二项式定理与组合恒等式

二项式定理是组合数学中一个重要的恒等式 ,即(ａ ｂ) ｎ= ｎｉ=0 Ｃｉｎａｎ -ｉｂｉ.其中Ｃｉｎ 称为二项式系数 .由于组合计数问题在数学竞赛中的重要地位 ,熟练地掌握组合数的性质 ,并能灵活地运用它们来解决各种问题 ,这对参赛选手来说 ,是十分必要的 .本文我们将介绍计算含有组合数的和式以及证明组合恒等式的一些常用方法 .例 1　证明 :Ｃ1ｎ 2Ｃ2 ｎ 3Ｃ3ｎ … ｎＣｎｎ=ｎ·2 ｎ - 1.证　注意到组合数的性质Ｃｋｎ=ｎｋＣｋ- 1ｎ - 1,∴Ｃ1ｎ =ｎＣ0 ｎ - 1,2Ｃ2 ｎ =ｎＣ1ｎ - 1,… ,ｎＣｎｎ =ｎＣｎ - 1ｎ - 1.于是　Ｃ1ｎ 2…     

数学竞赛中的递推数列问题

在各级各类的数学竞赛中 ,大量的数列问题都是由递推关系给出的 .建立递推关系是研究数列的各种性质以及许多综合数学问题的有效手段 (例如某些组合数的计算问题 ) .因此 ,运用递推关系解决问题是一种非常重要的途径 .本文我们讨论处理递推关系的一些常用方法 .1　迭代法　迭代法就是反复运用题设所给数列 {ａｎ}的递推关系进行代换 ,每代一次 ,脚标ｎ就往下降 ,直到能用初始值表示ａｎ 为止 .但是在大多数情况下 ,迭代之后不能写成简单的形式 ,因此迭代不出任何结果 ,这时也可考虑进行适当的变换 ,然后再进行迭代 .例 1　 (1996年全国高中…     

数学竞赛之窗

有关本栏目的稿件 ,请直接寄给熊斌 ( 2 0 0 0 62 ,华东师大数学系　Ｅ -ｍａｉｌ:ｘｉｏｎｇｂｉｎ @ｓｈ163 .ｎｅｔ)或冯志刚 ( 2 0 0 2 3 1,上海市上海中学　Ｅ -ｍａｉｌ:ｚｈｇｆｅｎｇ @ｏｎｌｉｎｅ.ｓｈ .ｃｎ) .提供试题及解答请尽量注明出处 .本期给出单的“评 2 0 0 1年高中联赛” .评 2 0 0 1年高中联赛　　　　　　单　2 0 0 1年高中联赛 ,接近高中教材与高考 .试题大多中正平和 ,解法也简明扼要 .选择题的第 4题是作图题的讨论 ,不小心就会做错 ,第 6题买花是不等式的应用 .设玫瑰与康乃馨的单价分别为每枝ｘ元与 ｙ元 ,…     

“二项式定理”有哪些常见的题型

1　“二项式定理”常见的题型1)求指数n ;2 )求二项式两项中的某一项 (或相关部分 ) ;3)求二项展开式的某一项 ;4 )求二项展开式的某些项的系数和 ;5 )求n个二项式的和、差、积的某项 ;6 )三项式问题 .2　例题研究例 1　 x +14(x - 1) 5的展开式中 ,x4的系数为 (　　 )(A) - 4 0 .　　 (B) 10 .　　 (C) 4 0 .　　 (D) 4 5 .解　展开式的通项为　Cr4x4-r2 Ck5x5-k(- 1) k=(- 1) kCr4Ck5x14 -r -2k2 (0≤r≤ 4 ,0≤k≤ 5 ) .令14 -r - 2k2 =4 ,得 2k +r=6 .∴ r =0 ,k =3,或 r=2 ,k =2 ,或 r=4 ,k=1.∴x4的系数为 -C04C3 5+C24C25-C44C…     

二项式定理的推广

二项式定理是我们熟悉的基本定理,它的许多性质对我们解决数学问题有很大帮助.那么能否将二项式定理推广到三项式、四项式或更一般的情形呢?现就三项式情形作以下探究.上表中右栏是按字母a、b、c由顶点到对边的三角型降幂排列.如当n=3时,字母a、b、c的分布为二项式定理中系数排     

数学竞赛中的参数方程与极坐标问题

1参数方程问题 参数方程是解析几何的重要内容，利用参数方程解题，或者利用参数法求轨迹方程，有时会显得十分灵活和便利。     

巧用韦达定理解一道竞赛题

题　给定实数ａ ,ｂ ,ｃ ,已知复数ｚ1,ｚ2 ,ｚ3满足|ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1 ,ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1 ,求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .此题是 1 999年全国高中数学联合竞赛试卷加试第二题 ,下面用韦达定理给出此题的一个巧妙解法 .解　设ｕ1=ｚ1ｚ2 ,ｕ2 =ｚ2ｚ3,ｕ3=ｚ3ｚ1,则ｕ1 ｕ2 ｕ3=1 (1 )且 |ｕ1|=|ｕ2 |=|ｕ3|=1 .而ｕ1ｕ2 ｕ2 ｕ3 ｕ3ｕ1=1ｕ1 1ｕ2 1ｕ3=ｕ1 ｕ2 ｕ3=ｕ1 ｕ2 ｕ3=1 .即ｕ1ｕ2 ｕ2 ｕ3 ｕ3ｕ1=1 (2 )同时易知　ｕ1ｕ2 ｕ3=1 (3 )由 (1 ) ,(2 ) ,(3 )及韦达定理知 :ｕ1,ｕ2 ,ｕ3为方程　ｘ3-ｘ2 ｘ - 1 =0　…     

