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求三角函数的最大值和最小值是三角函数部分的重点内容 ,也是高考考察的热点 .本文就对三角函数最值的解法作一总结 .1 求三角函数最值的常用方法 1)配方法 (主要利用二次函数理论及三角函数的有界性 ) ;2 )化为一个角的三角函数 ,主要利用和 (差 )角公式及三角函数的有界性 ;(如 asinθ +bcosθ =a2 +b2 sin(θ + φ) ,φ为辅助角 )3)数形结合法 (常用到直线的斜率关系 ) ;4 )换元法 (如用万能公式 ,将三角函数转化为代数函数 ) ;5 )函数的单调性 ;6 )利用均值不等式 .2 举例例 1 求函数y =(sin2 x + 1) (cos2 … 相似文献
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本文通过一道三角函数例题 ,说明函数最值的一些通常求法 .例 求函数y =sinx2 cosx的最值 .思路 :本题可从化归思想出发 ,设法把函数变成asin(ωx φ) =b型 ;或借助万能公式 ,把函数转化成只含正切的函数 ;或寻求函数的几何背景 ,用数形结合的办法求出函数的最值 .解法 1 应用有界性将原函数变形 ,得2 y ycosx =sinx ,即sinx -ycosx =2 y ,∴ y2 1sin(x - φ) =2 y ,其中 φ =arctgy .∴sin(x - φ) =2 yy2 1,则 2yy2 1≤ 1.解之得- 33≤y≤ 33,∴ ymax=33,ym… 相似文献
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题目 1 (P32 .16题 )如图 1,在Rt△ABC中 ,斜边c是定值 ,r是此三角形内切圆的半径 .1)用含角B边c的关系式表示r .2 )当角B为多少度时 ,r有最大值 ?并求出最大值 .合刊中给出的解法是正确的 ,但不够简捷 .首先 ,r的表达式有些复杂 ,是一个分式 .并且三角函数出现在分母中 ;其次 ,B角是以半角的形式出现的 ;再次 ,三角函数是余切的形式 .这几点 ,都为下一步的化简整理设置了障碍 ,使得变形求值较为繁锁 .事实上 ,当出现直角三角形以及其内切圆时 ,我们应该首先想到它的内切圆半径公式 ,如果将此题与直角三角形内切圆半径公式… 相似文献
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20 0 4年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 486 求函数f(x) =x( 1 -x)(x+ 1 ) (x+ 2 ) ( 2x + 1 ) ,x∈( 0 ,1 ]的最大值解 记f(x) =y ,令x=1 -t1 +t( 0 ≤t<1 ) ( 1 )代入f(x) ,可得y=t( 1 -t2 )9-t2 ( 2 )引入待定正常数α,得y=αt( 1 -t2 )α( 9-t2 ) ≤(α2 +t2 ) ( 1 -t2 )2α( 9-t2 )=α2 + ( 1 -α2 )t2 -t42α( 9-t2 )=- 12α( 9-t2 ) + 8( 9+α2 )9-t2 + 1 7+α22α≤- 12α·2 8( 9+α2 ) + 1 7+α22α=1 7+α2 - 42 ( 9+α2 )2α(定值) ( 2′)以上y取最大值的条件是:t=α9-t2 =8( 9+α2 )9-t2 (α>0 ,t∈[0 ,1 ) ) .解出… 相似文献
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20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6 已知 :ADCE为半圆 (如图 ) ,B为直径AE上一点 ,F在AC上 ,AD =FC ,DE =CG ,BE=HG ,AL∥FG .求证 :KB ⊥AC证明 因为ADCE为半圆 ,所以∠ADE=∠FCG =90° .在Rt△ADE和Rt△FCG中 ,因为AD =FC ,DE =CG ,所以△ADE≌△FCG .所以AE =FG .又BE =HG ,所以AB =FH因为AL∥FG ,所以 AKFH =CKCH =KLHG.所以 AKKL =FHHG,所以 AKKL =ABBE,所以KB∥LC .又因为LC⊥AC ,所以… 相似文献
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20 0 3年高考数学选择填空题大多数都是常规基础题 ,许多题都要通过运算才能找到问题答案 ,因而花费了许多时间 ,造成计算繁杂的恐惧心理 .现对其中的部分试题进行剖析与反思 ,寻找突破口 ,希望能对训练数学运算思维有着借鉴作用 .1.已知x∈ - π2 ,0 ,cosx =45,则tan2x =( )(A) 72 4 . (B) - 72 4 . (C) 2 47. (D) - 2 47.思路 1 (计算 )∵x∈ - π2 ,0 ,cosx =45,∴sinx =- 35,tanx =- 34 ,tan2x =2tanx1-tan2 x=- 2 47.思路 2 (估算 )∵x∈ - π2 ,0 ,cosx =45∈22 ,32 ,∴ - π4 相似文献
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《数学通报》2003,(6):47-48,F003
1431 如图 ,在△ABC中 ,D、M、E是四等分BC的三个分点 ,一直线顺次交AB ,AD ,AM ,AE ,AC于K1 ,K2 ,K3,K4,K5.求证 :AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)(贵州安顺师专培训部 李慎东 5 61 0 0 0 )证明 注意到M是BC之中点 ,过B ,C两点分别作l的平行线BV ,CT(见图 )则有 :ABAK1 =AVAK3,ACAK5 =ATAK3 因为TM =VM 所以AV +AT=2AM故 ABAK1 + ACAK5 =2 ·AMAK3………①同理 ,可得ADAK2 + AEAK4=2 · AMAK3………②① +②整理得AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)1 432 四面体… 相似文献
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基于数学模式的观点,对数学竞赛中的函数最值问题的求解方法做了一些分析,给出了九种模式结构. 相似文献
