Generalized wavefront expansion properties and limitations

Summary The properties of an asymptotic method for the study of the propagation of weak shock waves in hyperbolic systems are examined in detail in the simple case of the single nonlinear wave equation in one space dimension. The general features of the method are briefly recalled and a comparison between the results obtained by this method and the exact solutions obtained by the shockfitting technique is made. Under appropriate regularity assumptions the method provides an approximation of the exact solution of the desired order for short times.

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Sommario Le proprietà di un metodo asintotico per lo studio della propagazione di onde d'urto deboli in sistemi iperbolici sono esaminate in dettaglio nel semplice caso della singola equazione d'onda non lineare in una dimensione spaziale. Sono richiamate brevemente le caratteristiche generali del metodo e viene fatto un confronto fra i risultati ottenuti con questo metodo e le soluzioni esatte ottenute con la tecnica dello shock-fitting, Sotto opportune ipotesi di regolarità il metodo fomisce una approssimazione della soluzione esatta, all'ordine desiderato per piccoli tempi.

     

Evolution law of a weak discontinuity crossing a non characteristic shock in a non-linear dielectric medium

Summary Transmission and reflection of an electromagnetic discontinuity wave colliding with a non characteristic shock in a dielectric medium with non-linear constitutive equation is analyzed in the case of polarized fields depending on one space variable and time. The transmitted and reflected amplitudes are obtained; the evolution law of the transmitted discontinuity is integrated for propagation through a constant state and the appearing of a new value of the critical time is discussed.

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Sommario Viene analizzata la collisione di un'onda elettromagnetica di discontinuità con un urto non caratteristico in un mezzo dielettrico avente equazione costitutiva non lineare, per campi polarizzati e dipendenti da una sola variabile spaziale e dal tempo. Vengono ricavate le ampiezze trasmessa e riflessa. Si integra poi la legge di evoluzione della discontinuità trasmessa nel caso della propagazione in uno stato costante e si discute la comparsa di un nuovo valore per il tempo critico.

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Lavoro eseguito durante il godimento di una borsa di studio nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Stress and strain fields produced by a heat source in a plane with an elliptic hole

Summary A report on the steady-state stress and displacement fields arising in an indefinite, elliptically-holed cilindrical body containing a line heat source. The case of an adiabatically-walled hole is examined and some numerical results are given for this as well as for the case of hole with a constant-temperature surface.

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Sommario Vengono determinate le tensioni e le deformazioni che nascono in un corpo cilindrico indefinito, con un foro ellittico, per effetto di una sorgente lineare di calore di intensità costante. Si esamina il caso del foro con parete termicamente non conduttrice e si danno alcuni risultati numerici sia per tale caso, sia per il caso del foro con parete a temperatura uniforme.

     

A numerical method for studying the interaction between a partially submerged body and the surrounding fluid

Summary A numerical method has been developed to compute the solution of a mathematical model of the problem known in Naval Hydrodynamics as seakeeping. The solution is written as a potential of a single layer. Unsteady boundary conditions are used both on the free boundary and on the body. The latter take into account the reciprocal interaction between the body and the fluid.The numerical solution of the fluid flow has been obtained by means of the boundary element method, and a suitable difference method has been used to compute the time evolution. A few relevant prototype problems have been solved and compared with experimental data. The method can be directly extended to the nonlinear case, and can be effectively implemented on a parallel computer.

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Sommario Viene presentato un metodo numerico per la soluzione di un modello matematico del problema noto in Idrodinamica Navale con il nome di seakeeping. Si cerca la soluzione sotto forma di potenziale di strato semplice utilizzando condizioni al contorno non stazionarie sia sulla superficie libera che sul corpo; quest'ultima condizione tiene conto dell'interazione reciproca tra il corpo ed il fluido.Il metodo é basato su un'opportuna formulazione integrale delle equazioni nel campo fluidodinamico e su una discretizzazione alle differenze finite per quanto riguarda l'evoluzione temporale. Sono stati risolti alcuni problemi significativi ed i risultati ottenuti sono confrontati con i dati sperimentali disponibili in letteratura. Il metodo proposto é direttamente estendibile al caso non lineare e puó essere efficientemente implementato su un calcolatore parallelo.

