圆的直径式方程及其应用

<正>圆的标准方程,一般方程及参数方程是同学们比较熟悉的圆的方程三种形式,是高考必考点之一,也是同学们必需掌握的内容,但圆的直径式方程,虽然考纲没有明确要求,但一些与圆的直径有关的问题,若巧妙利用圆的直径式方程求解,常能化繁为简,化难为易,收到事半功倍的效果!本文列举数例阐述圆的直径式方程的妙用,以期达到抛砖引玉之效.     

圆系方程及运用技巧

具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系．利用圆系知识来求解与圆有关的问题,往往简捷明快,事半功倍．下面就常见的几种圆系方程及其技巧归纳如下．     

巧用待定系数法解决一类四点共圆问题

<正>圆锥曲线综合问题中,有一类是涉及四点共圆的问题.这类问题,如果按照传统的方法去解决,不仅运算量大,而且程序繁琐.不少同学深陷其中不能自拔,往往中途搁浅.最近,笔者和同学们一同在复习圆的相关知识过程中发现,如果巧用待定系数法,先设出曲线系方程,     

巧用直线的参数方程处理线段长度问题

直线的参数方程作为高中数学选修部分的内容,已经成为很多省份的高考考点．直线的参数方程在解题中的应用非常广泛,随着新一轮高中教材的改革,它的应用又呈现在大家的视线里．实际上,用直线的参数方程表示直线,在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题中涉及的长度问题时有其独到的优势,本文笔者以近两年的高考和竞赛中出现的试题为例,谈谈如何用直线的参数方程来处理有关线段长度问题．     

对新教材"圆锥曲线方程"一章的认识及教学体会

1　对新教材“圆锥曲线方程”一章的认识新教材“圆锥曲线方程”一章是在原教材《平面解析几何》的第二章“圆锥曲线”的基础上改编而来的 .原教材“圆锥曲线”一章包含了曲线与方程、圆、椭圆、双曲线、抛物线和坐标变换等六部分内容 .新教材把“曲线与方程”和“圆”两部分内容与“直线”合并成单独一章“直线和圆的方程”.由于新教材“平面向量”一章已包含了“平移”,故“坐标变换”这一小节这里已被删除 .于是 ,新教材又把椭圆、双曲线和抛物线另立一章为“圆锥曲线方程”,从而使得这一章的内容更独立、更系统、更统一、更与课题相吻合…     

关注整体，简化运算

笔者在进行“曲线与方程”的教学中，发现运算量大且运算繁琐是同学们普遍反应的难点．对此笔者也非常赞同同学们的观点，事实上，在处理圆锥曲线问题中，进行适量的运算是在所难免的，也是必要的，这有助于培养我们的基本数学素养——运算能力，是新课标所要求的．当然话又说回来，在解决圆锥曲线的问题中，若同学们能关注整体，合理利用好韦达定理，则繁杂的计算有时也可以变得简洁流畅．下面笔者列举几个例子，供同学们参考和学习．     

曲线与方程 圆

1　考点简析“曲线和方程” ,“圆”分别是“圆锥曲线”的第一大节和第二大节 .考试内容 :曲线和方程 .由已知条件列出曲线的方程 .充要条件 .曲线的交点 .圆的标准方程和一般方程 .考试要求 :掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念 .能够根据所给条件 ,选择适当的直角坐标系求曲线的方程 ,并画出方程所表示的曲线 .理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 ,能够初步判断给定的两个命题的充要关系 .掌握圆的标准方程和一般方程 ,能熟练利用圆的几何性质解决与圆有关的综合题 .根据已知条件求曲线的方程既是解析几何的主要内容 ,…     

用圆的极坐标方程证明定值问题

高中新课程把极坐标内容列入选修系列4,极坐标的应用又成为高中数学的热点．笔者主要介绍“圆心在（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程ρ=2acosθ”在几何定值证明中的应用,供高中数学教师阅读时参考．     

完全剩余系在数学解题中的应用

在新一轮数学课程改革中,“初等数论选讲”是课标教材选修系列4中的一个专题内容．近年来全国高中数学竞赛加试试题中也加重了初等数论内容的分量．因而了解初等数论的相关内容是非常必要的．本文谈谈完全剩余系在解题中的一些应用．     

判定直线与圆相切的常用方法

圆的切线是圆这部分内容中比较重要的内容,为此,本文介绍两种判定切线的常用方法,供同学们学习时参考.一、当直线(待定切线)与圆的公共点已明确时,则连结公共点与圆心得过公共点的半径,再证直线(待定切线)与此半径垂直.     

