《量子力学》自学辅导之八：狄拉克符号和占有数表象（续）

《量子力学》自学辅导之八──狄拉克符号和占有数表象（续）曾心愉，宋宇辰，裴文杰（复旦大学物理系，复旦大学理论物理骨干教师班上海２００４３３）２关于一维线性谐振子的讨论２．１坐标表象一维线性谐振子Ｈ算符及其本征函数在坐标表象中为式中的本征值为由厄米多项...     

坐标表象与任意力学量表象的关系

通过讨论坐标表象和任意力学量表象的关系,首先分析了具有连续本征值的算符本征函数δ函数归一化的由来,在此基础上研究得出一个结论,即任意力学量算符在坐标表象中的本征函数和坐标算符在任意力学量表象中的本征函数互为共轭复数,又根据这个结论对本征函数封闭性的物理意义做了一种新的解释.     

厄米算符本征函数完备性的一般证明

从一组完备的本征函数开始,以表象原理为前提,建立一个唯象的公式,利用反证法证明了力学量算符的完备性,即这一组完备的本征函数可以投影到力学量算符的本征函数空间中.从而给出了力学量算符本征函数完备性的一般证明.     

量子力学中对称性和阶梯算符

本文讨论了自由粒子、库仑场和谐振子场的对称性和相应的阶梯算符的关系．从体系对称群的无穷小算符得到了自由粒子、库仑场中的电子及谐根子在坐标表象中的径向升、降算符，并由体系的对称性说明了通常的径向阶梯解法中不同形式的阶梯算符的统一性．指出寻找阶梯算符的途径：体系的对称性→对称变换（幺正变换）无穷小生成算符→阶梯算符。     

关于算符i (α/αt)性质研究的若干评注

从时间平移的角度证明了算符ｉ（／ｔ）的厄米性，讨论了该算符的厄米性与态函数内积之间的关系，指出了Ｃａｐｒｉ在证明时间和能量对易关系不成立的过程中的错误，最后讨论了算符ｉ（／ｔ）和任一量子系统的Ｈａｍｉｌｔｏｎ算符之间的关系．     

相干态法研究量子论的一类交换算符

利用相干态和正规乘积内的积分法，我们研究了量子力学中两个态的交换运算算符，得出了交换算符在相干态表象、粒子数表象和坐标表象中的表示．这一方法也可自然地推广到研究多状态之间的循环置换．     

广义坐标中动量算符的自伴性

本文旨在藉助希耳伯特空间算符理论方面的知识，澄清在量子力学书籍上通常出现的一些概念．在量子力学书籍里常常对有界和无界算符之间的基本区别不予理会．一个无界算符是对称（厄密）的条件并不足以使它成为自伴的，这一点经常被忽视．遗憾的是，量子力学里差不多所有的算符都是无界的．时常看到这样的叙述：对于任意线性算符Ａ，我们可以写出厄密算符ＨＡ＝（Ａ＋Ａ＋） ／２，其中的厄密性被设想为具有自伴性的意义．沿着这条思路，在广义坐标里采取那种表述的动量算符的自伴性是有问题的．本文特别研究了运用球极坐标的重新描述，并且引出了与这些坐标相共轭的动量失去了自伴性的结论．     

用含时波包理论处理HD＋H→H＋DH,D＋H2反应

用含时波包（ＴＤＷＰ）理论计算了具有两个不同产物道的反应ＨＤ＋Ｈ→Ｈ＋ＤＨ，Ｄ＋Ｈ２的初态确定的反应几率及生咸物的分支比。在利用分解算符法进行波包传播的过程中，采取了分立变量表象（ＤＶＲ）及分立交量－有限基表象（ＤＶＲ—ＦＢＲ）变换，这一方法降低了传播过程中需保存大变换矩阵的要求。通过应用能量投影法，可从单一波包中抽出许多能量确定的动力学信息。为了避免因所选取的格点范围有限而引起的波函数在边界点附近的反射，传播过程中还采用了光学势以吸收反射波函。     

关于算符ih（δ／δt）性质研究的若干评注

从时间平移的角度证明了算符ｉｈ（δ／δｔ）的厄米性，讨论了该算符的厄米性与态函数内积之间的关系，指出了Ｃａｐｒｉ在证明时间和能量对易关系不成立的过程中的错误，最后讨论了算符ｉｈ（δ／δｔ）和任一量子系统的Ｈａｍｉｌｔｏｎ算符之间的关系。     

二维耦合量子谐振子的本征值和本征函数

运用广义线性量子变换理论,给出一类二维耦合量子谐振子的能量本征值、本征函数、坐标和动量算符在能量表象中的矩阵元及演化算符.     

