一类二阶齐次线性微分方程解的渐近性态

本文在 f(x)≤0且 f(x)∈C[a,+∞)的条件下,讨论了方程 y(?)+f(x)y=0的任一解 y(x)的极限(?)y(x),(?)y′(x)及(?),由此得到了任一解 y(x)存在渐近线的充要条件.所得到的若干结论推广了[1]的一些结果.     

一类广义Liénard系统解的有界性

获得了广义 Liénard系统dxdt=p(y) -F(x) ,　 dydt=-g(x) q(y)所有正半轨线有界的若干充分条件 ,推广改进了已有文献 [1— 1 2 ]中的相应结果 .     

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…     

关于一类二阶非线性双曲型方程全离散有限元方法的稳定性和收敛性估计

1　引　　言考虑如下混合问题 :φ( x,u) utt- di,j=1 xi( aij( x,u) u xj) - di=1bi( x,u) uxi =f( x,u)　　　　　　　　　　　　　　　 ( x,t)∈Ω× [0 ,T]u( x,0 ) =0 ,　 ut( x,0 ) =0　　 x∈Ωu( x,t) =0　 ( x,t)∈ Ω× [0 ,T]( 1 .1 )这里 utt= 2 u t2 ,uxi= u xi;Ω是 Rd 中充分光滑的有界开域 ,边界 Ω光滑 .对于 φ( x,u)中仅含有 x,或 φ( x,u)≡ 1的线性或非线性双曲型方程的半离散或全离散有限元方法的研究已有 [1 ] -[4 ] .这些文献定义了线性[1 ] [4] 或非线性[2 ] 或预测—校正[4] 全离散有限元格式 ,然后将原方…     

超线性收敛的指数下降迭代法

1　引　　言文[1]中借助于常微分方程的Liapunov方法建立了与非线性方程f(x)=0(1)在区间[a,b]内的解x*相对应的Cauchy问题dx/dt=-w(x)f(x)(2)x(0)=x0,　x0∈[a,b](3)其中f(x)在[a,b]上连续可导,f′(x)≠0,而w(x)满足w(x)f′(x)>0且使得Cauachy问题(2)—(3)的饱和解x=x(t,x0)存在唯一.于是非线性方程(1)在[a,b]内的解x*为自治系统(2)的渐近稳定的奇点,从而有limt→+∞x(t,x0)=x*,　　x0∈[a,b](4)成立.这说明对任一初值x0∈[a,b]通过解Cauchy问题(2)—(3)可得非线性方程(1)在[a,b]内的解x*.在文[2]中利用Lambert的非线性方法[3],导出了一个…     

全面理解 多方转化——一道不等式恒成立问题的多角度审视

题目　不等式lg(x +1)≤ 2lg(2x +t)在 [0 ,1]上恒成立 ,求实数t的取值范围 .1.错在哪里 ?不等式lg(x +1)≤ 2lg(2x +t)对 [0 ,1]中的每一个x都成立 lg(x +1) max≤ [2lg(2x +t) ]min,即lg2≤ 2lgt ,∴t≥ 2 .这个结果是错的 .事实上 ,t=1时 ,不等式lg(x+1)≤ 2lg(2x +1)在 [0 ,1]上恒成立 x +1≤ (2x+1) 2 在 [0 ,1]上恒成立 x(4x +3)≥ 0在 [0 ,1]上恒成立 .也就是说t=1满足题目要求 .那么错在什么地方呢 ?错在“不等式lg(x +1)≤ 2lg(2x +t)在 [0 ,1]上恒成立 ,当且仅当lg(x +1) max≤ [2lg(2x +t) ]min”这一点上 .事实上 ,不等式lg(…     

谈谈黎卡提方程的可积条件

黎卡提方程dy/dx+P(x)y=Q(x)y~2+R(x) (1) 一般不能用初等积分法求解,这一事实早在1841年为刘维尔(Liouville)所证明。由于黎卡提方程在许多领域里出现,并要求其解,所以寻找黎卡提方程可积的充分条件,一直为人们所重视,已有若干研究成果(见[1],[2]、[3]、[4])本文将给出一系列黎卡提方程可积的新的充分条件。     

也谈一个三元三次不等式的等价形式及应用

1 等价形式 文[1]指出文[2]、[3]中的不等式: 设x、y、z∈Rt,则 (x 32)/(y z) (y 3x)/(z x) (z 3y)/(x y)≥6(1)     