摆线方程教学的一点建议

现行中学数学教材中,介绍了摆线和圆的渐开线的方程。其推导方法与常见的解析几何教本中一样,独立推理.教学中,我们觉得如果利用圆和直线的参数方程,采取运动合成的办法来推导,可使方程的几何意义明显,而且容易记忆和推广.     

双曲线参数方程的推导及其应用

在现行中学数学教材中,虽然给出了双曲线方程的参数方程(φ为参数)但都未予以证明。那么方程中的参数φ的几何意义就不象直线、圆、椭圆、拋物线等参数方程中的参数那么明确和直观。因此不但给教学带来一些困难,而且学生学了双曲线的参数方程之后也不能用来解决有关问题。本文主要介绍双曲线参数方程的推导方法,并说明它的应用。     

巧用圆的一种方程解题一例

众所周知,我们已学过圆的标准方程、一般方程、参数方程,甚至还有圆的向量、复数方程等等．圆的方程真可谓济济一堂．但我们可能忽略了课本习题中给出的圆的另一种形式的方程,即平面直角坐标系内,以A(x1,y1), B(x2,y2)为直径端点的圆方程为(x-x1)(x—x2) (y-y1)(y-y2)=0,该方程具有轮换对称、简洁的特点．但平时其运用不多见,以下举例说明其妙用．     

点圆解题一“点”通

在平面直角坐标系中，以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程是（x—a）^2＋（y-b）^2=r^2．若r=0，则上述标准方程变为（x-a）^2＋（y-b）^2=0．此式表示的图形是平面直角坐标系中一个孤立的点C（a，b），常称该图形为“点圆”．应用点圆可简洁、巧妙地解决与直线和圆有关的问题．     

由简单图形开始思考——直线与圆的位置关系复习

直线与圆的位置关系是《全日制义务教育数学课程标准》(2011)中规定的比较重要的一部分内容,据此,苏科版九年级教材也在对称图形——圆这章中做了重点安排.前段时间在准备圆的复习课时,考虑到学生在学习圆的内容是对于直线与圆的位置关系掌握得不同,呈现了比较严重的两极分化,那么怎样在复习课中使所有的学生都能有所收获,使不同层次的学生在经过本节课的复习后都能有所进步,这是笔者这节课的出发点之一;其次,如何为一节复习课选择一个好的起点,也是重要的原因.带着这样两个问题,结合苏科版的教材,笔者准备了一节课.     

探究x0x+y0y=r2与x0x+y0y=x02+y02的几何意义

问题背景苏教版教材必修二P105有这样一道习题:已知圆C的方程是x2+y2=r2,求经过圆C上一点M(x0,y0)的切线的方程.同学们在处理该问题时给出以下的解答过程:如图1,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是k=     

圆的性质在椭圆中的推广及应用

笔者无意中发现圆的一些性质可以类比推广到椭圆中去,本文将圆的6条性质类比出椭圆的6条性质,以期抛砖引玉,激发起同学们的创造热情和类比发现意识．     

构造圆，借形解数

圆具有优美的代数形式——圆的普通方程,圆具有优美的三角形式——圆的参数方程．有些问题的代数形式或三角形式与圆的方程有关,如果限制在代数或三角范围中解决,往往比较麻烦。如果构造圆,并充分利用圆的几何特征,则会达到事半功倍的效果,且可开拓思路,激发学习兴趣．     

“在”某点处与“过”某点的切线

自从导数内容进入高中教材，导数便成为高考的新热点，应用导数的几何意义求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，但同学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析，引起错解．     

一道圆方程问题的解答与拓展探究

<正>圆的方程是高中数学的核心知识,在考试中经常与直线方程一同出现,形式灵活多样．如何解决已知直线与圆相交求圆方程的问题呢?下面对一道期末试题展开分析．1问题再现(2020届山东省滨州市高三上期末)在平面直角坐标系xO y中,A为直线l:y=3x上在第三象限内的点,B(-10,0),以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD,则圆C的标准方程为．