谈“向量”引入中学数学

最近 ,经过试验修订的普通高中数学教学大纲和中等职业学校数学教学大纲再次确定了“向量”在中学数学中的地位 .通过对两届学生的教学实践和对教材的研究 ,我深切体会将“向量”引入中学数学非常必要并且可行 .下面谈谈向量教学的几个基本问题及其在中学数学教育中的作用 .1　向量的线性运算线性运算是向量的基本运算 .向量可以用有向线段表示 ,用有向线段进行向量的线性运算 ,具体且直观 ,在坐标系中 ,向量可以用坐标表示 ,向量的线性运算可转化为坐标运算———数的加、减、乘运算 ,运算变得更加简单 .向量线性运算的这两种方法相结合 ,…     

几何问题的向量解法

既有大小又有方向的量叫做向量 ,通常用带有箭头的有向线段来表示向量 .向量中定义有几何意义明显的加法 ,减法 ,实数与向量的积以及向量与向量的数量积等重要的运算 .所谓向量法 ,就是利用向量的几何意义将几何问题转化为相应的向量问题 ,并通过向量的运算达到解题的目的 .向量法解题 ,能使原先错综复杂的演绎推理过程变为单纯的向量间的运算 ,往往可以取得出奇制胜的效果 .用向量法解题时 ,下面的有关向量知识经常被用到 :1 )线段ＡＢ的长度ＡＢ =|ＡＢ| ,线段ＡＢ的长度平方 |ＡＢ| 2 =ＡＢ·ＡＢ ;2 )两向量的和的平行四边形法则或三角…     

5平面向量复数

5.1 向量的概念及运算 内容概述 1.向量是区别于数量的一种量,它由大小和方向两个因素确定.向量有三种表示法:一是用有向线段,二是用字母a或AB,三是用坐标a=(x,y).注意共线向量(也称平行向量,方向相同或相反的向量)与相等向量(方向相同且模相等)的联系与区别.     

争鸣

问题　　问题 42　 在作业中 ,部分同学这样处理用小写字母表示的向量 ,令a =m ,然后将m代入向量运算 ,对此 ,我们有两种看法 :观点 1　在初中 ,同学们就学过用小写字母表示线段 ,此处 ,用m代替a,书写时不但提高了速度 ,而且减少了以往因漏写箭头符号造成的不必要过失性失分 ,因而 ,这种书写值得推广 .观点 2　据高中《数学》(新教材 )第一册 (下 )第 94页右下角备注“印刷用黑体a ,书写用a　 ”知 ,一个在上面没有标上箭头符号的小写字母不能表示一个向量 ,因而用m代替a进入向量运算是不对的 ,因而应杜绝这种书写现象 .你认为呢 ?(王小红…     

平面向量架桥梁

平面向量给我们提供了一种研究问题的有效方法. 一、基底法用基底法来解证问题(主要是平面几何问题),一般可分为三个步骤: 第一步:在所论平面图形中选取两条(或多条)不共线的线段分别表示向量a、b(或a、b、c等);     

一个向量恒等式及其应用

本文提出一个形式优美的向量恒等式，用它来证明斯图瓦尔特定理就显得简单而别致．让我们先复习一下有向线段A百的数量的概念：根据A白与有向直线2的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB．     

"线段染色模型"的有趣应用

在排列组合的习题中,常常遇到关于区域染色问题.笔者发现,它们均可以用“线段染色模型”来处理.所谓“线段染色模型”,是指一条线段上有n个点,用m种不同的颜色来染色,相邻的顶点所染的颜色不同.对于“线段染色模型”,我们有,命题1一条线段上有n个点,用m种不同的颜色来染色,相邻     

平面向量 复数

5.1　向量的概念及运算内容概述1.向量是区别于数量的一种量 ,它由大小和方向两个因素确定 .向量有三种表示法 :一是用有向线段 ,二是用字母 a或 AB,三是用坐标 a =(x,y) .注意共线向量 (也称平行向量 ,方向相同或相反的向量 )与相等向量 (方向相同且模相等 )的联系与区别 .2 .向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种 .注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示 .3.向理的基本定理及相关性质(1)两个非零向量平行的充要条件 :a∥ b　 　 a =λb.设 a =(x1,y1) ,b =(x2 ,y2 ) ,则a∥ b　 　 x1y2 - x2 y1=0 .(2 )两…     

弄清公式推导 提高复习效率

<正>作为一名高三学生在第一轮复习中,我深深地体会到要熟练运用一些数学基本公式就必须弄清楚它们的推导过程,这样,不仅可以培养我们的逻辑思维能力,还有助于我们对相关知识的理解和记忆,提高复习效率.如向量的中线公式:若P是线段AB的中点,O为平     

浅论零向量概念的争议与核心价值

在向量学习中,零向量是一个不容忽视的“特殊向量”.新课标必修四教材对于零向量是这样规定的:长度为0的向量叫做零向量,记作0. 这个定义只规定了零向量的长度,对于零向量的方向没有提及.由于零向量的终点和起点相互重合,所以零向量的方向应理解为“不确定”.“不确定”不等同于“没有”,零向量作为一个向量是必须要有方向的.在处理平行问题时,规定零向量与任一向量都平行.     