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Presented at the II Convegno Italiano di Meccanica Computazionale, Roma, June 2–5, 1987.     

Self-excited oscillations in system with one non-linearity

Summary In this paper a method is proposed for the determination of self-excited oscillations in systems with one linearity symmetrical with the origin and representable with a three-segment straight line.For this purpose, hypotheses are made on the wave-form at the output of the non-linear block, so that one can apply the so-called harmonic balance method, taking into account as many harmenics as desired.Examples are given, the results are compared with those obtained with the analogic computer or by the describing function method.

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Sommario Si propone un metodo per la deter minazione delle oscillazioni persistenti nel caso di sistemi con una sola non linearità simmetrica rispetto all'origine e rappresentabile, in ciascun quadrante, con una spezzata a due tratti.A tale scopo si fanno delle ipotesi sulla forma d'onda all'uscita del blocco non lineare in modo da poter applicare il cosiddetto procedimento del bilanciamento armonico mettendo in conto tante armoniche quante si vuole.Si fanno inoltre alcuni esempi di cui si confrontano i risultati con quelli ottenuti sulla calcolatrice analogica e applicando il metodo della funzione descrittiva.

     

Second order effects in an elastic half-space acted upon by a non-uniform normal load

A closed form solution to the second order elasticity problem, when an isotropic compressible elastic half-space undergoes a deformation owing to a non-uniformly distributed normal load, is presented. The method of integral transform is employed and the case when loading is distributed, in accordance with Hertz's law, is discussed. The limiting solution for incompressible isotropic elastic material is also derived. Numerical calculations for the second order elastic material for the displacement and the normal stress in thez-direction are carried out. It is found that, in comparision to the linear elastic case, the displacement increases and the normal stress decreases in the second order elastic material

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Sommario Si presenta una soluzione del secondo ordine in forma chiusa del problema di un semi-spazio elastico isotropo compressibile soggetto a un carico normale distribuito non uniformemente, ottenuta mediante il metodo delle trasformate integrali. Si discute il caso del carico distribuito secondo la legge di Hertz; si deriva anche la soluzione limite per materiale elastico isotropo incompressibile. Si ottengono numericamente alcuni risultati relativi a spostamenti e tensioni normali nella direzione z: si trova che, a paragone del caso elastico lineare, gli spostamenti aumentano e le tensioni diminuiscono nel materiale elastico del secondo ordine.

     

An «ultimate» approach to cumulative seismic damage

Summary This paper presents an approach to investigate seismic reliability of structures acted on by more earthquakes.The opportunity to analyze the behaviour of structures under the decisive quake is stressed, and the possibility to derive safety statements by inspecting the way the structure collapses is proved with regard to a simple structural pattern.Numerical results show that the criterion yields results quite consistent with usual practice, though, usually, cumulation of damage is not explicitly accounted for in aseismic standards.

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Sommario Nel presente articolo si espone un possibile metodo per studiare la sicurezza di organismi strutturali esposti all'azione di più terremoti susseguenti.Viene sottolineata l'opportunità di analizzare il comportamento della struttura sotto il terremoto decisivo, e si dimostra con un esempio la possibilità di calcolarne l'affidabilità mediante l'indagine del modo di collasso.I risultati numerici mostrano che questo criterio fornisce, almeno nel semplice caso esaminato, conclusioni coerenti non la pratica tecnica, benché di solito le Norme antisismiche non tengano conto esplicitamente del fenomeno della accumulazione del danno.

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This research has been financially supported by the Italian National Research Council (C.N.R.).     

