对一题多解的辩证理解

1 一题多解的优点“一题多解”之所以深受数学教师的重视,就是因为在解题过程中能够引导学生多层次、多角度的思考问题,全面地应用知识来分析问题与解决问题.例如人教版第二册(下B)的习题9.8的第4题:如图,已知正方体ABCD-A′B′ C′D′的棱长为1,求直线DA′与AC的距离.教师可以引导学生从不同的入口,挖掘不同的解法.解法1 ∵AC∥平面A′DC′,∴点A到平面A′DC′的距离h就等于异面直线AC与DA′的距离,从而转化为点面距.     

由一道立体几何习题引发的思考

全日制普通高级中学数学教科书(人教版·必修)第二册(下B),习题9.8第4题:已知正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1,求直线DA′与AC的距离.(图1)图1该题的一般思路便是找到它们的公垂线段,在如何寻找这两条异面直线的公垂线段过程中引发笔者一些思考.我们先来看正方体中经常用到一个     

求异面直线间距离的五种方法

与两条异面直线都垂直相交的直线叫两异面直线的公垂线。公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度叫两异面直线间的距离。如何求异面直线间距离的问题,学生往往感到困难,为突破这一难点,应指出求昇面直线间距离的几种常用方法。用初等数学方法解决这一问题笔者认为有五种方法可循,今举例介绍这五种方法,供选用参考。度。 (一)直接法直接求出公垂线在两异面直线间的线段长例1.求棱长为a的正四面体的对棱间距离。解:设正四面体V-ABC的棱长为a,取AB中点D,VC中点E,连VD、CD、DE     

怎样求两条异面直线的距离

两条异面直线的距离是四种距离中的难点,不少同学感到很困难,不知从何处入手解决.那么求异面直线的距离有没有规律可循,又有哪些一般方法?下面以数学课本(下B)习题9.8的第4题为例,谈一谈求异面直线距     

巧用向量求异面直线间的距离

异面直线间的距离虽可以通过定义求解, 但也可以转化为向量的射影长来解决. 如图1,a、b是两条 异面直线,C、D分别是a 与b上任一点,若n是与 a、b都垂直的向量,则a、 b之间的距离 【例1】如图2,已知正 四棱柱ABCD-A1B1C1D1     

以问题探究激活思维——例谈数学变式教学

变式教学是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的探究,以暴露问题的本质特征,揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法.通过变式教学,能唤起学生的好奇心和求知欲,因而能产生主动参与的动力,保持其参与教学过程的兴趣和热情.若能重视对课本习题进行变式训练,不但可以抓好双基,便于搞清问题的内涵和外延,而且还可以提高数学能力. 一堂数学课,就应是一串变式题组成的数学课堂,变式教学,恰能返璞归真,顺应学生的年龄特点和认知规律,让学生在探究尝试中获取知识,优化数学思维品质.从而能大大提高课堂教学的有效性.     

几何背景跳跃思维

在有些试题中,常常以某一种几何知识为背景来考察另一种几何知识,它是一种跳跃性思维方式. 考查的知识并不是很难,但学生却很不适应,只要“跳跃”过去这种试题就容易得到解答. 下面就以几何知识为背景,具有跳跃性思维的几种题目与大家一起分析.一、以立体几何为背景考查解析几何例 1　 (04年北京理 (4)题 )在正方体ABCD—A1B1C1D1 中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1 的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)A. 直线　　　　　　B. 圆C. 双曲线D. 抛物线分析: C1D1⊥面BB1C1C,所以,P到直线C1D1 的距离就…     

解析几何试题的新背景

新一轮数学课程改革从理念、内容到实施 ,都有较大的变化 ,特别是要求学生具有一定的数学视野 ,能关注数学的文化价值 .如何将这些新课标的课改理念渗透到日常的高三复习之中 ,笔者认为 ,除了打好基础之外 ,还应注意培养学生从新背景中去发现问题、解决问题的能力 .下面笔者就解析几何试题的新背景作一例谈 ,以飨读者 .1　以立体几何为背景例 1　在正方体ABCD -A1 B1 C1 D1 的侧面AB1 内有一点P ,点P到直线AB与直线B1 C1 的距离相等 ,则动点P所在曲线的形状为(　　 )(A) (B) (C) (D)图 1　例 1图评析　此题将抛物线定义寓于正方体…     

对学生解立几题常见错误的剖析

本文就自己在教学实践中,特别是从学生的作业批改中,对学生在解立体几何习题常见的几种类型的错误进行归纳加以剖析,可以说它于教于学是会有所裨益的。一、概念性错误数学概念是解题的基本依据,立体几何证题和计算题尤其强调概念准确。如对异面直线及其所成的角、异面直线的距离、直线和平面所成的角,二面角及其平面角等许多主要概念理解不确切,就很容易产生错误的结果。     

用求函数最值的方法求异面直线间的距离（高一，高二，高三）

对于求异面直线间的距离,学生往往感到比较棘手,然而利用代数中求函数最值的方法解决这一问题,有一定规律可寻,易于被学生掌握,该法以命题“异面直线间的距离等于这两条直线中一条上的点到另一条的距离的最小值”为依据,应用此法时,可在两条异面直线中的一条直线上任取一点,过该点引另一条直线的垂线段,并以该线段的长度为函数,影响该长度变化的某一个合适的量为自变量建立函数关系,求出这个函数的最小值,即为所求的两异面直线间的距离．下面举几例具体说明．     

