课外练习

高一年级1 .设ｘ ,ｙ为实数 ,且满足 (ｘ - 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｘ - 1 ) + 1 =0 ,(ｙ- 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｙ- 1 ) - 1 =0 .求ｘ + ｙ的值 .2 .已知锐角α ,β满足 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 + ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 =2 .求ｓｉｎ2 0 0 2 (α + β)的值 .3 .过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ .设ＰＡ =ＡＢ =ａ .求平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成二面角的大小 .高二年级1 .设数列 { 1ｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,是否存在数列 {ａｎ}使得等式Ｓ1 +Ｓ2 +… +Ｓｎ - 1 =ａｎ(Ｓｎ- 1 )对ｎ≥2的一切自然数都成立 ,并证明你的结论 .2 .ＡＢ…     

上期课外练习解答

高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1,　ｆ(ｙ - 1) =1.即　ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴　ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设　 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1,　 ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵　α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴　ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴　ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ…     

一个猜想的推广

文 [1 ]提出并证明了下述的猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ ,α>0 ,则有 :∑ ｂα+1ｉａαｉ≥ (∑ｂｉ) α+1(∑ａｉ) α ,当且仅当 ａｉｂｉ =∑ａｉ∑ｂｉ时等号成立 .本文给出上述猜想的推广并证明 :定理　设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ .1 )当α >0 ,β >0 ,α+β<1时∑ａαｉｂβｉ ≤ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β;2 )当 β <0 ,α<0或α≥ 1 -β时∑ａαｉｂβｉ ≥ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β.证明　首先有Ｊｅｎｓｅｎ不等式 (见文 [2 ])设ａｉ ∈Ｒ+,ｉ=1 ,2 ,…ｎ.则1ｎ∑ａαｉ ≥ (1ｎ∑ ａｉ)α　 (α …     

两个三角函数恒等式及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ(β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ(α - β) =0 . (1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎαｓｉｎ(β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ( γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ(α - β) =0 .(2 )证　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ(3)(4 )由 (3) ,(4 )两式可得　　ｘｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(γ - β) (5)　　ｙｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(α -γ) (6 )将 (3)式两边同乘ｓｉｎ(α - β)后 ,再将 (5) ,(6 )两式代入即得定理 1.将 (4 )式…     

一个三角恒等式的简证

文 [1]中证明了一个恒等式 :若α + β +γ =nπ(n∈Z) ,则tanαtan(β -γ) +tanβtan(γ -α) +tanγtan(α - β) =-tanαtanβtanγtan(α - β)tan(β -γ)tan(γ -α) ( ) .其证明太繁 ,下面笔者给出一个自然简单证明以供参考 .同时将看到上式中条件α+ β +γ =nπ是多余的 .证明　由正切和差公式易知 :tanα -tanβ =tan(α - β) (1+tanαtanβ) ,tanα +tanβ =tan(α + β)(1-tanαtanβ) .当α + β +γ =0时 ,tan(α + β) =-tanγ ,则tanα +tanβ +tanγ =tanαtanβtanγ .∵ (α - β) + (β -γ) + (γ -α) =0 ,∴tan(…     

SPECTRAL METHODS FOR THE GL-BBM EQUATIONS

1　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ,ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｐｅｒｉｏｄｉｃｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｆＧｉｎｚｂｕｒｇ ＬａｎｄａｕｅｑｕａｔｉｏｎｓｃｏｕｐｌｅｄｗｉｔｈＢＢＭｅｑｕａｔｉｏｎｓ:ｘ∈Ｒεｔ+ με-(α1+ｉα2 )εｘｘ+ (β1+ｉβ2 ) ｜ε｜2 ε-ｉδｎε=ｇ1(ｘ) ,(1 .1 )ｎｔ+ ｆ(ｎ) ｘ+λｎ-αｎｘｘ-ｎｘｘｔ+ ｜ε｜2 ｘ =ｇ2 (ｘ) ,(1 .2 )ε(ｘ+ 2π ,ｔ) =ε(ｘ ,ｔ) ,ｎ(ｘ + 2π ,ｔ) =ｎ(ｘ ,ｔ) ,(1 .3)ε(ｘ ,0 )…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

