具逐段常变元中立型泛函微分方程的振动性

本考虑方程(x(t)-cx(t-2[(t 1)/2]))' p(t)x(t) r(t)x(t-2[(t 1)/2])) q(t)x(t2[(t 1)/2]=0(a)和方程（x(t)-cx(t-[t]))'=a(t)x(t) b(t)x(t-[t]) p(t)x([t 1])(b)解的振动性质,得到方程（a)和（b)的解为振动解的充分条件。     

方程a_2“非汉字符号”(t-τ)+a_1(t-τ)+a_0x(t-τ)+b_2“非汉字符号”(t)+b_1(t)+b_0x(t)=δ的部分解讨论

讨论了方程 a2 x( t-τ) + a1x( t-τ) + a0 x( t-τ) + b2 x( t) + b1x( t) + b0 x( t) =δ的部分解     

一类不等式成立的条件与均值不等式的加强

熟知 ,不等式ax2 +bx +c≥ 0 (x≥ 0 )成立的充要条件是a≥ 0 ,c≥ 0 ,b+ 2ac≥ 0 .对此加以推广 ,我们得到了定理 1　设n∈R ,n >1 ,则不等式fn(x) =axn+bx +c≥ 0 .(x≥ 0 ) ( 1 )成立的充要条件是a≥ 0 ,c≥ 0 ,(n - 1 )b +n[(n - 1 )acn - 1 ]1 n≥ 0( 2 )证　先考虑a =1的情况 :易知b≥ 0时fn(x)在 [0 ,+∞ )上递增 ,b <0时 fn(x)在 [0 ,x0 ]与 [x0 ,+∞ ]上分别递减与递增 ,其中x0 =-bn1 n- 1 .故当x≥ 0时有fn(x) min=f( 0 ) =cf(x0 ) =c- (n - 1 )x0 n　 (b≥ 0 ) ,(b<0 ) .从而知 fn(x)≥ 0 (x≥ 0 )成立的充要条件是b≥ 0 ,c≥ 0…     

地下水污染中一离子反应数学模型的有限元方法

1　引　　言在地下水含水层中 ,污染物随地下水运移并常常发生各种化学反应 [1 ] .描述地下水含水层中一类阳离子交换反应 m M1 +r M2 k2k1 r M2 +m M1 的数学模型[2 ] 为 : s1 t- dΔs1 =f1 ,　　 x∈Ω ,t∈ J (1.1a) s2 t- dΔs2 =f2 ,　　 x∈Ω ,t∈ J (1.1b) c1 t+ρ s1 t- DΔc1 =0 ,　　 x∈Ω ,t∈ J (1.2 a) c2 t+ρ s2 t- DΔc2 =0 ,　　 x∈Ω ,t∈ J (1.2 b)其中 Ω R2为具有光滑边界的有界区域 ,J=(0 ,T].这里 D>d>0为扩散系数 ,ρ>0为固体颗粒密度 ,均为常数 .根据 [1,2 ]应有 :f1 =m[k1 Rm1 Rr2 cm1 sr2 -…     

上期课外练习参考解答

初一年级1.解原方程化为{x}=11-2[x]/5. ∴.0<11+2[x]<5. ∴-5.5<[x]<-3. ∴[x]=-4,或[x]=-5, 当[x]=-4时,{x}=0.6. 当[x]=-5时.{x}=0.2. ∴x=-3.4或x=-4.8. 2.解将三个式子相加,得a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2=0. 配方得(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2=0.     

数学问题解答

20 0 0年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )12 3 6.设 f( x) =( x2 2 x 3 ) x 3 ( x2 2 x 3 ) x2 ,当 x∈ R.证明 :f ( x)≥ 6.证明　∵　x2 2 x 3 =( x 1) 2 2≥ 2∴　对 x∈ R有　 ( x2 2 x 3 ) x 3 >0成立 .因此1°　当 x<-3时 ,f ( x) >0 2 x2 >2 9>6,这时命题成立 .2°　当 x≥ -3时 ,f ( x) =〔( x 1) 2 2〕x 3 〔( x 1) 2 2〕x2令　 x 1=t,由 x 3≥ 0 ,则 t 2≥ 0那么　 f ( x) =g ( t) =( t2 2 ) t 2 ( t2 2 ) (t-1 ) 2≥ 2 t 2 2 t2 -2 t 1 =4· 2 t 2· 2 t2 -2 t= ( 2 t 2 t 2 t 2 t) ( 2 t2 -2 t 2 …     

幂函数曲线求切点坐标的失根问题--《高等数学》(同济四版)的一个勘误

一元函数微分学的几何应用是考虑平面曲线的切线问题 ,这也是考试中经常出现的一类问题。此类问题的关键是确定切点坐标。但《高等数学》[1] 第 1 0 3页例 8求曲线 y=x32 的通过点 ( 5,1 1 )的切线方程时 ,仅得到一条切线 3 x-y-4=0 ,在确定切点坐标的求解中出现失根。事实上 ,由方程　　　 1 1 -x320 =32 x0 ( 5-x0 ) ,　　令 t=x0 ,可得关于 t的三次方程　　　 t3-1 5t+2 2 =0 ,即 ( t-2 ) ( t2 +2 t-1 1 ) =0 .它有三个实根 :t1=2 ;t2 =-1 +2 3 ;t3=-1 -2 3。由于 t=x0 ≥ 0 ,t3应舍去。从而有　 x0 =4　或　 ( 2 3 -1 ) 2 ;相应地 ,y0 =…     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