平几证题中的线段参数法

在平几问题中,边和角常常是未知的,用线段作参数来表示三角形或多边形中的其他元素,并以代数的方法来达到证明问题的目的,我们称之为”线段参数法”. 用线段参数法证平几问题,一般是先在几何图形中,找出与几何命题中求证部分有关的线段     

三点共线的两种模式

<正>向量具有方向、大小的特性决定了其在数学解题中的广泛用处.但由于我们认识的影响,在具体问题中不习惯用向量方法.比如遇到问题没有思路,常把问题复杂化.所以,我们在具体解决问题时要善于观察、积极思考,进行数学抽象,构建数学模型.本文以向量应用中三点     

巧用基底速解十字交叉型问题

<正>平面向量基本定理是平面向量重要的基础知识,其本质就是平面向量加法的平行四边形法则,用不共线的两个向量作为平面的一组基底,可以表示平面内的任意向量,而且表示方法唯一.正因为如此,基底法是解决向量问题的一种重要方法.有一类向量问题,涉及到的线段比较多,     

度量法与叠合法的教学探索

度量法与叠合法是二期课改教材六年级第二学期<7.1线段的大小的比较>中比较线段大小的两种方法.度量法是用刻度尺量出两条线段的长度,通过刻度来比较两条线段大小的方法.这种方法把几何量转化为数值,是用算术法解决几何问题.由于刻度不可能无限地分割,所以度量法在理论上是无法准确的.叠合法是用圆规把一条线段与另一条线段叠合来比较两条线段的大小的方法,它的依据是图形的重合关系.这种方法是用几何方法解决几何问题,理论上是准确的.……     

争鸣

问　题问题 2 5　 在高中新教材《数学》第一册 (下 )中 ,第 95页有“平行向量也叫共线向量” .这样 ,对向量ｂ与非零向量ａ共线 (或平行 )的充要条件有两处 :见 1 0 4页用到“有且只有一个实数λ” ,而第 1 1 1页用到“存在一个实数λ” .我们的问题是 :为什用两种逻辑意义的语句叙述 ,可否统一为“有且只有一个实数λ” ?问题 2 6　 判断命题“若ａ∥ｂ ,则ａ与ｂ的方向相同或相反”的真假 .观点一 :　当ａ∥ｂ时 ,ａ与ｂ的方向相同或相反 ,否则 ,ａ与ｂ不平行 ,故此命题为真 .观点二 :　由于规定了 0与任一向量平行 ,故 0的方向是任意的 …     

基底的选择

在平面向量中,有了共线向量定理和平面向量基本定理,平面内任一向量都可以通过选择一组基底向量来表示,这样,若所选择的两基向量的夹角及其模长都可知,则称这组基底为“已知基底”,那么涉及有关向量运算问题可以将所求向量转化到这组“已知基底”向量上解决,这样就形成向量问题解决的一个通法,在空间向量中这一方法同样是奏效的．     

向量运算的两种基本方法

向量的表示有几何形式(用有向线段表示)和代数形式(坐标表示),相应地向量的运算也有两种基本方法:(一)几何法;(二)坐标法.下面举例来说明这两种方法的应用. 例1 如图1,AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:AD,BE,CF相交于一点. 证明(法一)设BE,CF相交于H,并设AB=b,AC=c, ,则     

“三角函数线”在解題中的应用

高中《代数》(甲种本)第一册“用单位圆中的线段表示三角函数”一节中,介绍了利用单位圆中的某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数值,通常称它们为三角函数线。三角函数线的引入对绘制三角函数的图象,研究三角函数的性质起了奠基作用,笔者认为,“三角函数线”是《三角》中的基本概念,如能更好地发挥“三角函数线”本身的直观性,那么许多问题的处理可     

用向量的思想解题

向量一方面具有方向、位置、长度、夹角等几何特殊性,另一方面又具有正负、坐标表示等代数属性,就某种意义上说,向量思想就是数形结合思想的体现,而它又有其自身的处理问题和解决问题的特点.这里我们所说的向量思想解题,是指那些问题本身根本没有向量的"踪影"而用向量来处理的思想方法.     

三角形中的一个定比性质及其推广

在平面向量这一章的教学过程中,本人在使用有向线段的定比分点向量表示式解决一些数学问题时,总结出了一个三角形中有趣的定比性质,并将其在四面体中得到了推广.