On the formal structure of continuum mechanics Part I: Deformation theory

Summary The purpose of this and of following papers is to give an operator form to the equations of statics of continuous media in the case of small deformations (linear case) and of large deformations (non linear), aiming to obtain a unitary view of many known results in linear and nonlinear mechanics. In this paper an operator version of compatibility equations for large deformations, is given introducing a nonlinear operator that will be shown to be of the potential type. Some new results follow, namely a variational formulation of compatibility conditions extending a similar result obtained by the author in the small deformation theory. This formulation in three-dimensional space is similar to that of Einstein describing the gravitational field in space-time. An operational version of Bianchi's identities and a construction of boundary compatibility conditions are also given.

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Sommario In questa nota e in altre che seguiranno ci si propone di dare una versione operatoriale delle equazioni della statica dei continui deformabili sia a piccole deformazioni (caso lineare) che a deformazioni finite (non lineare), al fine di ottenere una visione unitaria di molti risultati noti nella meccanica lineare e non lineare. In questa nota si dà forma operatoriale alle condizioni di congruenza per deformazioni finite, introducendo un operatore nonlineare che sarà mostrato essere di tipo potenziale. Di qui seguono alcuni risultati nuovi: la formulazione variazionale delle condizioni di compatibilità che estende un risultato precedente dell'autore nella teoria delle piccole deformazioni. Questa formulazione nello spazio geometrico tridimensionale è del tutto identica a quella di Einstein che descrive il campo gravitazionale nello spazio-tempo. Si da altresì interpretazione operazionale alle identità di Bianchi e una costruzione delle condizioni di congruenza al contorno.

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This work has been supported by C.N.R.     

A direct nonlinear theory of elastic membranes

Summary The authors develop a nonlinear theory of elastic membranes which accounts for thickness effects. By assuming the existence of a strain energy function and postulating a principle of virtual work which governs the mechanical behavior of an elastic directed surface, the field equations and the general constitutive relations are obtained for both the compressible and incompressible case. These equations are identical with those arrived at by a suitable limiting process applied to the three dimensional equations of nonlinear elasticity.

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Sommario Gli autori sviluppano una teoria non lineare delle membrane elastiche che tiene conto degli effetti dello spessore. Assumendo l'esistenza di una funzione energia di deformazione e postulando un principio di lavoro virtuale che governa il comportamento meccanico di una superficie elastica orientata si ottengono le equazioni di campo e le relazioni costitutive generali sia per il caso compressibile che per l'incompressibile. Queste equazioni sono identiche a quelle a cui si arriva con un opportuno processo di limite applicato alle equazioni tridimensionali della elasticità non lineare.

     

A mathematical model of the arterial system

Summary A mathematical model of the major arteries of sistemic circulation in the man is proposed. According to the model, flow is regarded as a one-dimensional whole. The numerical solution is obtained with the method of characteristics, applied to the case of an elastic, incompressible vessel wall. The model is applied to study the behaviour of six different cases. The results show that the model provide an appropriate representation of the behaviour of the major arteries in the sistemic circulation.

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Sommario Viene proposto un modello matematico per lo studio del comportamento meccanico del sistema circolatorio arterioso. Il modello utilizza lo schema di processo unidimensionale normalmente impiegato in meccanica dei fluidi; la soluzione è ottenuta con il metodo delle caratteristiche per il caso di tubi con comportamento elastico. Il modello à stato applicato a sei diverse situazioni. I risultati ottenuti mostrano la buona validità del modello matematico proposto.

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Research supported by C.N.R.     

A numerical solution of the nonlinear wave resistance problem for simple shaped submerged bodies

Summary This paper presents a numerical method to compute the nonlinear wave resistance of a body, submerged in a free stream of infinite depth. The solution is given in the form of a potential of single layer and the nonlinear boundary conditions on the free surface are fulfilled by means of an iterative procedure. Results are shown for the 2-D case of an elliptical cylinder and for the 3-D case of prolate spheroids. All the presented results are discussed taking into account some experimental data and analytical solutions available in literature.