Asymptotic Behavior of Oscillatory Solutions of Forced Nonlinear Neutral Delay Differential Equations

§1.　IntroductionThispaperisconcernedwiththeasymptoticbehavioroftheoscillatorysolutionsofnonlin-earforcedneutraldelaydifferentialequationsoftheform[x(t)-∑mi=1pi(t)x(t-τi)]′ ∑nj=1qj(t)f(x(t-σj))=r(t),　t≥t0,(1)wherepi,qj,r∈C([t0,∞),R),τi,σj≥0,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,f∈C(R,R),xf(x)>0forx≠0.Whenpi(t)≡0,i=1,2,…,m,Eq.(1)reducestox(t) ∑nj=1qj(t)f(x(t-σj))=r(t),　t≥t0,(2)whoseasymptoticbehaviorofallsolutionshasbeenstudiedinJ.R.Yan[5].Whenr(t)≡0,f(x)≡xandm=n=1,Eq.(1)reducesto[…     

Variational Iteration Method for Delay Differential Equations

Since1930'sand40's,theexamplesofdelaydifferentialequationsarisinginpracticalapplicationshavebeenescalatedrapidly,andhavebeenstudiedextensively(fordetails,see[1]).Inthispaperwewillproposeanovelmethodcalledvariationaliterationmethod[2]tosolvesuchproblems.Considerfollowingpopulationgrowthmodel[1]x′(t)+cθ(t-1)x(t)+cθ(t-1)=0(1a)x(0)=θ(0),-1≤t≤0(1b)　　Accordingtovariationaliterationmethod[2],thecorrectionfunctionalcanbeconstructedasfollowsxn+1(t)=xn(t)+∫t0λ[x′nτ+cθ(τ-1)xn(τ)+cθ(τ-1…     

一阶时滞泛函微分方程解的零点距估计

研究时滞微分方程x′(t) p(t) x(t-τ) =0 ,t≥ t0 , (1)(x(t) a(t) x(t-δ) )′ b(t) x(t-σ) =0 ,t≥ t0 ,(2 )的解的零点距 .采用一种新方法 ,给出其解任意两相邻零点之间的距离的估计 ,改进、推广已有的结果     

两个简单结论在解竞赛问题中的应用

结论 1　a ≥ f(x) a ≥ [f(x) ]max.结论 2　a ≤ f(x) a ≤ [f(x) ]min.上述两个结论为我们解决含参数恒成立数学竞赛问题提供了一种简捷的方法———分离参数法 .本文以数学竞赛问题作为实例 ,谈一谈这两个简单结论在求解数学竞赛问题中的重要应用 .例 1　 (1996年全国高中数学联赛题 )求实数a的取值范围 ,使得对任意实数x和任意θ∈ [0 ,π2 ]恒有(x+ 3 + 2sinθcosθ) 2 + (x+asinθ+acosθ) 2≥ 18.分析　设t=sinθ+cosθ,因为θ∈ [0 ,π2 ],则原不等式可化为(x+ 2 +t2 ) 2 + (x+at) 2 ≥ 18,t∈ [1,2 ].因为　 (x+ 2 +t2 ) 2 + (x…     

关于函数的算术平均的两个性质

设函数 f ( t)在 [a,b]上连续 ,对任意 x,y∈ [a,b],x≠ y,定义Φ( x,y) =1x -y∫xyf ( t) dt则下面结果成立 :( 1 )若 f( t)是关于 t的单调不减函数 ,则 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数 ;( 2 )若 f″( t)≥ 0 ,则 2 Φ x2 ≥ 0 , 2 Φ x y= 2 Φ y x≥ 0 , 2 Φ y2 ≥ 0　　证明　 ( 1 ) Φ x=( x -y) f ( x) -∫xyf ( t) dt( x -y) 2 =f ( x) -f (ξ)x -y ≥ 0 ,ξ∈ [x,y]或ξ∈ [y,x]由 x,y的对称性知 Φ y≥ 0 ,因此 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数。( 2 )　 2Φ x2 =( x -y) 2 f′( x) -2 ( x -y) f ( x) +2 ∫xyf ( t) d…     

中立型微分方程正解的存在性

考虑一阶具有正负系数中立型微分方程[x(t) -c(t)x(t -γ) ]+ p(t)x(t-τ) -Q(t)x(t-δ) =0 ,t≥t0 ,( )其中c,p ,Q ∈C( (t0 ,∞ ) ,R+) ,R+=( 0 ,∞ ) ,γ>0 ,t >δ≥ 0。我们获得了方程 ( )正解存在的充分条件。作为结果的推论 ,去掉了ZHANGBing_gen文 [4](《应用数学学报》1 996年第 2期 )中必需条件 ∫∞c0 p(t)dt=∞ ,其中 p(t) =p(t) -Q(t -τ+δ) ≥ 0 ,从而改进了文 [4]中相应结论。     

