公式C_n~kC_k~m=C_n~mC_(n-m)~(k-m)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但如果把它们与准确、形象、生动的实例联系在一起,就不困难了。 组合数的性质C_n~k·C_k~m=C_n~m·C_(n-m)~(k-m)就是这样。如果说C_n~m=C_(n-1)~m C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了组合数的“加法”和“减法”运算的话,那     

如何求方程中的字母系数

方程章节中有已知根的情况,求字母系数类型的题目,我们对此类题目的解法来做一个归纳.1.已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何值时,方程有实数根?分析:当方程的二次项系数带有字母时,一定要考虑到它为零的情况.解:1)当m-2=0,即m=2时,x=23.2)当m-2≠0,即m≠2时Δ=4(m-1)2-4(m-2)(m+1)=4(-m+3)≥0.所以m≤3.2.关于x的方程x2-k1-x2x-x=kxx+1只有一个解,试求k的值.分析:所谓方程只有一个解包含下列几种情况:当分式方程化为整式方程后,1°两次项系数为0,原方程化为一元一次方程的情况;2°.原方程化为一元二次方程且△=0的情况;3°方程有…     

不定方程x1+x2+…+xn=m的解的个数及在计数问题中的作用

不少计数问题归结为不定方程 x1+ x2+… + xn =m在特定条件下的解的个数问题便迎刃而解 .本文研究不定方程 x1+ x2 +… + xn =m在有关条件下的解的个数问题 ,并举例说明其在计数问题中的应用 .(注 :文中约定 :当 m 相似文献   

有关组合问题的几个公式

我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1 C_n~2 C_n~3 … C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1) 1 证明:C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n-(C_n~1 C_n~2 C_3~n … C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n 1=(n-2)2~(n-1) 1     

"传球问题"的一般解法

问题包含甲在内的m(m≥2)个人练习传球,设传球n次,球首先从甲手中传出,第n次仍传给甲,共有多少种不同的传球方法?分析设第n次球传给甲的传球方法有an种,第n次球不传给甲的传球方法有bn种,对每个传球的人来说,每次传球的方法有m-1种,n次传球共有(m-1)n种方法.∴an+bn=(m-1)n.另外,第n+1次球传给甲,则第n次球必不传给甲,因而an+1=bn,∴an+an+1=(m-1)n.设cn=an(m-1)n,则cn+1+1m-1cn=1m-1,∴c-1=-1(c-1).又a1=0,c1=0,c1-1m=-1m,∴数列{cn-1m}是首项为-1m,公比为-1m-1的等比数列,∴cn=1m+(-1m).(-1m-1)n-1,∴an=1m(m-1)n+(-1)n.m-1m.例1甲、乙、…     

(二)用排列组合公式求数列的和

已知m,n∈N,且m相似文献   

争鸣

问题问题200这样的消参题错在哪里?题1设m∈R,求两条直线l_1:x+my+6=0,与l_2:(m-2)x+3y+2m=0的交点的轨迹方程.常规解法解方程组     

直观方阵法求组合数列的和

在高中数学课本中,给出了下列组合数列的和: (1)C_n~0+c_n~1+c_n~2+…+c_n~n=2~n; (2)(C_n~0)+(c_n~1)~2+…+(c_n~n)~2=(2n)!/n!n! 如何利用这些组合数列的和,解它们的引伸题,我们采用了直观方阵法。例1 求和: (3)C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+…+nc_n~n (4)C_n~0+2c1/n+3c_n~2+…+(n+1)c_n~n 解:排列方阵如下: C_n~0C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~nC_n~0 C_n~0c_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n ………………… …     

新题征展(102)

A题组新编1.(甘志国)(1)1!×1+2!×2+3!×3+…+ 66!×66被2010除的余数等于____ (2)求数列{(n+2)/(n!+(n+1)!+(n+2)!)}的前n项和。2.(陈世明)已知s,t∈(-1,1),两个方程x~2+ 2sx+t=0与x~2+2tx+s=0,求(1)都有实根的概率为____; (2)至少一个方程有实根的概率为____。B藏题新掘     

一类变系数广义差分方程的解

考察下列广义差分方程 y_(m+n)=sum from i=1 to m+n P_i(n)y_(m+n-i)+q(n),n≥0,(1) 满足初始条件y_i=c_i(i=0,1,…,m-1)的解。特别,当p_i(n)=a_i,此即为广义线性差分方程。由于不能写出有限次特征方程,广义线性差分方程不能用经典的方法来解。最近,张福基用生成函数方法得出广义线性差分方程的显式解。然而,解一般的变系数广义差分方程,至今仍无有效方法。     

关于指数Diophantine方程x~2=D~(2m)-D~mp~n+p~(2n)

设D 1是正整数,p是适合p?D的素数.本文研究了指数Diophantine方程x~2=D~(2m)-D~mp~n+p~(2n)的满足m 1的正整数解.根据Diophantine方程的性质,结合已有的结论,运用初等方法确定了方程满足m 1的所有正整数解(D,p,x,m,n).这个结果修正并完整解决了文献[4]的猜想.     