一道实验探究题的变式教学

变式教学在数学教学中有着举足轻重的地位，所谓变式是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，而事物的本质特征却保持不变．变式教学能使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲．教师若能重视对课本例题进行变式训练，不但可以抓好双基，便于弄清问题的内涵和外延，最大限度地发挥例习题的功能，     

基于一类试题在空间拓展的探究历程

1 问题背景在新课标中对异面直线的教学要求不高,只要求学生在借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系基础上,抽象出空间直线、平面的位置关系的定义.但是近年对有关异面直线问题的考查成为高考试题中的一个热点,考查问题的难度也有所加大,如:试题1 (2004年北京高考理科第4题)如图,在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是().     

立体几何中距离问题的统一解法

本文将利用向量法给出求解异面直线间的距离、点面距离、线面距离、面面距离的统一公式d =|AB·n|n ,能起到化隐为显、化难为易之作用 .1　求异面直线间的距离图 1　证明公式用图如图 1,已知a ,b为两异面直线 ,CD为a ,b的公垂线段 ,A ,B分别为a ,b上的任意两点 ,n⊥a ,n⊥b,则n∥CD .又AB =AC +CD +DB ,∴AB·n =(AC +CD +DB)·n =AC·n +CD·n+DB·n =CD·n ,∴ |AB·n|=|CD|·|n|,∴ |CD|=|AB·n||n|,即异面直线a ,b间的距离d =|AB·n||n|,其中n与两异面直线都垂直 ,A ,B分别为两异面直线上任意点 .图 2　例 1图例 1　…     

一道立几题的多种解题思路

题目已知正方体B1D(如图1)的棱长为1,求对角线DB1和棱CC1之间的距离. 显然,对角线DB1与棱CC1异面.异面直线之间距离的定义,指引我们去寻找公垂线,于是得到了解法一. 解法一如图1,取DB1中点O,CC1中占M.连接OM、DM、B1M,在△MDB1 中,MD=MB1(对称相等),所以MO⊥DB1,同理MO⊥CC1,即OM是异面直线DB1、CC1的公     

变式教学要把握三个"度"

变式教学主要是指对例、习题进行变通推广,让学生能在不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下重新认识的一种教学模式.在数学教学中,恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围,能开拓学生的视野,激发学生的思维,有助于培养学生的探索精神与创新意识.但若对变式的“     

异面直线距离的一种求法——射影法

不少文章介绍过异面直线距离的求法,本文介绍另一种方法叫射影法。即把两条并面直线同时射影到某一平面上,利用其射影在同一平面的关系去求其两异面直线的距离.因为两异面直线在同一平面上的射影只能有以下三种情况:①一个点和一条直线;②两条平行线;③两条相交线。下面我们就这三种情况分别进行探究。 1.射影是一个点和一条直线此时可把问题转化为求点到直线的距离去解决。即该点到直线的距离就是异面直线的距离。     

解读两条异面直线的距离

<正>两条异面直线的距离是一个重要概念,不易理解,不好用.异面直线的距离是高考命题的热点,必须认真学好,并注意以下三个问题.一、严格区分异面直线的公垂线与距离,准确理解定义把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,把两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段的长叫做异面直线的距离.二、注意把异面直线的距离转化为平行的线面的距离,灵活理解定义     

一道课本习题的变式探究及反思

近年来,高考数学命题者青睐于课本习题的改编题.因此挖掘课本一些好题目,并且对其变式进行探究有重要意义.这不仅能帮助学生巩固数学知识,还能培养学生重要的数学思维.笔者展示一道课本习题的各种变式. 一、原题重现 问题1(人教版高中数学必修四2.4B组-4)在圆C中,A、B是圆C上任意两点,是否只需知道圆C的半径或者AB的长度,就可以求万(AB→)·(AC→)的值?     

依“法”解题 简单容易

学习了《直线、平面、简单几何体》这一章后 ,经常遇到求点到面的距离和二面角以及直线与面的夹角的问题 .这类题若直接按定义做 ,许多同学都感到困难 .倘若采用法向量的知识解这类题 ,就变得十分容易了 .这里就谈谈运用法向量解这类题的方法 .1　求二面角、点面距离例 1　 (湖南省 2 0 0 2年高中数学竞赛试题 )如图 1,在棱长为a的正方体ABCD—A1 B1 C1 D1 中 ,E ,F分别是棱AB与BC的中点 .图 1　例 1图1)求二面角B -FB1 -E的大小 ;2 )求点D到平面B1 EF的距离 .解　如图 1,建立空间直角坐标系 ,则D( 0 ,0 ,0 ) ,B1 (a ,a ,a) ,E(a …     

两条异面直线距离的几种转化方法

求两条异面直线间的距离是立体几何中比较困难的问题,其关键在于对问题进行有效的转化.下面将同学们对高二数学(下)P51习题4的解法进行整理,给出异面直线间的距离的几种转化方法.