对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

2012年福建省高考数学试题一对姊妹题的探究

题1(2012年福建理19)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆方程.(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探     

巧用公共弦方程解题

众所周知 ,若相交两圆的方程分别为x2 y2 D1x E1y F1=0 ,x2 y2 D2 x E2 y F2 =0 ,则它们的公共弦所在直线的方程为( D1- D2 ) x ( E1- E2 ) y ( F1- F2 ) =0 .这个方程应用很广 ,它不仅使解有关两圆相交问题简捷方便 ,而且还有利于解有关圆锥曲线的弦的方程问题 .例 1　在椭圆 x21 6 y24 =1内有一定点A( 1 ,1 ) ,过点 A作一直线与椭圆相交于 B,C两点 ,且使得点 A恰好是弦 BC的中点 ,求此直线的方程 .解　设 B,C两点的坐标分别为 B( x,y) ,C( x1,y1) ,则由中点坐标公式得x1=2 - x,　 y1=2 - y,因为 B,C两点…     

直线与抛物线相切的一个性质及应用

定理设抛物线的焦点为F,直线l′过F且与直线l平行.过顶点的切线与l′,l分别相交于M′,M.则直线l与抛物线相切的充要条件是FM′→·FM→=0.证明设抛物线方程y2=2px(p>0),焦点Fp2,0.直线l:y=kx+m.直线l′:y=kx-p2.过顶点的切线是x=0.FM′→·FM→=-p2,-pk2·-p2,m=14(p2-2pkm).由y2=2pxy=kx+m消去x,得ky2-2py+2pm=0.Δ=4(p2-2pkm),于是有Δ=16FM′→·FM→.∴FM′→·FM→=0Δ=0直线l与抛物线相切.下面举例说明定理在解题中的应用.例1判定直线l:x-y+1=0与抛物线y2=4x是否相切?解∵F(1,0),直线l:y=x+1,直线l′:y=x-1,过顶点的切线x=0.…     

一道浙江高考题的深度解析及纰漏

题目(2010年高考浙江理科第21题)已知m>1,直线ι:X-my-m2/2=0,椭圆c:x2/m2+y2=1,F1,F2分别为椭圆C的左右焦点. (Ⅰ)当直线ι过右焦点F2时,求直线ι的方程; (Ⅱ)设直线ι与椭圆C交于A,B两点,△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.     

综合题新编选登

题 94　 已知向量a =(1,1) ,b =(1,0 ) ,c满足a·c =0且 |a| =|c| ,b·c >0 .1)求向量c ;2 )若映射 f :(x ,y)→ (x′ ,y′) =xa + yc,①求映射 f下 (1,2 )的原象 ;②若将 (x ,y)看作点的坐标 ,问是否存在直线l使得直线上的任一点在映射f的作用下的点仍在直线上 ,若存在求出直线l的方程 ,否则说明理由 .解　 1)设c =(m ,n) ,由题意得 :m +n =0 ,m2 +n2 =2 ,m·1+n·1>0解得 m =1,n =- 1.∴c=(1,- 1) .2 )①由题意x(1,1) + y(1,- 1) =(1,2 )得 x + y =1,x -y =2 ,　解得x =32y =- 12∴ (1,2 )的原象是 (32 ,- 12 ) .②假设存在直线l适合题设 …     

巧用双曲线的定义解题两例

例1设双曲线与椭圆x2/27 y2/36=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程。简解设所求方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0, b>0)．由已知得两焦点分别为F1(0,-3),F2(0, 3)、点A(±15~(1/2),4)．     

两条直线关系的点拨（高二、高三）

一、运用向量求直线方程新课本特点之一是引入向量 ,这里提供一个运用向量巧妙求直线方程的例子 .例 1　过点P(3 ,0 )作一条直线 ,使它夹在两直线 2x- y - 2 =0和x +y +3 =0之间的线段AB恰被P点平分 ,求此直线方程 .解 :设OA =(x1 ,2x1 - 2 ) ,OB =(x2 ,-x2 -3) ,而OP =(3,0 ) .则PA =(x1 - 3,2x1 - 2 ) ,PB =(x2 - 3 ,-x2 - 3) .∵PA +PB =O .∴ (x1 +x2 - 6,2x1 -x2 - 5) =(0 ,0 ) .　即x1 +x2 - 6=02x1 -x2 - 5 =0 ,　解得x1 =1 13x2 =73 .∴A 1 13 ,1 63 .所以 ,直线方程为 8x -y- 2 4 =0 .二、运用两条直线重合的条件新课本对…     

试题研讨(6)

题 1　 (2 0 0 2年广州市高三测试题 )已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,离心率 e= 12 ,且经过点 M(- 1 ,32 ) .( )求椭圆 C的方程 :( )若椭圆 C上有两个不同点 P、Q关于直线 y =4x m对称 ,求 m的取值范围 .命题溯源　此题根据 1 986年广东省高考试卷末题改编而成 ,主要考查学生求曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系 ,以及综合运用数学知识解决问题的能力 .原解思路　 ( )依题意 ,设椭圆的方程为　 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 ) ,则1a2 94b2 =1 ,ca =12 ,a2 - b2 =c2 .解得　 a =2 ,b =3 ,c =1 .∴　椭圆 C的方程为　 x24 y23 =…     

运用伸缩变换进行拓广类比——2010年高考数学江苏卷第18题初探

题1 (2010年江苏18)在平面直角坐标系xOy中,如图1,已知椭圆x29+y25=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点Mx1,y1,Nx2,y2,其中m>0,y1>0,y2<0. (1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹; (2)设x1=2,x2=13,求点T的坐标; (3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).     