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Sommario In questo lavoro viene sviluppato un metodo per il calcolo della resistenza ondosa di corpi immersi bidimensionali e tridimensionali, tenendo conto della non linearità delle condizioni sulla superficie libera. La soluzione cercata è posta nella forma di potenziale di strato semplice e la non linearità presente nelle condizioni al contorno viene trattata con un procedimento iterativo. Vengono presentati dei risultati numerici relativi al caso bidimensionale di un cilindro ellittico ed al caso tridimensionale di sferoidi prolati di diversa eccentricità. I risultati vengono discussi in relazione a soluzioni analitiche e dati sperimentali ottenuti dalla letteratura.

     

An application of the invariance principle to a non-linear,first order evolution problem: Asymptotic stability in non-isothermal magnetohydrodynamics

Summary The purpose of this paper is to study, with the aid of the invariance principle for dynamical systems stated by Dafermos, the asymptotic stability of the null solution of a mixed, non-linear, first order evolution problem. As a particular case, one obtains a theorem on unconditional, asymptotic stability of stationary flows of non-isothermal magnetohydrodynamics in the Boussinesq approximation.

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Sommario Tale lavoro è rivolto allo studio della stabilità asintotica della soluzione nulla di un problema di evoluzione del primo ordine, misto e non lineare. Il metodo adoperato è quello del principio di invarianza per i sistemi dinamici di Dafermos. Come conseguenza dei risultati ottenuti, poi, si determina un teorema di stabilità asintotica incondizionata per i moti stazionari della magnetoidrodinamica non isoterma nello schema di Boussinesq.

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Work performed under the auspices of CNR (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

Propagation of periodic long waves

Summary A method is developed for the computation of the steady solution of the shallow water equations with quasi periodic boundary conditions. Because of dissipation the influence of the initial conditions becomes negligible with increasing time and the solution finally depends on the boundary conditions. The unknowns variables (velocity and surface elevation) and the boundary conditions are developed in power series of a small perturbation parameter. The problem is then transformed in a sequence of linear problems which have the same associated homogeneous problem. By separating the time and space variables in the homogeneous problem we obtain an homogeneous elliptic problem of which we compute the first eigenvalues and eigensolutions. These are related to the characteristic oscillations of the water in the basin. The solution of each linear problem is then obtained as an eigensolution expansion with time dependent coefficients. These coefficients are solutions of ordinary differential equations which can be solved directly without proceeding step by step in time. In this way we are reduced to a stationary problem i.e. the determination of the eigenvalues and eigensolutions of the elliptic problem and to the computation of several integrals needed for the determination of the time dependent coefficients. A first test of the method has been carried out for a one-dimensional problem i.e. the tidal wave in a canal of finite length and constant depth. In this case the various steps of the procedure outlined above can be performed analitically. The results have been compared with those obtained by a step by step numerical integration of the shallow water equations. The agreement between these sets of results is good for the range of values of the parameters currently used in the applications.