《量子力学》自学辅导之七—表象理论（续）

《量子力学》自学辅导之七──表象理论（续）曾心愉，宋宇辰，斐文杰（复旦大学物理系，复旦大学理论物理骨干教师班，上海２００４３３）４量子力学公式的矩阵表述（分立谱为例）实质上是把ｘ表象中的达式变换到Ｑ表象中，故以Ｑ表象基矢ｕ（ｘ）为基础，以态矢及算符（...     

谐振子薛定谔方程的超对称解法

通过构造哈密顿量与谐振子系统哈密顿量对易的超对称系统,量子谐振子的性质就可以通过对超对称系统的研究来得到.利用超对称系统的性质,在没有用到厄米多项式的情况下,给出了谐振子本征函数中展开系数间的递推关系,由递推关系可以直接得到本征函数.此方法下得到的归一化本征函数与用厄米多项式表达的本征函数完全相同,并且本征函数的宇称可以明显的显示出来.     

当能级间隔较小时三能级核四极共振自旋系统对脉冲的响应

用虚拟自旋—１／２算符理论考察了Ｉ＝１的核四极共振自旋系统在其能级间隔较小时对１—２个脉冲的响应．由于核四极相互作用表象中的射频场与核自旋的相互作用（Ｈｎ）包含时间．因而用Ｄｙｓｏｎ时序算符来计算密度算符在Ｈｎ作用下的演化．     

从直观图象写出角动量算符的球坐标表示

在坐标表象中，动量算符在一给定方向的投影，等于－ｉｈ乘以对于在此方向的位移的偏微商，角动量算符在一给定方向的投影，等于－ｉｈ乘以对于在此方向的角位移的偏微商．从动量算符和角动量算符的这种几何意义出发，根据直观的图象，利用简单的几何关系，就可写出它们的球坐标表示．推得其平方算符表示的方法也较简单．     

轨道角动量分量算符的本征函数间的变换

本文讨论了不同轨道角动量分量算符本征函数间的变换关系,给出了对应的变换系数的计算方法,求解了几个比较常见情形l=1,2,3的变换系数,得到了各个变换系数之间的规律.     

用算符因式分解法解氢原子的径向函数

在初等量子力学的教学中,首先遇到的是求解一维线性谐振子和氢原子等基本问题,通常总是利用级数方法来解此二阶微分算符的本征方程,但往往由于数学上的原因,而使教与学二方面都遇到一定的困难.为此,若将二次量子化中运用的占有数表象及其基本算符(产生算符和湮灭算符)的概念引入后,则上述诸问题均能很简洁地求得所需的本征值和本征函数. 在占有数表象中,任何一个力学量的算符,均可用其二个基本算符来表示,将此原理应用到解具体的薛定谔方程中去时,则原来是一个二阶微分算符的本征方程,可以分解成二个相互伴随的一阶微分算符乘积的本征方程,…     

关于波函数按力学量算符本征函数系展开的若干问题

本文指出波函数按力学量算符的本征函数系展开，要求表示力学量的算符线性、厄米性、且全连续。证明了全连续的线性厄米算符有正交的完全的本征函数系，伴就正交函数系的封闭性、完全世及展开的唯一性进行了讨论。     

在局域子空间中计算给定范围内的能量本征值

通过能量算符δ函数作用于完全随机格点波函数,构造了可用于直接计算给定范围[Emin,Emax]内能量本征值和本征函数的局域子空间.在非正交局域基下详细推导了交迭积分和哈密顿算符在分立位置表象中的表示,讨论了广义本征值问题的解法.以Morse势和Henon-Heiles势的多个能量范围为例检验了算法     

双变量厄米多项式递推关系与积分公式的简捷推导

基于正规乘积和反正规乘积性质与双变量厄米多项式的母函数形式,利用相干态表象完备性的高斯积分形式,系统而全面的导出双变量厄米多项式的算符恒等式、递推关系与积分公式,此推导方法简捷明了.     

用Laplace变换求Hartmann势的精确解及波函数的递推关系

本文求解了在球坐标下Hartmann势的Schrdinger方程,得到了能量方程和归一化的波函数.用Laplace变换使径向的二阶微分方程退化为一阶微分方程,直接积分后用级数展开,应用Laplace逆变换得出本征函数.讨论了径向本征函数的像函数的递推关系,从而得出径向波函数的递推关系.