方程（组）与不等式（组）复习研究

复习目标 了解有关方程、方程组的概念；能正确、熟练地解一元一次方程、一次方程组和一元二次方程；掌握分式方程的解法并会验根；掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法；掌握一元二次方程根的判别式及应用；能正确列出方程或方程组解应用题．     

阻尼Gauss-Newton方法解非线性不等式组

本文研究了非线性不等式组的求解问题.利用了阻尼Gauss-Newton方法求解非线性方程组,获得了该算法的全局收敛性,推广了Gauss-Newton法在解非线性方程组方面的应用.     

构造函数解（证）不等式

函数与不等式有着密不可分的联系 ,在不等式问题中 ,应重视以函数为桥梁 ,根据实际问题构造函数 ,用函数思想与函数方法分析、解决问题 .解 (证 )不等式问题 ,从实质上说 ,是研究相应函数的零点、正负值区间及其图象变化问题 .因此 ,用函数思想来处理这类问题 ,不仅会优化解题过程 ,而且会使我们迅速获得解题的途径 .例 1　已知 |ａ|<1,|ｂ|<1,|ｃ|<1,求证 :ａｂ ｂｃ ｃａ >- 1.证　把ａ看作自变量ｘ ,作一次函数ｆ(ｘ) =ｂｘ ｂｃ ｃｘ 1=(ｂ ｃ)ｘ ｂｃ 1,∵ |ｂ|<1,|ｃ|<1,|ａ|<1,即ｘ∈ ( - 1,1) ,∴ ｆ( - 1) =-ｂ -ｃ ｂｃ 1…     

证明不等式的几种特殊方法与技巧

不等式的证明是高中数学的重要内容之一。由于不等式的证明灵活多样，技巧性强，因此有必要掌握几种特殊的证明方法或技巧，以提高证题能力．     

解线性不等式组的一个直接方法

这里常假定(1.2)是相容的. [1]给出了解亚定相容线性方程组的一个直接方法。本文把它推广到解线性不等式问题(1.2),并讨论了算法的良好性质及实现步骤.数值结果表明了算法的有效性.     

巧解二元一次方程组的几种方法

解二元一次方程组最常用的方法是代入法和加减法,但对于一些特殊的二元一次方程组,若能根据方程组的特征,灵活运用一些技巧,不仅可以简化解题过程,而且有助于培养同学们的创新意识,请看下面几例.     

用同心圆方法解三角不等式组

同心圆方法是以用三角圆解最简单三角方程ｓｉｎｘ≤ (≥ )ａ ,ｃｏｓｘ≤ (≥ )ａ ,ｔｇｘ≤ (≥ )ａ ,ｃｔｇｘ≤ (≥ )ａ的方法为基础的 .本文将指出 ,怎样借助于同心圆来寻找三角不等式组的解 .我们来解最简单的三角不等式组ｃｏｓｘ <- 12 ,ｓｉｎ2ｘ <32 ,ｔｇｘ≥ - 1 .首先在各个图 (图 1 - 3)上解每个不等式 ,在图上对相应于不等式的解的弧画上阴影 ,并根据不等式的符号 ,用空心点或实心点标出这些弧的各端点 .在各图的右上角写出三角圆是对哪一个自变量作出的 .图 1ｃｏｓｘ <- 12 ｘ∈ (23π 2πｋ ,43π 2ｋπ) ,ｋ∈Ｚ .ｓ…     

条件最值（不等式）问题的一种解（证）法

求条件最值及证明条件不等式问题 ,情形复杂 ,解法灵活 ,技巧性强 ,是学习的难点之一 .本文运用平均值不等式及柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式推导出几个条件不等式 ,并举例说明它们在求条件最值及证明条件不等式方面的一些应用 ,供大家参考 .1　若ａｉ,ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,且 ｎｉ=1ａｉｘｉ=ｋ ,则1) ｎｉ =1ｘｉ≥ 1ｋ ( ｎｉ=1ａｉ) 2 (ｎ∈Ｎ) ( 1)2 ) ｎｉ =1ａｎ≤ｋ ｎｉ=1ｘｉ(ｎ∈Ｎ) ( 2 )证　 1)∵ ｎｉ =1ａｉｘｉ=ｋ ,　∴ ｎｉ=1ｘｉ =1ｋ· ｎｉ =1ｘｉ· ｎｉ =1ａｉｘｉ≥ 1ｋ( ｎｉ=1ｘｉ·ａｉｘｉ) 2 =…     

浅谈不等式证明的几种特殊方法

不等式的证明在数学中是比较常见的题型 ,但有些不等式用常见的方法 (如比较法、分析法和综合法等 )很难证出来 ,或者根本证不出来 .这里介绍几种特殊的证法 ,解决一些不等式的证明问题 .1　数学归纳法数学归纳法是数学中解决证明题很重要的一种方法 ,在不等式证明中也不例外 ,对于与自然数有关的不等式都可以考虑这种方法 .例 1　证明 :|ｓｉｎｎｘ|≤ｎ|ｓｉｎｘ|对任何自然数都成立 .证　 1 )当ｎ =1时 ,不等式显然成立 ;2 )假设ｎ =ｋ时 ,不等式成立 ,即　 |ｓｉｎｋｘ|≤ｋ|ｓｉｎｘ|成立 .当ｎ =ｋ +1时 ,　 |ｓｉｎ(ｋ +1 )ｘ|=|ｓｉ…     