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高一数学课本下册第 4 2页有这样一道有用的习题 :已知α + β +γ =nπ(n∈Z) ,求证 :tanα +tanβ +tanγ =tanα·tanβ·tanγ (1)下面举例说明其应用 .1 证明不等式例 1 在锐角三角形ABC中 ,求证tan2 A +tan2 B+tan2 C≥ 9.证明 ∵tanA·tanB·tanC=tanA +tanB +tanC≥ 33 tanA·tanB·tanC,∴tan2 A·tan2 B·tan2 C≥ 2 7, tan2 A +tan2 B +tan2 C≥ 33 tan2 A·tan2 B·tan2 C=33 2 7=9.2 化简三角函数例 2 在… 相似文献
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创新教育如何体现在教学上 ,对于一个具体的数学问题 ,不妨把它看作一件产品 ,进行联想类比 ;它有哪些变异 ?它还有哪些应用 ?能否开发出更有价值的系列产品 ?下面举例说明进行数学问题这方面的探讨和研究 ,以献读者 . 已知a >b>0 ,求a+1 6b(a-b) 的最小值 ; 已知a>b>0 ,求a2 +1 6b(a -b) 的最小值 (数学第二册上P37)这是大家熟悉的两个问题 ,通过改造、一般化 ,可得如下结果 :改 1为 :已知x1 ,x2 >0 ,求x1 +x2 +kx1 x2(k>0且k常数 )的最小值 .解 因x1 ,x2 >0 ,故x1 +x2 +kx1 x2 ≥3·3 k ,当且仅当x1 =x… 相似文献
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文[1]给出了一道德国奥林匹克试题的解法,本人觉得其解法不常规,下面给出此题的另一种简解,同时阐明多元函数最值的一般求法,与读者共勉. 相似文献
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文[1]作者对此题多方探索未得到数学解法,最后借助于物理知识求解,文[2]则利用一引理给出其纯数学解法,本文从不同的新角度给出此题的两个纯数学解法. 相似文献
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20 0 3年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 42 1 锐角△ABC中 ,求证 :cos(A -B) ·cos(B -C)·cos(C-A)≥ 8cosA·cosB·cosC .(安徽省南陵县工山二中 邹守文 2 42 41 8)证明 在三角形中有恒等式 :tanA·tanB·tanC =tanA+tanB+tanC .所以cos(B-C)cosA =sinBsinC+cosBcosCsinBsinC-cosBcosC=tanBtanC+1tanBtanC-1=tanAtanBtanC +tanAtanAtanBtanC -tanA=2tanA+tanB+tanCtanB+tanC同理cos(C-A)cosB =tanA+2tanB +tanCtanA+tanCcos(A -B)cosC =tanA +tanB+2tanCtanA +tanB令 x =2tanA+tanB+tanC , y =t… 相似文献
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20 0 3年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 36 如图 .⊙O1 与⊙O2内切于P ,⊙O1 的弦AB切⊙O2 于C .若⊙O1 和⊙O2的半径分别为R、r.求证 :AC2AP2 =R-rR .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 设PA、PB交⊙O2 于E、F ,连结EF ,过P作⊙O1 与⊙O2 的外公切线MN ,延长PC交⊙O1 于Q ,再连BQ、CF .因为MN是⊙O1 与⊙O2 的外公切线所以∠EFP =∠APM =∠ABP所以EF∥AB ,所以CE =CF所以∠APC=∠BPC又因为∠A =∠Q所以△APC ∽△QPB、△APC∽△QBC所以 ACAP =BQPQ ( 1 ) ACAP =CQBQ (… 相似文献
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20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 6 设x≥ 0 ,a >0 ,求使不等式1 +x≥ 1 + x2 - x2a成立的最大的a .(宁波市甬江职高综合高中部 邵剑波 31 5 0 0 0 )解 令 1 +x =t≥ 1 ,则x=t2 - 1 ,故1 +x - 1 - x2 + x2a=t- 1 - 12 (t2 - 1 ) + 1a(t2 - 1 ) 2=12a(t- 1 ) [2a-a(t+ 1 ) + 2 (t+ 1 ) 2 (t- 1 ) ]=12a(t- 1 ) [a-at + 2 (t+ 1 ) 2 (t- 1 ) ]=12a(t - 1 ) 2 [2 (t + 1 ) 2 -a]≥ 0 ,因此a≤ 2 (t + 1 ) 2 一定要成立 ,由于 2 (t+ 1 ) 2 在t≥ 1时的最小值为 8,所以所求的最大的a为 8.1 44 7 已知二次函数f(x) =ax2 … 相似文献
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定义域是函数的一个基本要素 ,研究函数的有关问题时 ,如果忽略定义域 ,往往会导致解题失误 .因此 ,必须优先考虑函数的定义域 .下面结合数例加以说明 .1 求函数的值域 (最值 )例 1 已知 3x2 +2 y2 =9x ,求u =x2 +y2 的最大值 .错解 :∵ 3x2 +2 y2 =9x ,∴ y2 =12 (9x - 3x2 ) ,∴u =x2 +y2 =x2 +12 (9x - 3x2 )=- 12 x - 922 +818,所以当x =92 时 ,u有最大值为818.剖析 由制约条件 3x2 +2 y2 =9x知y2 =12 (9x - 3x2 )≥ 0 ,解得 0≤x≤ 3,即u =- 12 x - 922 +818的定义域为 [0 ,3],而x =92 [0 ,3],所以u不可能取得818,故上述解法有误 … 相似文献
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