时,大地测量学者埃拉托斯芬在埃及亚历山大城,通过对子午綫弧的測量来算出地球子午綫周长約为40,000公里,地球半径約为12,700公里。由于测量仪器的精确度的限制,他所     

中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

对数学課程設置問題的意見

我們对这个問題的意見如下: 小学在小学五年中将算术課程全部学完(刪去现行教材中的一些无实际作用的四則难題,增添与生产实际、生活实际相联系的計算題),其中包括簡单的几何图形和簡易的面积,体积的計算,統計图表以及有关代数学中的負数,簡易方程等材料(給将来在中学一年級学习代数創造条件)。初中代数讲到二元二次联立方程組。平面几何要大量刪去陈旧落后,煩琐无用的內容,增添与生产建设有关的內容和三角函数,簡易測量及簡易繪图知识,并全部讲完。高中代数課,要增加概率論和綫性規划的初步知識。在立体几何和制图課中,要大量精簡立体几何的論証部分,增添球面几何和非欧几何简介;在制图中,要讲些平行投影法,中心投影法和它們的基本性质等知識。三角課,要增添球面三角内容。增设平面解析几何和微积分大意。至于計算上所使用的图、表、简     

試論师范学院数学系解析几何課程的內容取舍問题

现在高级中学已开设了平面解析几何课程,因此对师范学院的解析几何课程需要重新考虑教学大纲我们怎么办?是不是可以取消这门课?当然我们不能这样做。这不仅由于解析几何中的基本知识和方法对学习高等代数、数学分析、高等几何、微分几何等课程起着很大的作用,而且从将来要担任中学数学的教学工作着想,也还有不少材料在中学里并沒有读到,或仅仅是初步地理解。对这门课程中具有重要意义的一些內容,有必要让学生切实掌握。我们认为这个阵地必须坚持,质量必须确保,否则将不利于奠定学生的学习基础。因此有必要研究师范学院数学系解析几何课程的內容取舍问題。