Hermite-Fejér插值算子的一个渐近估计式

设f(x)在[-1,1]上的二阶导数存在且有界,H_n[f(t);x]、R_n[f(t);x]分别为具有第一类、第二类零点的Hermite-Fejér插值多项式,则当n→∞时,有 H_n[f(t);x]-f(x)=O(1/n)(-1相似文献   

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),其中f[1](x)=f(x).函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实数根)对方程f[n](x)=x解的情况有何影响?文[1]、文[2]对此进行了探讨,得到一些颇有价值的结论.其中文[2]证明了下述结果:定理设f(x)=x2 bx c,Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=     

相似椭圆的性质再探

由文[1]的定义,我们把椭圆E1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和E2:x2/a2+y2/b2=λ(λ>0,λ≠1)称为相似椭圆(可以证明:两相似椭圆有相同的离心率),文[2],[3],[4]给出了相似椭圆的一些性质,本文再给出相似椭圆的若干性质.     

关于多项式最大公因式的进一步探讨

在[1]中有这样一个结论，对于P[x]中任意两个多项式，f(x)、g(x)．在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f(x)、g(x)的一个组合．即有P[x]中的多项式u(x)、v(x)使：     

极限函数的连续性与一致收敛性的关系

<正> 我们知道:如果f_1(x),f_2(x).…,f_n(x)…都在[a,b]上连续且f_1(x),f_2(x)…,f_n(x),…在[a,b]上一致收敛于f(x),那末f(x)必在[a,b]上连续.现在我们提出一个相反的问题:如果f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…都在[a,b]上连续,且f_1(x),f_2(x),…,f_n(x),…在[a,b]上收敛于     

Liénard方程全局稳定性的进一步探讨

考虑Lienard方程 x f(x)x g(x)=0 (1)其中f(x),g(x)为R~1上的连续函数,且满足解的唯一性条件。对于方程(1)的零解的全局稳定性的研究已有不少结果,文[1]曾给出了它的零解全局稳定的两个充分条件(即文[1]中的例3和例4),文[2]在介绍函数的作法时,又写下了这样的结论:     

关于勒让德多项式导数的正交性

本文证明了勒让德多项式 Pn( x)的 k阶导数 P( k)n ( x)是 [-1 ,1 ]上关于权函数 ρ( x) =( 1 -x2 ) k的正交多项式 ,推广了 [1 ]的结果 .     

用样条函数解两类插值问题

设φ(x)是定义在[a,b]上的一个实函数,一般插值问题的提法是:若在[a,b]上若干点处给定了φ(x)的函数值和(或)导数值,要求某一函数f(x)(例如多项式或样条函数)逼近φ(x)。近年来的理论研究和计算实践都表明,用样条函数解这类插值问题,可以得到令人满意的结果。     

黄金椭圆（双曲线）的性质再探

本刊文[1]、[2]将短半轴长与长半轴长(或虚半轴长与实半轴长)的比ba=ω=5-12的椭圆(或双曲线)叫做黄金椭圆(或双曲线).并给出了它们的若干性质,读后很受启发,笔者进一步分析探索,又得到了几个性质,现说明如下.性质1　经过黄金椭圆C1:x2a2 y2b2=1(a>b>0)或黄金双曲线C2:x2a2-y2b     

数学奥林匹克问题选登

1991年11月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 11.设a_1,a_2,…,a_n为正整数,N为整数,解方程[a_1x] [a_2x] … [a_nx]=N。解不失普遍性,可设(a_1,a_2,…,a_n)=1,否则如果(a_1,a_2,…,a_n)=d。令x=dx就转化为这种情况,为了方便, 令 M=a_1 a_2 … a_n, F(x)=[a_1x] [a_2x] … [a_nx]。很明显,F(x)是不减的且F(x 1)=F(x) M。由此可得出,F(x s)=F(x) sM,(s为整数) 如果N=N_1 Ms, 则F(x)=N有解的充分必要条件是F(x)=N_1有解。如果F(x)=N_1的解为a,则F(x)=     

关于有理样条函数R_(11)~(1)的若干性质

§1 前言 设△:a=x_0相似文献   

广义Liénard方程非平凡周期解的存在性

本文给出了广义 L iénard方程 x f (x)φ(x) x g(x)ψ(x) =0存在非平凡周期解的两个充分条件 ,推广了文 [4,5 ]中的结果 ,并且指出文 [1 ]中的一个疏漏