趣解点系椭圆

问题　已知椭圆　 x2m2 y2n2 =1( m >0 ,n>0 )过点 P( 3 3,1 ) ,求 m n的最小值 ,并求出 m n取最小值时的椭圆方程 .我们将 P点的坐标代入椭圆方程得n2 =m2m2 - 2 7,这时椭圆方程为　　 x2m2 y2m2m2 - 2 7=1 ( 1 )m在区间 ( 3 3,2 7)∪ ( 2 7, ∞ )内的每一点取值时 ,方程 ( 1 )都表示过 P点的椭圆 .我们称方程 ( 1 )表示的椭圆为过 P点的点系椭圆 .用方程 ( 1 )表示的点系椭圆中 ,哪一个椭圆的长、短半轴之和最小呢 ?这个问题困惑了不少人 .下面给出几种初等解法 ,这些解法不仅求出了问题的答案 ,而且解决了一类函数最值的求法 ;…     

分析结论 巧妙证明

题设n∈N且n≥3。试证明 2~(n(n+1))/2>(n+1)! 该不等式如果采用数学归纳法证明,其过程较繁杂,若仔细分析所证结论,不等式左边的指数中底数为2,联想到二项式定理推得的组合公式2~n=C_n~0+C_n~1+…+C_n~n>C_n~0+C_n~1=1+n。即2~n>n+1(n∈N 且n>1),就可使问题迎刃而解。     

x~0=1是有条件的

文[1]的例6及其"正解"如下:题目函数y=(m-1)xm-1+(m-3)x+1,当m为何值时,它是一次函数.解当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=1;当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=±1;当m-1=1且(m-1)+(m-3)≠0时,为一次函数.解得m=-2.所以当m=±1或m=-2时,它是一次函数.评论这个"正解"不对!当m=1时,y=(1-1)x1-1+(1-3)x+1,即y=0x0-2x+1,即y=-2x+1(x≠0).它不是一次函数!它的图像不是一条直     

等差数列的两个性质及其应用

等差数列 {an}中 ,任意两项 an、am 存在关系 :an =am + ( n - m) d,利用此式 ,有时解题非常简捷、迅速 ,这个性质我们都很熟悉 .由此 ,猜想 :等差数列中 ,前 n项和 Sn与前 m项和Sm 之间 ,Sn 与 an 之间 ,是否也存在一种关系呢 ?这种关系在解题时 ,是否能给我们带来方便 ?本文将探讨这个问题 .由等差数列的通项公式am =a1 + ( m - 1 ) d,得 a1 =am+ ( 1 - m) d,代入　 Sn =na1 + n( n - 1 ) d2 ,得　 Sn =n[am + ( 1 - m) d]+ n( n - 1 ) d2=nam + n( n + 1 - 2 m) d2 ( 1 )公式 ( 1 )反映了等差数列前 n项和与其任一项之间的关系 .由 ( 1…     

求解广义范德蒙矩阵逆矩阵的有效快速算法

1引 言定义设a1,a2,…,an是n个实数或复数,称如下的n阶方阵V=[1 1…1 1 a 1 a2… a n-1 a n a m-1 1 a m-1 2 …a n-1 m-1 a m-1 n a m+1 1 a m+1 2 …a m+1 n-1 a m +1 n a n 1 a n 2 a n n -1 ann](1≤m≤n-1)为广义范德蒙矩阵.许多实际的问题可以转化为广义范德蒙矩阵的相关求解问题,如要构造次数不超过n的缺项多项式9(x)=co+c1x+…+cm-1xm-1+cm+1xm+1…+cnxn(1≤m≤n-1)在n个点a1,a2,…,an处满足插值条件g(ak)=fk(k=1,2,…,n),这一问题转化为求解广义范德蒙方程组VTc=f,其中c=(C0,C1,…,Cm-1,Cm+1,…,cn)T,f=(f1,f2,…,fn)T,而求解该方程组(系)的途径之一是求广义范德蒙矩阵V的逆矩阵.     

一个组合恒等式的模型解释与应用

题目求证:Cmn=m+1n+1Cm+1n+1①这是新课程教材人教版《数学》(选修2-3)25第6题,我们在证明这个组合恒等式时,联想到组合数性质Cmn=Cn-mn与Cmn+Cm-1n=Cmn+1都有模型解释(实际意义),那么此式有没有实际意义呢?几经思考,我们得到了以下解释.为了叙述方便,将①式变为:Cm+1n+1=n+1m+1Cmn.     

新题征展(68)

A题组新编1.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=;(2)已知函数f(x)=ax2+bx,若f(m)=f(n)(m≠n),则f(m+n)=;(3)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(m)=f(n)(m≠n),则f(m+n)=.2.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=;(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=a,Sn=b(m≠n),则Sm+n=;(3)已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0),若f(m)=t,f(n)=s(m≠n),则f(m+n)=;(4)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(m)=t,f(n)=s(m≠n),则f(m+n)=.3.(1)在周长为定值l的直角三角形中,怎样的三角形面积最大?最大面积是多少?请详述理由;(2)在…     

训练探求能力的方法

一、应用特殊值法 ,揭露思维起点 ,训练探求能力特殊值法在解题中不但能发现规律 ,得出一般性的结果 ,而且能有效地揭示思维的起点 ,展示思维的发展过程 ,提高探求能力 .若不等式 1n +1+1n +2 +… +12n>m2 4对于大于 2的一切自然数n都成立 ,求自然数m的最大值 ,并说明理由 .分析　m是多大的自然数呢 ?显然n =2时 ,原式左边 =13 +14 =712 =142 4,由题意可知m一定小于 14 ,而小于 14的最大自然数是13 ,那么m会不会是 13呢 ?如果是 ,那么记f(n) =1n +1+1n +2 +… +12n,则当n =3 ,4…时 ,都应有 f(n) >132 4,因为 f( 2 ) =142 4>132 4,只要能证…     

(1+1)维Burgers方程新的行波解

通过采用新的exp(-ρ(ξ))展式法,得到了(1+1)维Burgers方程形如u(ξ)=αm(exp(-ρ(ξ)))m+αm-1(exp(-ρ(ξ)))m-1+…的新行波解.该方法也可以应用于求解其它许多的非线性演化方程.