高中数学竞赛中的面积与体积问题

面积与体积是立体几何的基本问题 ,也是数学竞赛中经常出现的内容 .例 1　 ( 1985年全国高中数学联赛试题 )ＰＱ为经过抛物线ｙ2 =2ｐｘ焦点的任意一条弦 ,ＭＮ为ＰＱ在准线ｌ上的射影 ,ＰＱ绕ｌ转一周所得的旋转面面积为Ｓ1,以ＭＮ为直径的球面面积为Ｓ2 ,则下面的结论中 ,正确的是 (　　 )(Ａ)Ｓ1>Ｓ2 .　　　　 (Ｂ)Ｓ1<Ｓ2 .(Ｃ)Ｓ1≥Ｓ2 . (Ｄ)不确定 .图 1　例 1图　　　图 2　例 2图解　如图 ,设Ｃ为抛物线的焦点 ,则ＰＭ =ＰＣ ,ＱＮ =ＱＣ .于是Ｓ1=π·ＰＱ(ＰＭ ＱＮ) =πＰＱ2 ,Ｓ2 =π·ＭＮ2 ,因ＰＱ≥ＭＮ ,故Ｓ1≥Ｓ2 ,选 …     

排列、组合和二项式定理

重点：1）利用分类分步计数原理和排列组合知识解决计数问题，解决这类问题的关键是要善于将问题转化为几种常见的模式（如相邻或不相邻问题、有序排列问题、分组问题等），并要掌握相应的解题策略；2）利用二项展开式的通项公式求某些指定项（如常数项、x′项、有理项、无理项、二项式系数最大的项）     

排列、组合与二项式定理

本单元的重点有两个，一个重点是解决排列组合综合应用问题，遵循以下：     

指数函数和对数函数问题

函数ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)叫做指数函数 ,定义域是Ｒ .函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ (ａ >0 ,ａ≠ 1)叫做对数函数 ,定义域是Ｒ ,指数函数与对数函数互为反函数 ,它们的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .指数函数和对数函数是两个重要的基本初等函数 ,也是中学数学的重要内容之一 .本文我们讨论数学竞赛中的一些指数函数和对数函数问题 .例 1　 (1983年全国高中数学联赛试题 )ｘ =1ｌｏｇ1213 1ｌｏｇ1513的值属于区间 (　　 )(Ａ) (- 2 ,- 1) .　　　　 (Ｂ) (1,2 ) .(Ｃ) (- 3,- 2 ) . (Ｄ) (2 ,3) .解　∵ｘ =ｌｏｇ1312 ｌｏｇ1315 =ｌｏｇ…     

数学竞赛中的三角函数问题

三角函数是高中数学的基本内容，是一类重要的基本初等函数．它所涉及的知识面十分广阔，内容丰富多彩并具有一系列美妙的性质，这些性质在数学及物理、工程等领域都有广泛的应用．本文将讨论数学竞赛中的三角函数及其恒等变形问题．     

平面区域问题

在坐标平面上 ,一个二元方程Ｆ(ｘ ,ｙ) =0所表示的曲线Ｃ把平面上所有的点组成的集合Ｉ ={ (ｘ ,ｙ) |ｘ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ}分成三个子集 :1)Ｃ ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) =0 } ;2 )Ｃ1={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 } ;3)Ｃ2 ={ (ｘ ,ｙ) |Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 } .我们可以利用特殊点试验法来确定二元 (一次或二次 )不等式Ｆ(ｘ ,ｙ) >0 (或Ｆ(ｘ ,ｙ) <0 )所表示的平面区域 .1　直线划分的平面区域点Ｐ(ｘ ,ｙ)位于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0同侧时 ,α =Ａｘ Ｂｙ Ｃ的值的符号不变 ;位于异侧时 ,α的符号相反 .2　二次曲线划分的平面区域1)点Ｐ(ｘ ,…     

几个数学问题的简单解法

《数学通报》的问题栏很有特色，有不少试题被改编为数学竞赛题，但是也有很多试题的解答被人为的增加了所谓的技巧、方法，使问题的解法失去了一般性，不能反映问题的本质，而且往往给人造成数学问题难的一种假象．     

绝对值问题的解法技巧

近几年来 ,国内外各级各类数学竞赛题中绝对值问题屡屡出现 ,尤其是绝对值不等式已成为数学问题的热点 .本文举例谈谈绝对值问题的解法技巧 .1　妙“去”许多绝对值问题 ,常常根据解题的需要 ,去掉题目中的绝对值符号 ,以便进一步化简求解 .例 1　 ( 1998年河南省暨重庆市高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈ ( 0 ,1) ,ｍ =|ｌｏｇｂ( 1-ａ) |,ｎ =|ｌｏｇｂ( 1 ａ ａ2 … ａ1 998) |,则ｍ与ｎ的大小关系是 .简析略解 :上题若能充分利用已知条件 ,去掉题目中的绝对值符号 ,则可一气呵成 .由题设知ｍ =ｌｏｇｂ( 1-ａ) ,ｎ =-ｌｏｇｂ( 1 ａ …     

对一类问题解法的质疑及改进

在二项式定理的复习中,我们经常会遇到这样类型的题目：     

基于数学模式探析数学竞赛中的函数最值问题

基于数学模式的观点,对数学竞赛中的函数最值问题的求解方法做了一些分析,给出了九种模式结构.