一类三角问题解的讨论

在高中数学课本、课外参考书及报刊杂志上 ,经常会碰到这样一类三角问题 :已知　ｃｏｓα±ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα±ｓｉｎβ =ｎ .求 :ｓｉｎ(α±β)的值 .文 [1],[2 ]对特殊情形 :已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ =12 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ =- 13,求ｓｉｎ(α + β)的解法及避免增解作了分析 ,文 [1]还提出条件不变 ,ｓｉｎ(α - β)符号怎样验证和判断的困惑 ,本文对这类问题进行分析与讨论 ,以加深对这类问题解的认识 .显然上述问题的条件有四种不同组合 :(Ⅰ ) ｃｏｓα +ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα +ｓｉｎβ =ｎ .(Ⅱ ) ｃｏｓα -ｃｏｓβ =ｍ…     

如何求解“给值求角”问题

“给值求角”问题的求解分为两步走 ,缺一不可 :1 )根据题设条件 ,求角的某个三角函数值 ;2 )讨论角的范围 ,必要时 ,还需根据已知三角函数值缩小角的范围 ,从而确定角的大小 .例 1　已知tan(α - β) =12 ,tanβ =- 17,且α ,β∈ ( 0 ,π) ,求 2α - β的值 .分析 :已知条件启发我们应求该角的正切值 ,并用拆角“手段”将角 2α - β分拆成2 (α - β) + β .讨论时应尽可能缩小角的范围 .解　∵tan( 2α- β) =tan[2 (α- β) + β]=tan2 (α- β) +tanβ1 -tan2 (α- β)tanβ.又　∵tan2 (α - β) =2tan(α - β)1 -tan2 (α - β) =4…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

归纳、猜想、证明——求数列通项的一种思路

数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题的一种方法 .在解数列题中 ,我们可用数学归纳法得到所求数列的通项 ,当然 ,先要进行观察、归纳与猜想 .例 1　设无穷数列 {ｂｎ}的前ｎ项和为ｃｎ,且ｂｎ+ｃｎ=ｎ (ｎ∈Ｎ) .(1)求证 :数列 {1-ｂｎ}为等比数列 ;(2 )求ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 (ｃ1 +ｃ2 +… +ｃｎ) .分析　首先观察 :ｎ =1时 ,ｂ1 +ｃ1 =2ｂ1 =1有ｂ1 =12 ;ｎ =2时 ,ｂ2 +ｃ2 =ｂ1 + 2ｂ2 =2 ,有ｂ2=34;ｎ =3时 ,ｂ3+ｃ3=ｂ1 +ｂ2 + 2ｂ3=3 ,有ｂ3=78,……由 (1)提示知 1-ｂ1 =12 ,1-ｂ2 =14 ,1-ｂ3=18,……故猜想 1-ｂｎ=(12 ) ｎ,即　ｂｎ=1…     

数论问题

(续上期 )例 9　证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证　论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β…     

两角互余的几个等价条件

结论 1　已知α ,β为税角 ,ｋ≥ 0 ,则α +β=π2 的充要条件是ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ + 2 βｃｏｓｋα =1 .证　必要性是显然的 ,充分性 :ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ+ 2 βｃｏｓｋα =1 =ｃｏｓ2 β +ｓｉｎ2 β .ｓｉｎｋ + 2 α-ｃｏｓｋ + 2 βｃｏｓｋβ =ｓｉｎ2 β(ｃｏｓｋα -ｓｉｎｋβ)ｃｏｓｋα .假设α + β >π2 ,则α >π2 - β ,β >π2 -α ,∵α ,β ,π2 -α ,π2 - β∈ 0 ,π2 ,∴ｃｏｓα <ｃｏｓ π2 - β =ｓｉｎβ ,　ｃｏｓβ <ｃｏｓ π2 -α =ｓｉｎα ,从而ｓｉｎｋ + 2 α -ｃ…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α+β) +ｓｉｎ(α- β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α +β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α+β) +ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ=- 12 [ｃｏｓ(α +β) -ｃｏｓ(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′+ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球体的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3其中Ｒ表示球的半径一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )满足条件Ｍ∪ { 1 } ={ 1 ,2 ,3 }的集合Ｍ…     