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Sommario Viene presentato un metodo per il calcolo della soluzione a regime delle equazioni delle onde lunghe, dipendente dalle sole condizioni al contorno quasi-periodiche, dopo aver mostrato che l'influenza delle condizioni iniziali diventa col tempo trascurabile a causa del termine di resistenza. Il metodo si basa sullo sviluppo in serie di potenze di un piccolo parametro sia delle incognite (velocità ed elevazioni del pelo libero) sia delle condizioni al contorno al fine di trasformare il problema non lineare in una serie di problemi lineari aventi lo stesso problema omogeneo associato. Con la separazione delle variabili spazio, tempo quest'ultimo problema viene ricondotto ad un problema ellittico omogeneo di cui si calcolano i primi autovalori ed autosoluzioni. Da ultimo la soluzione di ciascun problema lineare è ottenuta come sviluppo in serie di autosoluzioni a coefficienti dipendenti dal tempo: questi si ricavano risolvendo analiticamente delle equazioni differenziali ordinarie. Si elimina cosi la necessità di procedere passo passo nel tempo analogamente ai classici metodi armonici di soluzione di sistemi lineari. Riassumendo, l'applicazione del metodo riconduce alla soluzione di un problema stazionario (determinazione di autovalori ed autosoluzione del problema ellittico) e quindi al calcolo dei vari integrali necessari per la determinazione dei coefficienti temporali. Il metodo è stato provato nel caso semplice della propagazione di onde di marea in un canale di lunghezza finita e sezione costante. Per questo esempio i vari passi di calcolo possono essere svolti analiticamente. I risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti dalla integrazione numerica delle equazioni col metodo delle caratteristiche, ottenendo un buon accordo.

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Work sponsored by the CNR (National Research Council) in the framework of Project ?Conservazione del suolo? Subproject ?Dinamica dei Litorali? Publ. n° 46.     

On the compatibility conditions in a curved membrane

Summary Compatibility conditions for a membrane taking on the shape of a surface with given non-constant Gaussian curvature K are deduced. The system for the unknown displacement in general coordinates is integrated, by making use of the non-holonomic basis formed by the unit vectors tangent to the lines K=const. and to the associated orthogonal trajectories. This method unifies the discussion for rotation surfaces, geodesically parallel surfaces and general surfaces. In particular it is proved that, in the case of geodesically parallel surfaces, the integrability conditions reduce to two and involve explicitly the strain and its derivatives up to the third and fifth order respectively.

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Sommario Vengono dedotte le condizioni di congruenza per una membrana tesa su una superficie a curvatura gaussiana assegnata non costante. Il procedimento utilizzato consente di integrare il sistema nello spostamento in un generico sistema di coordinate, usando la base anolonoma costituita dai versori delle linee di ugual curvatura e delle traiettorie ortogonali. Tale metodo unifica la discussione per le superficie di rotazione, le superficie geodeticamente parallele e le superficie generali. In particolare nel caso di superficie geodeticamente parallel vengono stabilite due sole condizioni di integrabilità nel tensore di deformazione, una alle derivate terze ed una alle derivate quinte.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research (C.N.R.), Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica (GNFM).     

Finite element techniques in plane limit problems

Summary Limit analysis of plane structures is formulated by applying a finite element linear programming technique that was previously proposed by the same author.Three different element models are considered: the constant stress compatible model, the linear stress equilibrium model, the quadratic stress equilibrium model. Some notes are devoted to the construction of the stress fields with reference to the adopted method.Some suitably chosen numerical applications are then proposed in order to compare the different approaches as far as numerical efficiency and result accuracy are concerned. The possibility of improving the linear programming procedure is also discussed, and in particular a method is proposed to find out an initial feasible vector on the basis of mechanical considerations, in order to overcome the necessity of the so-called M-phase of the simplex method.Numerical results are given together with the comments.

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Sommario Si formula il problema dell'analisi limite di strutture piane secondo un metodo degli elementi finiti già proposto dall'autore.Nel presente lavoro vengono considerati tre diversi modelli di elementi e precisamente: il modello congruente a sforzo costante e quelli equilibrati a campi di sforzo lineare e quadratico. La costruzione dei tre modelli viene presentata in dettaglio nell'ambito del metodo adottato.Vengono quindi presentati alcuni esempi di applicazione opportunamente scelti, con lo scopo di confrontare l'efficienza numerica e l'accuratezza di risultati ottenuti con l'impiego dei tre modelli. Si discute inoltre la possibilità di migliorare l'efficacia dell'algoritmo matematico ed in particolare si suggerisce un metodo che, individuando una soluzione ammissibile di partenza sulla scorta di considerazioni meccaniche, permette di evitare la cosiddetta fase M della programmazione lineare.I commenti sono accompagnati dai risultati numerici.