试题研讨(10)

题1 (2003年元月湖北省八校高三第一次联考)设P是直线x-y+9=0上的一点,过P点的椭圆以双曲线4x2-5y2=20的焦点为焦点,试求P点在什么位置时,所求椭圆的长轴最短,并写出这个具有最短长轴的椭圆方程.     

评2003年高中联赛

与往年的试题相比 ,2 0 0 3年的试题计算量较小 ,而思维的程度有所增加 ,更有利于培养人才 .选择题的 3是过抛物线 y2 =8(x + 2 )的焦点F作倾斜角为 6 0°的弦AB ,AB的中垂线交x轴于P ,求PF ,本题焦点F为原点 ,直线AB方程为y =3x ,所以A ,B横坐标适合方程 :3x2 - 8x - 1 6 =0 .由韦达定理 ,AB中点E的横坐标为12 ×83=43.由于AB倾斜角为 6 0° ,所以FE =2×43,PF =2FE =4×43=1 63.选择题的 4是x∈ [- 5π1 2 ,- π3],求 y =tan(x + 2π3) -tan(x + π6 ) +cos(x + π6 )的最大值 .本题可先化 y为同角的三角函数的代数和 .y =-cot(…     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

新题征展(66)

A题组新编1.已知⊙C:(x+3)2+y2=R2(R>0)和⊙D:(x-3)2+y2=1,动圆M与⊙C,⊙D均相切,圆心M的轨迹为E.(1)当R=1时,E的方程是;(2)当R=3时,E的方程是;(3)当R=5时,E的方程是;(4)当R=7时,E的方程是;(5)当R=9时,E的方程是.2.已知:椭圆:x225+y216=1,F1、F2分别为左、右焦点,点A(1,m),点P为椭圆上动点.(1)当m=5时,|PA|+|PF2|的最小值是;(2)当m=1时,|PA|+53|PF2|的最小值是;(3)当m=1时,|PA|+|PF2|的最小值是.3.△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,(1)z=ax-y取最小值的唯一最优解是(-1…     

综合题新编选登

题149已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).1)若△ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;2)若∠A=π2,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.解1)设B(x1,y1),C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0),于是有x1220 y1216=1,x2220 y221     

椭圆和双曲线的两种新的统一方程

根据圆锥曲线的统一定义所建立的椭圆、双曲线的统一方程为我们所熟知 ,笔者将椭圆、双曲线与直线进行类比得到它们的另外两种统一方程 ,现介绍如下 ,供同学们学习参考 .一、椭圆、双曲线的点离式方程与直线的点斜式方程 y -y1 =k(x -x1 )相类比 ,可以建立由椭圆、双曲线的离心率e及其上一点P(x1 ,y1 )所确定的方程 ,这种形式的方程称为椭圆、双曲线的点离式方程 .命题 1　若点P(x1 ,y1 )是离心率为e,且中心在坐标原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 (或双曲线 )上一点 ,则(1)当焦点在x轴上时 ,方程为y2 -y21 =(e2 -1) (x2 -x21 ) ;(2 )当焦点在y…     

试题研讨(16)

题目(2003年5月北京市西城区抽样测试理科第22题)已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),双曲线x2/a2-y2/b2=1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点.设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图1). (I)当l1到l2的角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程及离心率;     

浅谈用曲线系方程解题

在解平面解析几何题时,常常会遇到过两曲线交点求一新曲线方程的问题,使用曲线系方程解这类问题是一种比较好的方法,此方法具有思路清晰、运算简捷等优点。下面用几个例子说明以上观点。例1.求过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点的直线方程。解:过交点的直线系为 x-2y+3+λ(x+2y-9)=0。∴ (1+λ)x+(2λ-2)y+3-9λ=0。∵直线过原点(0,0),故得3-9λ=0,∴λ=1/3。∴直线方程为(1+1/3)x+(2·1/3-2)y+3-9·1/3=0, ∴ x-y=0为所求。     

关于椭圆的弦被定点所分之比的范围

文 [1 ]探讨了椭圆的弦被定点所分之比的范围问题 ,本文给出此问题的明确结论 .定理　设点 P(x0 ,y0 )不在椭圆 x2a2 y2b2= 1上 ,即 m =x20a2 y20b2 ≠ 1 ,过 P引直线与椭圆相交于 A、B两点 ,则λ=APPB的取值范围是X ={ 1 }　　　　　　　　 m =0 ;[1 - m1 m,1 m1 - m],　 0 1 .证明　设 A(acosθ,bsinθ)为椭圆上任一点 (0≤θ <2π) ,直线 AP与椭圆的另一交点为 B(x′,y′) (仅当 AP与椭圆相切时 B与 A重合 ) ,则λ =APPB=x0 - acosθx′- x0=y0 - bsinθy′- y0(1 )显然λ≠…     

构圆定界求范围

解析几何中求参数范围的问题一直倍受青睐 ,为此 ,本文特介绍一种“构圆定界法”速解一类解析几何范围问题 .图 1　例 1图例 1　椭圆 x29+ y24=1的焦点为F1,F2 ,P为其上的动点 ,当∠F1PF2为钝角时 ,点P横坐标的取值范围是 .解析　这是一道2 0 0 0年全国高考题 ,解法较多 ,但用构圆定界来解显得简捷明快 .由椭圆方程得a2 =9,b2 =4 ,∴c2 =5 .故以 |F1F2 |为直径的圆的方程为x2 +y2 =5 .由方程组x2 + y2 =5 ,x29+ y24 =1中消去 y ,得4x2 + 9(5 -x2 ) =36 .解之得P点的横坐标为x =± 355 ,此时∠F1PF2 =90° .故由图 1知 ,当∠F1PF2 为…