函数单调性问题中的恒成立问题

有一类关于函数单调性的判定问题 ,根据函数单调性的定义 ,可转化为恒成立问题后 ,方便、快捷地得以解决 .例 1　设函数 f(x) =logπ(ax2 + 2x)在 [2 ,4 ]上为单调递增函数 ,求a的取值范围 .浙江《中学教研 (数学 )》2 0 0 3年第 4期中 ,用分类讨论法求解此题 ,较繁 ,现简解之 .解　因为 f(x) =logπt在t∈ (0 ,+∞ )上为单调递增函数 ,所以只需t =ax2 + 2x在 [2 ,4 ]上为单调递增函数即可 .若设 2≤x1- 2x1+x2在 [2 ,4 ]上须恒成立 .由…     

<Emphasis Type="Italic">H</Emphasis><Superscript>1</Superscript>-estimates of Littlewood-Paley and Lusin functions for Jacobi analysis

For α≥β≥ -1/2 let Δ(x) = (2shx)2α+1(2chx)2β+1 denote the weight function on R+ and L1(Δ) the space of integrable functions on R+ with respect to Δ(x)dx, equipped with a convolution structure. For a suitable φ∈ L1(Δ), we put φt(x) = t-1Δ(x)-1Δ(x/t)φ(x/t) for t > 0 and define the radial maximal operator Mφ as usual manner. We introduce a real Hardy space H1(Δ) as the set of all locally integrable functions f on R+ whose radial maximal function Mφ(f) belongs to L1(Δ). In this paper we obtain a relation between...     

一个不等式的指数推广

贵刊文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,λ≥3则aa λb λa b b≥12 λ(1)(见文[1](3)式)本文将把(1)式推广为:定理设a,b>0,n≥2且n∈N,λ≥2n-1则naa λb nbλa b≥n12 λ(2)证明令x1=ab,x2=ba,则x1,x2>0,且x1x2=1,于是(2)式等价于1n1 λx1 n11 λx2≥n12 λ(3)再令t1=n1 λx1,t2=n1 λx2,则t1,t2>0(3)式等价于1t1 t12≥n12 λn1 λ(t1 t2)≥2t1t2(1 λ)(t1 t2)n≥2nt1nt2n(1 λ)(t1n C1nt1n-1t2 C2nt1n-2t22 … Cnn-1t1t2n-1 t2n)≥2n(t1t2)n(1 λ)[2 λ(x1 x2) (C1ntn1-1t2 C2nt1n-2t22 … Cnn-1t1t2n-1]≥2n(t1t2)n(4)因为C1n C2n … C…     

全面理解 多方转化——一道不等式恒成立问题的多角度审视

题目　不等式lg(x +1)≤ 2lg(2x +t)在 [0 ,1]上恒成立 ,求实数t的取值范围 .1.错在哪里 ?不等式lg(x +1)≤ 2lg(2x +t)对 [0 ,1]中的每一个x都成立 lg(x +1) max≤ [2lg(2x +t) ]min,即lg2≤ 2lgt ,∴t≥ 2 .这个结果是错的 .事实上 ,t=1时 ,不等式lg(x+1)≤ 2lg(2x +1)在 [0 ,1]上恒成立 x +1≤ (2x+1) 2 在 [0 ,1]上恒成立 x(4x +3)≥ 0在 [0 ,1]上恒成立 .也就是说t=1满足题目要求 .那么错在什么地方呢 ?错在“不等式lg(x +1)≤ 2lg(2x +t)在 [0 ,1]上恒成立 ,当且仅当lg(x +1) max≤ [2lg(2x +t) ]min”这一点上 .事实上 ,不等式lg(…     

具有“积分小”系数的奇数阶中立型方程的振动性

考虑中立型微分方程dndtn[x( t) -P( t) x( t-τ) ]+Q( t) x( t-σ) =0 ,　 t≥ t0 ,( * )其中 n≥ 1 ,n为奇数 ,P( t) ,Q( t)∈ C( [t0 ,+∞ ) ,R+ ) τ>0 ,σ>0 .本文在不需要通常假设 ∫∞t0Q( s) ds=∞的条件下 ,获得了保证 ( * )的所有解振动的几个充分条件 ,并推广了文 [1 ]、[3]的相应结论 .     

一对姐妹不等式的简证和再推广

文[1]提出并证明了下面一对姐妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba1 b-c≥763,①1b c ac1 a ba1 b c≥1613.②以上两式当且仅当a=b=c=31时取等号.但文[1]证明过程较繁杂,本文给出一种简单证法,并将结论进行一定推广.1一对不等式的简证先证上述不等式①.记x=b c,y=c a,z=a b,则有00,即f(t)为下凸函…