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Research supported by the C.N.R. (Italian National Research Council).     

Linear and non-linear pulse propagation in fluid-filled compliant tubes

Summary Here we study impact-initiated disturbances in fluid-filled elastic tubes. The undeformed tube diameter, wall thickness, and elastic modulus of the tube material are assumed to be functions of the distance along the centre line of the tube. The linearized version of the governing equations are solved by the Laplace transform, which is inverted by means of an approximate method. The original non-linear system of governing equations is solved numerically by the method of characteristics. Relationships between the axial fluid velocity and axial coordinate as well as between velocity and time are displayed for fixed values of time and axial coordinate respectively for the linear and nonlinear theory for ease of comparison.

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Sommario Si studiano le perturbazioni prodotte da impatto in tubi elastici riempiti di fluidi. Si assume che il diametro del tubo indeformato, lo spessore della parete e il modulo elastico del materiale del tubo siano funzioni della distanza misurata lungo la linea centrale del tubo. La versione linearizzata delle equazioni che governano il fenomeno è risolta con la trasformata di Laplace, invertita con un metodo approssimato. Il sistema originale non lineare delle equazioni è risolto numericamente con il metodo delle caratteristiche. Vengono rappresentate, per valori fissati del tempo e della coordinata assiale, le relazioni tra la velocità assiale del fluido e la coordinata assiale oltre alle relazioni fra velocità e tempo, sia per la teoria lineare sia per quella non lineare.

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Evaluation of the elastic and plastic theories as components of a general doctrine of analysis and design of metal structures

Summary A general method is developed to evaluate the nonstationary response of a linear damped system subjected to a random excitation which is represented as the product of a modulating deterministic function and a white noise process. An approximate solution method is presented first by means of a step-by-step procedure; then this method is shown to be able to generate a differential equation for the time variation of the mean square response. Stability and accuracy of the step-by-step procedure are discussed in detail, and compared with other methods. Extension to multidegree of freedom and nonlinear systems are discussed.

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Sommario Viene sviluppato un metodo per il calcolo del valore quadratico medio di un sistema lineare eccitato da forzanti aleatorie localmente stazionarie con densità spettrale di potenza uniforme. Viene dapprima presentata una procedura di tipo passo-passo; con passaggio al limite si ottiene un'equazione differenziale che definisce il modo con cui varia il valore quadratico medio al variare del tempo. Viene discussa in dettaglio altresi l'accuratezza e la stabilità della procedura al passo. Infine si estende il metodo ai sistemi a più gradi di libertà e a quelli non lineari.

     

On periodic flow of non linear viscoelastic liquids

Summary After brief reference to energetical principles in order to find suitable constitutive equations for non-linear viscoelastic fluids, the behaviour of stress components is examined, for a simple shear motion with sinusoidal time time varying displacements of a liquid with an oscillating fading memory.

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Sommario Dopo aver richiamato brevemente un possibile procedimento per la determinazione della equazione costitutiva per liquidi viscoelastici nel caso di grandi deformazioni, si esamina il comportamento delle componenti del tensore degli sforzi nel caso di un moto periodico a filetti rettilinei e paralleli, supposto che il liquido abbia una memoria debole e oscillante nel tempo.

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Research supported by C.N.R., Gruppo nazionale per la fisica matematica.     

Large amplitude internal gravity waves in stably stratified fluids: Linear model

Summary In this paper, we consider a linear model for internal waves in a stratified fluid. The equations are generalised by Fourier analysis after the manner of Scorer(1949) who considered an infinite atmosphere.

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Sommario Si considera un modello lineare per le onde interne in un fluido stratificato. Le equazioni sono generalizzate con un'analisi di Fourier secondo il metodo di Scorer(1949) che ha considerato un'atmosfera infinita.

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Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.