并不恒等的三角“恒等”变换

“三角恒等变换”是学习三角知识及探索三角问题的一种重要方法 ,是学生必须要掌握的一块重要内容 .但很多学生却由于概念不清、忽视角的取值范围等原因把并不恒等的三角变形看成恒等的三角变形 .本文举数例说明如下 .1　求角例 1　已知ｓｉｎα =2ｃｏｓβ ,ｔｇα =3ｃｔｇβ ,- π2 <α <π2 ,0 <β<π ,求角α,β.错解 :由已知得 :ｃｓｃ2 α =12ｃｏｓ2 β,ｃｔｇ2 α=13ｔｇ2 β (1)∵ｃｓｃ2 α =1 ｃｔｇ2 α (2 )∴ 12ｃｏｓ2 β=13ｔｇ2 β 1(3)∴ 1=12ｃｏｓ2 β- 13ｔｇ2 β =3- 2ｓｉｎ2 β6ｃｏｓ2 β .∴ 6ｃｏｓ2 β=3- 2…     

一类特殊方程的解法

第九届“希望杯”全国数学竞赛中有这样一道试题 :设α ,β分别为方程ｌｏｇ2 ｘ ｘ - 3=0和 2 ｘ ｘ -3=0的根 ,则α β =.现解答如下 .解法 1　 (观察法 )显见 1为后一方程的一根 ,又ｆ(ｘ) =2 ｘ ｘ - 3是增函数 ,则 1为后一方程的唯一实根 ,即 β =1.类似得α =2 ,则α β =3.解法 2　 (代入法 )由α为前一方程的根可得ｌｏｇ2 α α - 3=0 ,2 3-α=α ,则 2 3-α ( 3-α) - 3=0 ,即 3-α为后一方程的根 .由解法一知后一方程实根唯一 ,∴ β =3-α ,所以α β =3.图 1　解法 3图解法 3　 (图象法 )在同一坐标系中作出三个函数①ｙ …     

错在哪里？

题目 :已知α,β∈ - π2 ,π2 ,tanα =2m ,tanβ=m - 1 ,且α +β<π4 ,求m的取值范围 .这是某参考书上的一个习题 ,解答如下 :由α,β∈ - π2 ,π2 ,且α +β<π4 知-π <α+β<π4 .(1 )当 - π2 <α +β <π4 时 ,tan(α +β)= 3m - 1- 2m2 +2m +1 ,由于 y=tanx在 - π2 ,π4 上是增函数 ,得 3m - 1- 2m2 +2m +1 <1 ,解得 - 1 - 1 74相似文献   

试题研讨(13)

题 1　 (2 0 0 3年安徽省春季高考试题 )设α、β为 x2 - x - 1=0的根 ,且α>β,令 cn =αn -βn　 (n∈ N+) .(1)求 c1 ,c2 ,c3 ;(2 )证明 :1α2 n-1 +1α2 n >1c2 n-1 +1c2 n;(3)证明 :∑nk=11ck <α.命题溯源　数列与不等式相结合的题型是高考命题中的一个“热点”,在全国各地的综合测试卷中出现的频率较高 .1998年及2 0 0 2年高考都是以这类题型作为压轴题 ,它能很好的考查学生知识转化为能力的水平层次 .原题思路　 (1)解方程 x2 - x - 1=0得α =1+52 ,　β =1- 52 ,则c1 =α-β=5 ,c2 =α2 -β2 =5 ,c3 =α3 -β3 =2 5 .(2 )易得α+…     

课外练习

高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶…     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…