关于素变数丢番图方程组与不等式组（英文）

本文研究了和素数有关的方程组和不等式组，通过更细致的指数和估计，我们改进了以前的结果。     

不等式证明的几种方法

不等式是初等数学的重要内容 ,是研究方程和函数的重要工具 .不等式的证明题型多变 ,方法多样 ,技巧性强 ,无固定程序可循 .常用的不等式证明方法有比较法、综合法、分析法、函数法、放缩法、代换法、反证法、数学归纳法等等 .一、比较法 :比较法主要有作差比较法和作商比较法两种 .1.作差比较法 (简称比差法 ) :a、b、c≥ 0 ,求证 :a3 +b3 +c3 ≥ 3abc .证明 :a3 +b3 +c3 - 3abc=(a +b) 3 - 3ab(a +b) +c3 - 3abc=(a +b +c) 3 - 3(a +b)·c (a +b) +c -3ab(a +b +c)=(a +b +c) (a2 +b2 +c2 -ab -bc -ca)=12 (a +b +c)· (a -b) 2 + (b -c) …     

一个不等式问题的换位思考

数学是思维的体操 ,它在培养人的思维能力方面起着至关重要的作用 .思维角度转换在思维能力中显得尤为重要 ,下面举例谈谈数学解题中如何进行思维角度的转换 .例 1　对于满足 0≤ ｐ≤ 4的一切实数 ,不等式ｘ2 + ｐｘ >4ｘ + ｐ - 3恒成立 ,试求ｘ的取值范围 .分析　本题中含有ｘ ,ｐ两个变量 ,一方面 ,可以从不同角度看这两个变量 ;另一方面 ,可以借助于函数来解决不等式问题 .解　 [方法 1]原不等式即为ｘ2 + (ｐ - 4 )ｘ + 3- ｐ >0 (1)∴方程ｘ2 + (ｐ - 4 )ｘ + 3- ｐ =0的根为ｘ1=1,ｘ2 =3- ｐ (0≤ ｐ≤ 4 ) .∵ 0≤ｐ≤ 4 ,∴ - 1≤…     

改进一个不等式的思考过程

设ａｉ≥ 0 ,ｂｉ≥ 0 ,ａｉ+ｂｉ=1 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 .记Ｓｎ =∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1 ,规定当ｉ>ｎ ,ａｉ =ａｉ-ｎ,当ｉ<1 ,ａｉ =ａｉ+ｎ.文 [1 ]证明了命题 1　Ｓｎ ≤ ｎ4ｓｉｎ2 πｎ图 1证法颇为巧妙 :如图1 ,Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 是边长为 1的正ｎ边形 ,在ＡｉＡｉ+1 上取Ｂｉ,使ＡｉＢｉ =ａｉ,则ＢｉＡｉ+1=ｂｉ.显见 ∑ｎｉ=1Ｓ△ＢｉＡｉ+1 Ｂｉ+1 ≤ＳＡ1 Ａ2 …Ａｎ,也就是12 ｓｉｎ(ｎ- 2 )πｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1　≤ ｎ2 · 14ｓｉｎ2 πｎ·ｓｉｎ2πｎ整理即得 (1 ) .在图 1中作正ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的对角线Ａ1 …     

解一道竞赛题的思维历程

1．问题呈现 题目：若不等式√x＋√y≤k√2x＋y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围。 这是2009年全国高中数学联赛江苏初赛第13题,本文将以该题为对象再现笔者真实的解题思维历程,为大家提供一个可供借鉴的实践性解题案例．     

一个代数不等式的再推广

文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理　设ｘ =ｘ(ｔ) ,ｙ =ｙ(ｔ) ,ｔ∈Ｄ Ｒ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ,ｙ是Ｄ上单调函数 (可不严格 ) ,Ａ =ｘ(ｔ1)·[ｙ(ｔ1) - ｙ(ｔ2 ) ]+ｘ(ｔ2 )[ｙ(ｔ2 ) - ｙ(ｔ3) ]+… +ｘ(ｔｎ -1) [ｙ(ｔｎ -1) -ｙ(ｔｎ) ]+ｘ(ｔｎ) [ｙ(ｔｎ) - ｙ(ｔ1) ],ｎ >1 ,ｎ∈Ｎ .则1 )若ｘ ,ｙ增减性相同 ,得Ａ≥ 0 ,且当且仅当ｘ(ｔ1) =… =ｘ(ｔｎ)或 ｙ(ｔ1) =… =ｙ(ｔｎ)时 ,Ａ =0 ;2 )若ｘ ,ｙ增减性相反 ,得Ａ≤ 0…     

解微分方程组的改进尤拉方法的改进

对改进尤拉方法解微分方程组的方法作了改进,改进的算法与原来算法的计算量一样,但精度比较高.     

几个改进的矩阵不等式（英文）

本文研究了矩阵不等式的问题.利用两个新的标量不等式,得到了矩阵的加权几何均值不等式和Hilbert-Schmidt范数不等式,所得的结果改进了相应的不等式.